人教版2022學年高二下學期期末考試數學試卷注意事項：1條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用 2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共 8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個項中，只有一項是符合題目要求的．已知集合A xaxR，B 1,1，若AB，則所有a的取值構成的集合為（ ）A．1 B． C．0,1 D．設復數zz1 2

在復平面內對應的點關于實軸對稱，若z1

2

zz1 （ ）z23455

3455

3455

3455為達成“碳達峰碳中和”的目標，我們需堅持綠色低碳可持續發展道路，可再生能源下列結論中正確的是（）A．2013~2020年，年光伏新增裝機規模同比(與上年相比)增幅逐年遞減B．2013~2020年，年光伏發電量與年份成負相關C．2013~2020年，年新增裝機規模中，分布式的平均值大于集中式的平均值D．2013~2020年，每年光伏發電量占全國發電總量的比重與年份成正相關△ABC的內角A,B的對邊分別為a，b，c，已知acosB 3bsinAa，則B（ ）π π π 2πA．6 B．3 C．2 D．3某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入，若該公司2020130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是（ （參考數據∶

05，

11，A．2021年 B．2022年 C．2023年 D．2024年已知an

是各項均為正數的等比數列，其前n項和為Sn

，且Sn

是等差數列，則下列結論錯誤的是（ ）an

S是等差數列n

aSn n

是等比數列a2是等差數列

Sn是等比數列n n已知雙曲線C:x2 y2 1a0的左右焦點分別為F，

P為雙曲線Ca2 b2 1 2上的一點，若線段PF

y軸的交點M恰好是線段

MF

1b2，其1 1 1 43x中，O為坐標原點，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）3xy 12

y

y

y 2x過點A2,1作直線l交圓C

y2 2y170于M兩點，設AMAN，則實數AMAN，則1A． 5,

B．5,1

C． 5,

D． 5,15 2 2 5二、多項選擇題：本題共 4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得 5分，部分選對的得2分，有選錯的得分．1n若ax2 展開式所有項的系數之和與二項式系數之和均為32，則下面結論正確的x是（ ）A．n5 B．展開式中含x4270C．展開式的第4項為90x

D．展開式中含有常數項已知m，n是兩條不相同的直線，， 是兩個不重合的平面，則下列命題中真命有（ ）A．若m ，n ，m/n，則// B．若m ，m ，n ，則n//C．若 ，m ，m n，則n// D．若//，m ，n//，則m n11．函數fx Asinx A0, 0,0 的部分圖象如圖所示，則下列論中正確的是（ ）A．fx的最小正周期為2π B．fx的最大值為2C．fx在區間

5π,1212

上單調遞增

D．f

π6為偶函數f

3xx3,x0

，若關于x的方程4

x4afx2a302x 1,x0有5個不同的實根，則實數a可能的取值有（ ）3 4B． 2 3

5 74 D．6第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．年的概率為，超過2年的概率為種元件使用年時還未失效，則這個元件使用壽命超過2年的概率．給出下列命題：①由變量xy的數據得到其回歸直線方程l:y

bxa，則l一定經過點P；②在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好；③線性相關系數r越大，兩個變量的線性相關性越強，反之，線性相關性越弱；④在回歸直線方程y 10中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量y增加0.5個單位．其中真命題的序號．)

x圖象在點x0

,fx0

處的切線方程為ykxb，則kb的最小值．回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22，11，3443，94249等顯然2位回文數有9個：11，22，33， ，99，3位回文數有90個：101，111，，191，202，999．4位回文數個．2nN)位回文數個．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1（10分）已知在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，atanB(2ca)tanA．求B；3π3若A ，b4

，求△ABC的面積．1（12分）已知數列an

的前n項和為Sn

，且a1

2，當n2an

S 2n1．n求數列an

的通項公式；設bn

log2

S，設cn

bS，求數列cn n

的前n項和為T．n1（12分）三階魔方為333的正方體結構，由26方打亂，然后在最短的時間內復原．某魔方愛好者進行一段時間的魔方還原訓練，每天魔方還原的平均速度y（秒）與訓練天數x（天）有關，經統計得到如下數據：x（天）1234567y（秒）99994532302421yab，作為回歸方程類型，請利用表中數據，求出該回歸方程，并預測該魔方愛x好者經過長期訓練后最終每天魔方還原的平均速度y約為多少秒（精確到1秒；將魔方隨機扭動兩次，每次均順時針轉動90，記頂面白色色塊的個數為XX的分布列及數學期望EX．參考數據（其中z

1ix．ii參考公式：7zy ziii1

77z2ii1184.5

0.37

0.55對于一組數據u

，u

，…，u

其回歸直線v u的斜率和截距的最小1 1 2 2 n n二乘法估計公式分別為

nuviii1n

， v u．u2 nu2ii12（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PD 平面ABCD，AD PD．求證：AC 平面PBD；求鈍二面角APBC的余弦值．2（12分）已知圓

y2 17與拋物線C

2pxp0在x軸下方的交點為A，與拋物線C的準線在x軸上方的交點為BAByx對稱．求拋物線C的方程；若點M，N是拋物線C上與點A不重合的兩個動點，且AM AN，求證：直線MN過定點，并求出定點坐標．2（12分）設函數fx 2

bx．fx在點P1處的切線方程是y2x1，求實數ab的值；在第問的條件下，若方程fx 0有唯一實數解，求實數的值．答案解析第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共 8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個項中，只有一項是符合題目要求的．已知集合A xaxR，B 1,1，若AB，則所有a的取值構成的集合為（ ）A．1

B． C．0,1 D．【答案】D【解析】a0時，A 滿足題意a0ax1，得x11a a所求集合為{1,0,}1，故選D．

11a

1，a1或a 1，設復數zz1 2

在復平面內對應的點關于實軸對稱，若z1

zz1 （ ）z23455

3455

3455

3455【答案】A

z 2

z 2

2i2

34i34【解析】由題意可得2故選A．

，因此，1z2

i，2i 2i2i 5 55為達成“碳達峰碳中和”的目標，我們需堅持綠色低碳可持續發展道路，可再生能源下列結論中正確的是（）A．2013~2020年，年光伏新增裝機規模同比(與上年相比)增幅逐年遞減B．2013~2020年，年光伏發電量與年份成負相關C．2013~2020年，年新增裝機規模中，分布式的平均值大于集中式的平均值D．2013~2020年，每年光伏發電量占全國發電總量的比重與年份成正相關【答案】D【解析】A，2013~2020年，年光伏新增裝機規模同比(與上年相比)增幅逐年遞減，前幾年遞增，后面遞減，故A錯誤；B，2013~2020B因此分布式的平均值小于集中式的平均值，故CD，根據圖表可知，2013~2020年，每年光伏發電量占全國發電總量的比重隨年份逐年增加，故每年光伏發電量占全國發電總量的比重與年份成正相關，故D正確，故選D．△ABC的內角A,B的對邊分別為a，b，c，已知acosB 3bsinAa，則B（ ）π π π 2πA．6 B．3 C．2 D．3【答案】D【解析由正弦定理知3)，而0，∴3

π)1，6又πBπ

Bπ5π B2π6 6 6

6 6，∴ 3，故選D．某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入，若該公司2020130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是（ （參考數據∶

05，

11，A．2021年 B．2022年 C．2023年 D．2024年【答案】D2020n2002 2則130(112%)

200

，1.3

lg ，1.3即nlg1.12l2lg1.，0.0n0.300.110.1，n第42024D．已知an

是各項均為正數的等比數列，其前n項和為Sn

，且Sn

是等差數列，則下列結論錯誤的是（ ）an

S是等差數列n

aSn n

是等比數列a2

是等差數列

Sn

是等比數列n n【答案】B【解析】由Sn

是等差數列，可得2S2

S S，即2aa1 3 1

aaa a，1 1 2 3a a，2 3設等比數列an

的公比為q， an

是各項均為正數的等比數列，則q

aa3 1，2a a 0．n 1AaSn n

n1a1

，所以，數列an

S是等差數列，因此AnCa2

a2， a2

是常數列，且為等差數列，因此C正確；n 1 nS對于D選項，n

S0， n是等比數列，因此Dn 1 nBaSnn

na21

aSn1n1aSnn

n1不是常數， aSn n

不是等比數列，因此B不正確，故選B．已知雙曲線C:x2 y2

1a0的左右焦點分別為F

P為雙曲線Ca2上的一點，若線段

b2y軸的交點M恰好是線段1

1 2MF1 1

1b2，其43x中，O為坐標原點，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）3xy 12

y x C．

D．y 2x【答案】B【解析】設雙曲線C的半焦距為c，則點F1

，由題意知PF x軸，所以點P的橫坐標為c，2由雙曲線的對稱性特點不妨設點Py0，0 0c2 y所以 0

1，解得y b2，a2 b2 0 ab2所以點P，ab2所以點M的坐標為0, ，2a所以MF1

c,b22a

b2，MO 0, ，2aMFMO故 MFMO

b2 b2 b4 10, b2，1 2a 2a 4a2 4所以a2 b2，所以ab，AMAN，則所以雙曲線C的漸近線方程為y x，故AMAN，則過點A2,1作直線l交圓C

y2 2y170于M兩點，設實數的取值范圍為（ ）A． 5,

1 B．5,1 C． 5,

D． 5,15 2 2 5【答案】A2【解析】由已知得，圓C是以(0,1)為圓心，以32

為半徑的圓．22AC23 A22AC2故當直線MN經過圓心C時，取得最值．2當MA NA時，MA rCA 52

2，NA rAC ，2MANA此時，取最小值為 5MANA22當MA NA時，NA rCA 5 ，MA rAC ，22MANAMANA此時，取最大值為 5，所以， [

1]，故選A．5二、多項選擇題：本題共 4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得 5分，部分選對的得2分，有選錯的得分．1n若ax2 展開式所有項的系數之和與二項式系數之和均為32，則下面結論正確的x是（ ）A．n5 B．展開式中含x4270C．展開式的第4項為90x【答案】ABC

D．展開式中含有常數項令x1，由題意可得a1

2n 32，∴n5，a3，15∴二項式為3x2 ，∴A對；x∴T Cr1 5

3x25r

r135r1x

1rC5

x103r，令r2，計算可知展開式中含x4270，∴B令r3，所以T4

3 13C5

33 90x4項為90x，∴C對；令100，解得故選ABC．

10，而rN，所以展開式中不含有常數項，3已知m，n是兩條不相同的直線，， 是兩個不重合的平面，則下列命題中真命有（ ）A．若m，n，m/n，則//B．若m，m，n，則n//C．若，m，mn，則n//D．若//，m，n//，則mn【答案】BD【解析對于選項A，平面和 可能相交，所以選項A是假命題；對于選項B，由m ，m 可知//，再由n ，可得n//，故選項B是真題；對于選項C，直線n與平面 可能相交，故選項C是假命題；對于選項D，由//，m 可知m ，再由n//，可得m n，故選項D是真題，故選BD．函數fx Asinx A0, 0,0 的部分圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（ ）A．fx的最小正周期為2π B．fx的最大值為2C．fx在區間

5π,1212

上單調遞增

D．f

π6為偶函數【答案】BD【解析】由已知T

11π5π

，所以

2π，A錯；2( )π 21212 T由五點法得25π kZ，12又0 所以

π1A2，B所以

，f(0)Asin6 6π)，5πx ,

62x

π 2ππ,，2x

π π 時，min時，

2

f(x)1212 6 33 6 2在區間

5ππ, 1212fxπ

2sin2π

π)2cos2x)6 6 6 2)故選BD．f

3xx3,x0

，若關于x的方程4

x4afx2a302x 1,x0有5個不同的實根，則實數a可能的取值有（ ）3 4B． 2 3

5 74 D．6【答案】BCD【解析當x0時，fx3x，則fx 3

31x1x，當x ,1時，fx 0，fx單調遞減；當x 1,0時，fx 0，fx單調遞增，作出fx的圖象，如圖所示，令fx 則4at2a30，令gt

4at2a3，由題意得方程gt0有兩個不同的根：①有兩個不同的根t

，且t

2,1，

，1 2 1 2g2 0則有g1 0，解得3a 7；g0 0 2 6②有兩個不同的根t，t，且t 1，

，1 2 1 2則有gt1

g16a70，則a 7，6方程為10，得1

1，t2

1 6

，滿足條件；③有兩個不同的根tt，且t0

，1 2 1 2因為gt1

g0 2a30，則a 3，23 3方程為t2

t0，得t2 1

0，t2 2

1,0，不符合題意，舍去，綜上所述，實數a

3,7，2 6故選BCD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．年的概率為，超過2年的概率為種元件使用年時還未失效，則這個元件使用壽命超過2年的概率．【答案】0.7設一個這種元件使用年的事件為A，使用2年的事件為B，則P

P0.63，故答案為0.7．P) 0.9給出下列命題：①由變量xy的數據得到其回歸直線方程l:y

bxa，則l一定經過點P；②在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好；③線性相關系數r越大，兩個變量的線性相關性越強，反之，線性相關性越弱；④在回歸直線方程y 10中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量y增加0.5個單位．其中真命題的序號．【答案】①②回歸直線一定過樣本中心點P殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好，故②正確；線性相關系數r的絕對值越大，兩個變量的線性相關性越強，反之，線性相關性越弱，故③錯誤；在回歸直線方程y 10中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量y減少0.5個單位，故④錯誤，故答案為①②．15)

x圖象在點x0

,fx0

處的切線方程為ykxb，則kb的最小值．1【答案】 1e【解析】已知f(x)ex

x，得fx ex 1，設切點為x0

,fx0

，故fx0

1，故)

x圖象在點xeex，0eex，

,fx0

處的切線斜率為k1，0所求切線方程為y 0

1xx0

x ，即y 0

1xex x 0000000則k1，b ex x0000000

x，則kbex x1，e000e00令gx

1，gx

x1，當x 1時，gx 0；當x 1時，gx 0所以gx在 ,1上遞減，在1, 上遞增，故gx

1在x 1處取得最小值，則kb的最小值是11，e1故答案為 1．e16．回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22，11344394249顯然2位回文數有9個：11，22，33，，99，3位回文數有90個：101，111，，191，202，999．4位回文數個．2nN)位回文數個．90910n（1）4第一步，選千位和個位數字，共有9種選法，10故4位回文數有91090個．（2）第一步，選左邊第一個數字，有9種選法，第二步，分別選左邊第2、3、4、 、n、n1個數字，共有101010 1010n種選法，故2nN位回文數有910n個．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1（10分）已知在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，atanB(2ca)tanA．求B；3，若Aπb23，4π（）3（2）

，求△ABC的面積．3．3（1）因為a(，所以

sinA．cosA又0，所以cosAcosBcosB即cosA，即sinAB)siC2siCcoB．又0，所以1，則由0BBπ2 3．（2）由正弦定理

a b，得

bsinA 232222 ，3222326a2 c26a2 c2 b28c21212ac222c2則由余弦定理得

，解得c

(負值舍去)，所以S

112 3 ．22633△ABC 2 2 2226331（12分）已知數列an

的前n項和為Sn

，且a1

2，當n2an

S 2n1．n求數列an

的通項公式；設bn

log2

S，設cn

bS，求數列cn n

的前n項和為T．n（1）an

（）T 2n12n1．2,n2,n12n1,n2【解析（1）當n2時，a S 2n，n1 n1a a S 2n S 2n1 a 2n1，n1 n n1 n n1整理可得a 2n1，na12,a

2不滿足ann1．

2n1，n 2n1,n2（2）由可知：當n2SnS 2n，n

a 2nn

2n；經檢驗：S1

a 2滿足1S 2nnN，則bTnn Tn

log2

2n n，cn

n2n，12122121222323n12n1122223324n12nn2n1，n兩式作差得Tn

2n2n1 22 23 2n 2n2n

2212n1122n2n1 2n1 4 21n2n1，T 2n12n1．n1（12分）三階魔方為333的正方體結構，由26方打亂，然后在最短的時間內復原．某魔方愛好者進行一段時間的魔方還原訓練，每天魔方還原的平均速度y（秒）與訓練天數x（天）有關，經統計得到如下數據：x（天）1234567y（秒）99994532302421yab，作為回歸方程類型，請利用表中數據，求出該回歸方程，并預測該魔方愛x好者經過長期訓練后最終每天魔方還原的平均速度y約為多少秒（精確到1秒；將魔方隨機扭動兩次，每次均順時針轉動90，記頂面白色色塊的個數為XX的分布列及數學期望EX．參考數據（其中zi參考公式：

1x．i7 7zy z ii ii1 i1

7z2184.5 0.37 0.55對于一組數據u

，u

，…，u

其回歸直線v u的斜率和截距的最小1 1 2 2 n n二乘法估計公式分別為

nuviii1n

， v u．u2 nu2ii1（1）

100 5013 ，13秒）分布列見解析， ．x 9（1）y

9999453230242150，77b i17

zy7zyii

184.570.3750 550.55

100，7z2ii1所以a

y

501000.3713，因此y關于x的回歸方程為y

10013 ，x所以最終每天魔方還原的平均速度y13（2）由題意可知：X的可能取值為3，4，6，9，PX 3

A1 14

；PX

2A1 24 ；669 669A11A1

A1A1 5PXPX6PX966A1A1 1

2 4 ；92 2 ，66 9X346X3469P125199991所以數學期望為EX 3

4265

1509 ．9 9 9 9 92（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PD 平面ABCD，AD PD．求證：AC 平面PBD；求鈍二面角APBC的余弦值．1（）（2）2．

底面ABCD為正方形，AC BD，PD 平面ABCD，AC 平面ABCD，PD AC又PD BD D，AC 平面PBD．（2）以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，1，則A0,0,1，則AP AB ，CP 0,1,1，CB ，設平面APB的一個法向量為n x，APn0

xz

1 1 1則 ，即 1 1ABn0 y 01

，令x1

1，則y1

0,z1

1，即n 設平面PBC的一個法向量為m x，CPCPmCBm0 y z則 ，即 2 0 x 0

0，令y2

1，則可得m ，2nm22則cosnm 1nm22則2，1又二面角APBC為鈍二面角，則鈍二面角APBC的余弦值為 ．22（12分）已知圓

y2 17與拋物線C

2pxp0在x軸下方的交點為A，與拋物線C的準線在x軸上方的交點為BAByx對稱．求拋物線C的方程；若點M，N是拋物線C上與點A不重合的兩個動點，且AM AN，求證：直線MN過定點，并求出定點坐標．17p24【答案（）