小學奧數知識匯總(個人總結)小學奧數知識匯總(個人總結)32/32小學奧數知識匯總(個人總結)第一章計算專題考點解析數學基本功（四則混雜運算）加減法巧算：湊整法、見“9”寫“10－1”(看整法)、基準數、配對思想比方：725+45+655+2262014-563-484-516-437651-385+149643+（257－186）9+99+999+999967+66+74+72+68+70+69+75+71乘除法巧算：湊整法(4×25、8×125)、看整法、乘法分配律、提取公因數、等值變形比方：25×32×12843×9991003×65467×75＋25×4672929×22－8888÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷÷（2010÷2011）÷（2011÷2012）1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11）÷（27×25×24×22）注意：提取公因式時，若是前后沒有公因數時要觀察前后的數字有沒有倍數關系，爾后把有倍數關系的數分裂成a×b的形式，再提取公因式，這種方法叫做整數的裂項。初中基本功（解方程）①用字母表示數：②方程的同解原理：1.有括號先去括號；2.移項要變號；3.合并同類項。③列方程解應用題：設，列，解，答(驗算）幾個要點：1.多元一次方程（兩種消元方法）分數系方程（乘以最小公倍數去分母）特別情況方程（輪換式方程組）無處不在的方程：直接運用、解應用題、幾何問題、行程問題、數論問題必定要熟練掌握的方程（組）：一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組特別解方程技巧：設而不求＋打包思想直接假設＋間接假設例：3x＋12＝5x－1610(x＋2)＝4(2x＋7)20－4x＝6x＋107x＋6＝12x－412(x－2)＝5x＋42x＋50＝25×(2＋x)72－6x＝84－7x168－6x＝4(30－x)56－2(24－x)＝3x列方程解應用題：1.小明的存錢罐里有5角和1元的硬幣共25枚，總錢數為19元。請問：5角硬幣有____枚。2.張老師給少兒園兩個班的孩子分水果。大班每人分得2個蘋果和5個桔子，小班每人分得2個蘋果和3個桔子，張老師一共分出了80個蘋果和158個桔子。請問：小班有____個孩子。分數的計算（裂項、換元、通項歸納）分數四則運算：加減法、乘除法的運算例：33641129771999219991298199921999199819982778381．整體約分：被除數、除數中的分母對應相等：要么帶化假、要么假化帶，考慮提取公因數后整體約分；2．連鎖約分：多分數連乘，將分子、分母都化成乘積形式，趁機約分。②分數的計算技巧：裂項（裂差、裂和）、換元、通項歸納例：1221144116365791113157911131517191335557612203042612203042567290（1111111111111)111)579）(7911)（5791113(91111137【策略】1.失態的背后必有陰謀：找規律套用常用公式：裂項、平方和、立方和、平方差用簡單字母代替：換元法很多題目不是做不出來，而是看不出來：整體觀察熟記一些骨灰級常考題型注意：分數裂項：把分數拆成分母中兩個因數的差，裂和是把分數拆成分母中兩個因數的和。分數換元：當題目中出現大量同樣或相似的數時，考慮換元，好寫也好算。通項歸納：計算規律的終極方法。計算技巧（重要公式、常用結論）①兩個重要數列：求末項：首項＋(項數-1)×公差等差數列求項數：(末項-首項)÷公差＋1求和：(首項＋末項)×項數÷2（中間項×項數）高斯配對思想衍生公式：（1）1＋3＋5＋＋(2n+1)＝n2（理解：從1開始的連續奇數求和＝個數的平方）（2）2＋4＋6＋＋2n＝n(n+1)（理解：從2開始的連續偶數求和＝個數×比個數大1）（3）21＋2＋＋n＋＋2＋1＝n（理解：自然數上坡下坡數列求和＝山頂的平方）例：123L100L321135L199借來還去法等比數列求和乘公比錯位相減法公式法例：111111123456333333②四個重要的公式：2222221（1）平方和公式：1＋2＋3＋4＋5＋＋n＝6n(n+1)(2n+1)333332122（2）立方和公式：1＋2＋3＋4＋＋n＝(1＋2＋3＋4＋n)＝4n(n+1)（3）平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)（理解：兩數的平方差＝兩數和×兩數差）（4）完好平方公式：(a±b)2＝a2＋b2±2ab（理解：首平方尾平方，2倍乘積看中央）例：22+42+62+L+1002－12+32+52+L+992123L100??147③循環小數與分數的互化：（1）純循環小數：47＝999??147-1（2）混循環小數：7＝990理解：分母：9的個數＝循環節位數0的個數＝不循環小數位數分子：從小數點后開始，到第一個循環節結束減去不循環部分【策略】分數小數靈便轉變：怎么簡單怎么來，一般加減法用小數，乘除法用分數。④重復數分拆：abcabcabc＝abc×1001001（理解：1的個數看重復了幾次；0的個數比循環節少1）⑤常用數的拆分：1001＝7×11×13111＝3×3712345679×9＝11111111111112＝12343211??2??1??7＝0.1428577＝0.2857147＝0.428571定義新運算、比較與估計：定義新運算：照貓畫虎，or看透實質找規律。難點就是搜尋兩數之間的運算規律。例：我們規定：△n＝n×(n＋1)，比方：△1＝1×2，△2＝2×3，△3＝3×4。請問：⑴要使等式11L1□成立，那么方框內應填入多少？1299100⑵計算：△1＋△2＋△3＋＋△100。比較與估計：化小數，通分法，比倒數，設標準，糖水法，放縮法等等。例：已知A111L1，B1111，2345610001001L19991199920001002比較A和B的大小，并計算出它們的差。計算是數學基本功，基本功必然要扎實，各要點中學都很看重，為必考考點。計算常考題型有兩種：區要點：分數小數四則混雜運算——乘法分配律逆用。市要點：抵消思想—裂項，整體約分與連鎖約分等。第二章計數專題考點解析列舉歸納（分類列舉、數形列舉）一般用于計數比較少的（10個以內）情況，但是列舉要有序次，不能夠想一個列一個，簡單遺漏。例：用兩個1，一個2，一個3能夠組成多少個不同樣的四位數？加乘原理（分類相加、分步相乘）①加法原理與遞推法：加法分類，類類獨立。區分方法：也許，也許例：一樓梯共10級，規定每步只能跨上一級或兩級，要登上第10級，共有多少種不同樣走法？②乘法原理與優先排序法、消除法：乘法分步，步步相關。區分方法：先再例：用0～9這十個數字可組成多少個無重復數字的四位數？3.排列組合（有序排列、無序組合）①排列：排列的表示方法及基礎解題題型。捆綁法：用于解決“必定排在一起”的問題，先捆相鄰，再排整體。例：動物園有5只金絲猴和3只大象，每只都要單獨表演一個節目，問：若是3只大象的節目要排在一起，有多少種不同樣的排法？插空法：用于解決“必定分分開”、“不能夠相鄰”的問題，先排別人，爾后插空例：動物園有5只金絲猴和3只大象，每只都要單獨表演一個節目，問：若是每兩個大象節目間至少安排一個金絲猴節目有多少種不同樣的排法？定序法：用于隊列中有人地址固定的問題，先排列所有人，再把固定地址的人的序次除去例：有8個豆苗寶寶排隊合影，甲站在乙的左邊，且乙站在丙的左邊的不同樣排法有多少種？消除法：用于從正在考慮過于復雜的問題，先排列所有的可能性，再把不能夠能的情況減掉例：還是這8個豆苗寶寶排隊合影，甲不站在左端，乙不站在右端的不同樣排法有多少種？②組合：組合的表示方法、組合的特別公式及基礎解題題型插板法：特地解決無差其他物體放在不同樣地址的問題例：將7個籃球分給3個同學，若每個同學最少獲取1個籃球，有多少種分法？將7個籃球分給3個同學，若贊同有的同學得不到籃球，有多少種分法？將13個籃球分給3個同學，若每個同學最少得3個籃球，有多少種不同樣的分法?注意：組合的插板法只能適用于“每人最少分一個的情況”，若是是分多也許不分，則要轉變條件成每人分一個的情況才能夠。4.容斥原理（韋恩圖及意義）①容斥原理

運算原理：不考慮重疊，先計算結果，此后減去重疊部分的計數方式。韋恩圖：

運用代數思想，注明條件對號入座例：某科室有12人，其中6人會英語，5人會俄語，5人會日語，3人既會英語又會俄語，2人既會俄語又會日語，2人既會英語又會日語，1人三種語言全會。只會1種外語的人比1種外語也不會的人多個。②幾何題目中的應用：找到中間懸空圖形是由誰跟誰交織獲取的依照①中的成就列容斥算式2例：在長方形ABCD中，AD＝15cm，AB＝8cm，四邊形OEFG的面積是9cm，求陰影總面積。概率與統計（古典概型、概率可乘性）概率的兩個重要知識點：①古典概型：A的概率＝A發生的情況數÷情況總數②概率可乘性：相互獨立事件同時發生的概率＝各個事件概率的乘積例：學校門口經常有小販搞摸獎活動。某小販在一只口袋里裝有顏色不同樣的50只小球，其中紅球1只，黃球2個，綠球10個，其他為白球。攪拌平均后，每2元摸一個球，獎品的情況標準在球上（紅8元，黃5元，綠1元，白0元）。若是花4元錢，同時摸2個球，那么獲10元獎品的概率是多少？計數方法綜合（標數法、遞推法、對應法、整體法）①標數法：用于最短路線問題。例：如圖，要從A去B，C不能夠經過，最短線路有______條。②遞推法：列舉，找數列規律，從最簡單的情況下思慮遞變規律例：在平面上畫8個圓，最多能夠把平面分成_______部分。③對應法：經過一一對應關系，把復雜計數轉變為簡單計數的方法；結合抵消思想解決差值問題。例：從1985到4891的整數中，十位數字與個位數字同樣的數共有多少個？④整體法：找到共同特點，看作一個整體，同樣的道理，把復雜的情況簡單化。計數比較抽象，觀察條理性(分類、分步)，對小學生來說殺傷力比較強！分類思想，列舉觀察的解題思路為觀察要點。一道題若是不過是由于數大而顯得難，不用考慮，連忙找規律，利用分類崩潰難題，利用特例或簡單題目找解題方法。第三章數論專題考點解析整除問題（整除問題、整除特點、整除技巧）整除的四大系列：①2系列：能被2整除的只要看末一位可否被2整除能被4整除的只要看末兩位可否被4整除能被8整除的只要看末三位可否被8整除（依此類推）②3系列：能被3整除的只要看各位數字之和可否被3整除能被9整除的只要看各位數字之和可否被9整除（不能夠依此類推）能被99整除的從右開始，兩位數為一段，各段數之和是99的倍數。③5系列：能被5整除的只要看末位可否為0或5能被25整除的只要看末兩位可否被25整除能被125整除的只要看末三位可否被125整除（依此類推）④7、11、13系列：從右開始，三位數為一段，奇數段之和與偶數段之和的差若是是7、11、13的倍數，則其為7、11、13的倍數。其他：被11整數還有：從右開始，奇數位之和與偶數位之和的差是11的倍數，則其也能被11整除。合數的整除特點：判斷一個數可否被某個合數整除，一般的方法先分解質因數，觀察因數之間的關系。整除性質：①若是自然數a為M的倍數，則ka為M的倍數。(k為正整數)②若是自然數a、b均為M的倍數，則a＋b，a－b均為M的倍數。③若是a為M的倍數，p為M的約數，則a為p的倍數。④若是a為M的倍數，且a為N的倍數，則a為[M，N]的倍數。整除技巧：①除數分拆：(互質分拆，要有特點)②除數合并：(結合試除，或有特點)③試除技巧：(尾端未知，除數較大)④同余劃刪：(從前往后，剩的純粹)⑤斷位技巧：(兩不沖犯，最小公倍)例1：有一個兩位數不能夠被3、6、9整除，加上8后就能被3、6、9整除了，請問這個兩位數最大是多少？例2：書法興趣小組的72名同學每人都買了一真同樣的字帖，共計□85.□元，你能算出每本字帖多少錢么？例3：用1、2、3、4(每個數恰用一次)組成的四位數中，其中共有多少個能被11整除？約數倍數（約數三定律、完好平方數、短除模型）約數三定律：約數個數定律：(指數＋1)再連乘約數和定律：(每個質因子不同樣次冪相加)再連乘約數積定律：自己的n次方(n＝約數個數÷2)例1：恰有8個約數的兩位數有______個。例2：360的所有約數的和為多少？所有約數的積為多少？短除模型例1：已知兩個自然數的和為54，其最小公倍與最大合約差為14，求這兩個數。若三個連續的自然數中存在兩個偶數,那么它們的最小公倍數為三個數乘積的一半；若三個連續的自然數中只存在一個偶數，那么它們的最小公倍數為三個數的乘積。例2：3個連續的自然數的最小公倍數是

9828,那么這

3個自然數的和等于多少

?末位：

0、1、4、5、6、9完好平方數：

①特點

÷3余0或1余數：4余0或1例1：一天，小明在做一道題，聲稱答案是完好平方數，只見這道題是這樣：A＝1＋1×2＋1×2×3＋＋1×2×3××100，老師一眼就瞅出了小明說錯了，你發現了嗎？例2：記S＝(1×2×3××n)＋(4k＋3)，這里n≥3，當k在1至100間取正整數時，有______個不同樣的k，使得S為一個正整數的平方？②奇數個約數完好平方數偶指性例3：已知自然數

n滿足：12!

除以

n獲取一個完好平方數，則

n的最小值為

_______。例4：禮堂里有

100盞燈，依次按

1～100的序次排號。每盞燈由一根燈繩控制，拉一個亮，再拉一下滅。

100個學生依次進入禮堂，第

1名學生把編號為

1的倍數的燈都拉一下，第

2名學生把編號為

2的倍數的燈都拉一下第

100名學生把編號為

100的倍數的燈都拉一下；最后禮堂里有________盞燈是亮的？③完好平方數在數論中的應用：兩個因數均為完好平方數的話，積必然為完好平方數兩個因數均非完好平方數的話，積可否為完好平方數不確定例5：可否找到這么一個數，它加上24和減去30所獲取的兩個數都是完好平方數？質數合數（質數明星、分解質因數）質數明星：2奇偶性；5個位25例：當P和P＋5都是質數時，P＋5＝______。分解質因數：1．質數：快速判斷2．唯一分解定律3．見積就拆——大質因子解析例1：6個奇數的和為98，積為4267305。這6個奇數中最大數與最小數的和為______。例2：2001個連續自然數和為×××，若、、、均為質數，則＋＋＋d的最小值為______。abcdabcdabc【策略】1.題目中提到質數，但不考分解質因數的話，考慮質數明星2和5；2.分解質因數衍生考點：約數倍數解析法、乘積尾端0的個數問題，見積就拆技巧。余數問題（余數求解、帶余除法、同余問題、節余問題）余數定律：1．利用整除性質求余數2．利用余數性質求余數3．利用除數分拆求余數帶余除式：代數思想，化簡題目數論方程去余化乘，借助約倍關系漸漸考據例：已知2008被一些自然數去除，余數都是10。這樣的自然數共有______個。同余問題：1．同余定理：若是a與b除以余數同樣，則a、b之差為的倍數。mm2．①不同樣余余數性質同余②去余化乘，找倍試約。例：一個自然數除429、791、500所得余數分別是a＋5、2a、a。求這個自然數與a的值。節余問題：例1：17103除以9余______。例2：利用余數性質求余數：2009除以9余______。2009例3：利用除數分拆求余數：200420042004L2004÷45余______。2004數論素來是升初和杯賽觀察最多的專題，保守估計，平均每套試卷25%分值觀察數論。小升初數論考查三要點：約數個數定律逆用，完好平方數，短除模型。“代數思想＋列舉考據”數論殺傷力最強的武器。第四章行程專題考點解析相遇問題追及問題環形問題火車過橋多人行程間隔發車變道問題扶梯問題

流水行船走走停停

變速問題鐘表行程

多次相遇接送問題

多節點行程行程問題：1．行程問題三要素：行程，速度，時間。2．基本公式：行程÷速度＝時間行程÷時間＝速度速度×時間＝行程相遇問題：1．新三要素：行程和，速度和，相遇時間。2．新基本公式：行程和÷速度和＝相遇時間行程和÷相遇時間＝速度和速度和×相遇時間＝行程和注意：相遇問題中的隱蔽的行程差，仿佛追及問題。追及問題：1．新三要素：行程差，速度差，追及時間。2．新基本公式：行程差÷速度差＝追及時間行程差÷追及時間＝速度差速度差×追及時間＝行程差3．注意：①特點，兩人的時間同樣；②難點，是找到兩人的行程差。?例1：夏夏和冬冬同時從兩地相向而行，夏夏每分鐘行50米，冬冬每分鐘行60米，兩人在距兩地中點50米處相遇，求兩地的距離是米。?例2：有甲、乙、丙3人，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走80米，丙每分鐘走60米。現在甲從A地，乙、丙兩人從B地同時出發相向而行。在途中甲與乙相遇6分鐘后，甲又與丙相遇。那么，A、B兩地之間的距離是米。?例3：甲乙二人分別從A、B兩地同時出發，若是兩人同向而行，甲26分鐘追上乙；若是兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離是米。環形問題兩個重要考點：①同向而行：多走一圈，追前一次②相向而行：合走一圈，相遇一次?例1：在300米的環形跑道上，田奇和王強同學同時同地起跑，假仿佛向而跑2分30秒相遇，若是背向而跑則半分鐘相遇，求兩人的速度各是多少？?例2：佳佳和海海在操場上競賽跑步，海海每分鐘跑26米，佳佳每分鐘跑21米，一圈跑道長50米，他們同時從起跑點出發，那么海海第四次高出佳佳需要分鐘。?例3：在400米的環形跑道上，佳佳、海海兩人分別從A、B兩地同時出發，同向而行。4分鐘后，海海第一次追上佳佳，又經過10分鐘海海第二次追上佳佳。已知海海的速度是每分鐘180米，那么佳佳的速度是，、兩地相距米。AB5.多次往返問題：不同樣出發點的往返相遇：第一次相遇合走1個全長，此后每次相遇合走2個全長．．不同樣出發點的往返追及：第一次追及多走1個全長，此后每次追及多走2個全長．．同樣出發點的往返相遇：每次相遇，合走．．2個全長同樣出發點的往返追及：每次追及，多走．．2個全長?例1：甲、乙兩車分別從相距60千米的A、B兩地同時出發，在A、B之間不停往返．甲車的速度是每小時25千米，乙車的速度是每小時35千米．請問：出發小時后兩車第5次迎面相遇。?例2：甲、乙兩車從相距70千米的A、B兩地同時出發，在A、B間不停往返行走，甲車每小時行40千米，乙車每小時行30千米，出發小時后甲第5次追上乙。?例3：甲、乙兩車同時從A地出發，在相距70千米的A、B兩地之間不停往返，甲車每小時行60千米，乙車每小時行80千米，出發小時后兩車第5次迎面相遇。?例4：甲、乙兩車同時從A地出發，在相距50千米的A、B兩地之間不停往返，甲的速度比乙快，第4次甲追上乙時，甲比乙多走了千米。流水行船三個重要考點：①四個速度間的關系：兩船相向而行：水速不影響速度和；同向而行：水速不影響速度差③船上落物，船連續前行時間＝船掉頭找回時間，與水速沒關進階方法：流水行船往返相遇問題，用分段法解析法（某船一旦變速馬上分段談論）題目中假缺條件，比方只給了某一個條件，能夠用設數法。?例1：A、B兩個碼頭間的水道為90千米，其中A碼頭在上游，B碼頭在下游。第一天水速為每小時3千米，甲、乙兩船分別從A、B兩碼頭同時起航同向而行，3小時后乙船追上甲船。已知甲船的靜水速為每小時18千米。乙船的靜水速度是。第二天由于漲水，水速變為每小時5千米。甲、乙兩船分別從、B兩碼頭同時起航相向而行，出發小時后相遇。A?例2：一條小河上，A、B兩地相距140千米，甲、乙兩船分別從A、B兩地同時出發，相向而行。若甲、乙兩船的靜水速度分別為每小時40和30千米，則出發后小時相遇。?例3：一條小河上，A在B上游120千米處，甲、乙兩船同時從B出發逆流而上開往A。若甲、乙兩船的靜水速度分別為每小時70和50千米，水速為每小時10千米，則當甲到達A時，乙距離A多少千米？?例4：輪船從A城到B城需行3天，而從B城到A城需行4天。若從A城放一個無動力的木筏，它順水漂到B城需天。?例5：某人暢游長江，逆流而上，在A處扔掉一只水壺，他向前又游了20分鐘后，才發現扔掉了水壺，馬上返回搜尋，在離A處2千米的地方追到，則他返回尋水壺用了分鐘。7.火車過橋問題：過橋行程＝車長＋橋長過橋時間＝過橋行程÷車速＝（車長＋橋長）÷車速錯車問題：錯車行程＝兩車的車長和錯車時間＝錯車行程÷兩車速度和（相遇問題）超車問題：超車行程＝兩車的車長和超車時間＝超車行程÷兩車速度差（追及問題）?例1：一列火車經過440米的橋需要40秒，以同樣的速度穿過310米的地道需要30秒。這列火車的速度和車身長各是多少？?

例2：小李在鐵路旁邊沿鐵路方向的公路上閑步，

他閑步的速度是

1.5米/秒，這時迎面開來一列火車，?

從車頭到車尾經過他身旁共用了20秒，已知火車全長390米，那么火車的速度是例3：甲、乙兩人分別從A、B兩個城市出發相向而行，已知甲每秒行5米，乙每秒行

。10米，一列長400米的列車從

B開往

A，列車從乙身旁經過用

40秒鐘，這列火車從甲身旁經過需要

秒。走走停停問題：花在跑步的總時間與停留時間沒關，爾后依照停留時間的規律插入到跑步時間里即可。?例1：龜兔賽跑，全程1000米．兔子每分鐘跑50米，烏龜每分鐘爬5米．烏龜不停地爬，但兔子卻邊跑邊玩（玩的時候不前進也不退后），兔子每跑了1分鐘爾后玩20分鐘那么，先到達終點的比后到達終點的快

分鐘。?

例2：龜兔賽跑，全程

1000

米．兔子每分鐘跑

50米，烏龜每分鐘爬

5米．烏龜不停地爬，但兔子卻邊跑邊玩（玩的時候不前進也不退后）

，兔子先跑了

1分鐘爾后玩

20分鐘，又跑

2分鐘爾后玩

20分鐘，再跑

3分鐘爾后玩

20分鐘那么，先到達終點的比后到達終點的快

分鐘。獵狗追兔問題：分兩步，求比率，設速度。?

例1：獵狗前面

26步遠有一只野兔，獵狗追之。兔跑

8步的時間狗跑

5步，兔跑

9步的距離等于狗跑4步的距離。問：兔跑多少步后被獵狗捕捉？此時獵狗跑了

步。10.間隔發車問題：基本公式：車距＝車速×發車間隔時間車距＝車速和×相遇間隔時間車距＝車速差×追及間隔時間學會使用“設數法”“列方程求解”“比率法”等基本技巧。?

例1：某人沿

3000米電車線路行走，每

15分鐘有一輛電車從后邊追上，每

10分鐘有一輛電車迎面開來。假設兩個起點站的發車間隔是同樣的，求這個發車間隔。?

例2：某人沿電車線路行走，

每

15分鐘有一輛電車從后邊追上，每

10分鐘有一輛電車迎面開來。

假設兩個起點站的發車間隔是同樣的，求這個發車間隔。?

例3：電車總站每隔一準時間發一輛車，甲、乙兩人同向行走。甲每隔

10分鐘碰上一輛迎面開來的電車；乙每隔

12分鐘碰上一輛迎面開來的電車．

甲的速度是乙的

2倍，電車總站的發車間隔是多少分鐘？11.扶梯問題：①

理解掌握人在自動扶梯上行走時順（逆）行速度的看法（近似流水行船）

，以及人所走的臺階數、扶梯搬動的臺階數與扶梯可見部分的臺階數這三者的關系。②能夠解決速度和扶梯可見部分臺階數已知的扶梯問題。難點：1.能夠利用行程問題中的比率關系，解決扶梯可見部分臺階數未知的扶梯問題．復合比公式：行程比＝速度比×時間比，想方法將人之間的關系轉變為扶梯之間的關系注意以低等量關系：a）行走的行程（臺階數）＝行走速度×所用時間；b）扶梯搬動的行程（臺階數）＝扶梯速度×所用時間；c）順著扶梯走：扶梯可見部分的臺階數=行走的行程（臺階數）+扶梯搬動的行程（臺階數）；逆著扶梯走：扶梯可見部分的臺階數=行走的行程（臺階數）-扶梯搬動的行程（臺階數）?例1：自動扶梯從下向上勻速運行，每秒上升1級臺階．樂樂從扶梯的下端往上走，每秒走4級臺階．已知自動扶梯的可見部分共有150級臺階，請問樂樂走完扶梯共走了多少級臺階？?例2：商場的自動扶梯從下向上勻速運行，為了知道扶梯可見部分的臺階數，早開初從扶梯下端往上走，走到上端時發現一共走了60級臺階；接著早早又以同樣的速度從扶梯上端往下走，走到下端時發現一共走了120級臺階．那么自動扶梯的可見部分有多少級臺階？?

例3：一部自動扶梯從下向上勻速運行，

早早從扶梯的上端出發往下走，

到達下端時共走了

90級臺階；萌萌從下端往上走，到達上端時共走了

50級臺階．若是早早在扶梯上的行走速度是萌萌的

3倍，那么這部扶梯的可見部分有多少級臺階？接送問題：1.能夠解決“車速不變，人速同樣”的單車雙人的往返接送問題；能夠解決“車速不變，人速不同樣”的單車雙人的往返接送問題。三種題型①畫圖（主要畫車的行程圖，注妄圖形的對稱性）②比率法解題，主要借助：時間同樣的情況下，人車速度比＝人車行程比③提前接送問題，要點關注汽車少走的

2段行程上，弄清車與人在這段行程上的時間關系???

例1：某學校的80名同學去距學校27千米的航空博物館參觀．但是學校只有一輛接送車，車上最多只能載40人（除了司機）．已知車速是45千米/時，同學們步行速度是3千米/時．那么他們最少需要多少分鐘才能到達博物館？例2：甲、乙兩班學生同時從學校出發前往天安門廣場參加國慶活動，甲乙兩班學生的步行速度都是每小時3千米，學校有一輛汽車，它的速度是每小時50千米(空載和滿載時的速度是同樣的)，這輛汽車恰好能坐一個班的學生。為了使兩班學生在最短時間內到達天安門廣場，那么甲班學生與乙班學生需要步行的距離之比是多少？甲需要步行全程的幾分之幾？例3：某科研單位每天派汽車早8點準時到工程師家接他去上班．但今天清早，工程師臨時決定提前到單位，于是他沒有等汽車來接，就自己步行去單位．步行途中碰到了前來接他的汽車，他馬上上車回到單位，上車時是7點55分，問：工程師比平時提前多少分鐘到單位？中途變速行程：基礎題型：1.熟悉“速度同樣的兩段行程，行程與時間差成正比”；掌握“加快”后走過的行程與“提前”的時間成正比。總結：將變速后的過程與原速過程進行比較，獲取時間差，若是題目給出時間差的倍數關系，就可以求出行程的倍數關系，反之題目給出行程的倍數關系，也能夠求出時間差的倍數關系?例1：小明準時從家出發，以100米/分的速度步行上學，恰好能準時到學校．某天，當他走了1000米，發現手表慢了5分鐘，因此馬上跑步前進，到學校恰好準時上課．此后算了一下，若是小明從家開始就跑步，能夠比從家出發就素來步行早10分鐘到學校．那么小明跑步的速度是多少米/分？進階題型：經過正反比和時間差，求解中途變速的行程問題。總結：畫圖時用不同樣的線表示不同樣的速度，畫出2段平時的行程便于比較，其次把能標上的數量都標上，爾后再依照去同樣比不同樣的方法進行比較，最后注意抓住平時的過程，利用它就能很好的聯系兩次變速過程的比較從而解決問題。?例2：小明從家騎車去上學．若是開始行駛10分鐘后，將速度提高三分之一，就比平時提前5分鐘到學校；若是開始行駛1200米后，再將速度提高二分之一，就比平時提前8分鐘到學校；請問家到學校之間的行程是多少米？相遇點不變：依照“先不變，后變化”的步驟解析，學會抓住“行程相等，速度與時間成反比”解題。?例3：甲、乙兩名騎車人分別從A、B兩地同時出發相向而行，4小時后在途中相遇；若甲每小時少騎4千米/時，乙晚一小時出發，則兩人仍在同一地址相遇．已知AB兩地間的距離是180千米，那么乙的騎行速度是_____千米/時。?行程問題要點在于一個公式：行程＝時間×速度。誠然題目種類各有不同樣。但要點還是這個公式找準對策，返璞歸真！行程問題難度相對較大，在小升初中經常作為壓軸題出現，高頻考點：變速，往返，多人。數形結合思想——小奧思想中對初中，高中幫助最多，最大的一個思想。第五章應用題專題考點解析植樹問題平均問題

和差問題歸一問題

倍數問題還原問題

盈虧問題分百問題

雞兔問題工程問題

周期問題濃度問題

經濟問題鐘表問題

年齡問題牛吃草問題※競賽高頻考點植樹問題：主要觀察間隔數與棵樹的關系。審題：注意兩側、兩邊、兩旁。判斷兩端、兩端可否植樹相關公式：間隔數＝路長÷間隔長3.間隔數與棵樹的關系：兩端植樹，棵樹＝間隔數＋1一端植樹，棵樹＝間隔數（環形植樹）相關題型：鋸木頭（刀數）、爬樓層（樓梯數）、敲鐘聲（間隔）例1：把一根木頭鋸成4段需要6分鐘，若是要鋸成13段，需要多少分鐘？例2：小平和小亮同住在一幢大樓里，小平住五樓，小亮住三樓，小平每天回家要走80級臺階，小亮回家要走多少級臺階？和差倍問題：熟練掌握畫線段圖解析問題。畫圖注意：①先找到1倍量；②畫出一倍量；③依照倍數畫圖；④求一倍量2.內部傳達：和不變，差距變化是傳達數量的

2倍例1：書架上分為上下兩層，一開始上下兩層的書同樣多。若從上層拿

16本放到基層，那么基層的書正好是上層的

3倍。求原來兩層的書各有多少本？3.盈虧問題：一個口訣，一套解題模型。難點在于題目的條件變換成解題模型。口訣：盈盈減，虧虧減；一盈一虧就要加；此后除以二次差；所得就是單位數．．．。2.模型：

每只分10．

個，多

9個；每只分．

13個，少

6個。考點：注意分什么剩什么，每次都是平均分。原則是總數與單位數不變。例例

1：幸福小學少先隊的同學到會議室開會，若每條長椅上坐3人則多出7人，若每條長椅上多坐4人則多出3條長椅。問：到會議室開會的少先隊員有多少人？2：小明計劃在若干天內做完一章習題。若是每天做5道題，恰好提前1天做完；若是每天做7道題，恰好提前3天做完。這章習題一共有多少道題？雞兔問題：低年級一般采用假設法解題，高年級能夠采用方程解題假設法：①假設所有是雞；②比較腳的數量變化；③求出兔的數量考試型：①假設全對；②假設錯一題所得的分數判斷錯一題實質帶來的分數變化例1：同學們去春游，大船每船坐6人，小船每船坐4人。全班共有46人，恰好租借10條船。請問：大船小船各有幾條？例2：東湖路小學三年級舉行數學競賽，共20道試題.做對一題得5分，沒有做一題或做錯一題都要倒扣3分。小明得了60分，問他做對了幾道題？周期問題：利用余數解決問題，難點是觀察總數的統計及周期的變化規律。例1：小華2012年3月23日這日想出去玩，但不知道是星期幾，而我們知道今天2012年3月8日是星期四，那么2012年3月23日是星期幾？例2：40位同學排成一行，從左向右報數：先讓第一位同學報2，第二位同學報7，爾后從第三位同學開始，每位同學都把前兩位同學所報的數相乘，再報出乘積的個位來．那么最后一位同學報的是多少？6.年齡問題：1．隨著時間的推移，年齡在增大，倍數在減小，年齡差不變。2．年齡差不變：你長我也長，同時保證人數同樣。不測：年齡差變了，有人去世也許有人出生。3．工具：線段圖。要點：抓住倍數畫圖(先畫1倍量)。利用和差倍問題解題。注意倍數與年齡和必然要同一時間段切合4．考點：往前(此后)推一個年齡差的問題。解決方法，時間軸的使用。例

1：今年，父親是兒子年齡的5倍；15年后，父親年齡是兒子年齡的2倍。問現在父子的年齡各是多少歲？例2：兄弟倆今年年齡和為30歲，當哥哥像弟弟現在這樣大時，弟弟的年齡恰好是哥哥年齡的一半，哥哥今年幾歲？平均問題：總數÷份數＝平均數，反之利用平均數求總數，化題為式解析問題。例1：三兄弟參加數學競賽，他們三個人的平均成績是81分，老大、老二的平均成績比老三多9分，老大比老三多10分，那么老二的成績是多少分？例2：有4個數，每次采用其中3個數，算出它們的平均數，再加上另一個數。用這種方法計算了4次，分別獲取以下4個數：86、92、100、106，那么，原來4個數的平均數是多少？還原問題：從結論出發，倒推到開始，利用線段圖解析問題。例1：小強看一本卡通書，第一天看了這本書的一半又5頁，第二天看了余下的一半又10頁，還有8頁沒看，問這本卡通書共有多少頁？例2：小馬虎做一道減法題，把被減數十位的6看作9，把減數個位的3看作5，結果是217，正確的答案是多少？例3：馬小虎計算一道乘法算式時，錯把乘數23看作了32，這樣算出的積比正確積多450，正確的積是多少？※小升初高頻考點1．分百問題要點：單位1、分數四則運算、分小互化方法：單位1法、份數法、方程法、列表法例1：某學校入學考試，參加的男生與女生人數之比是4∶3。結果錄取91人，其中男生與女生人數之比是8∶5。未被錄取的學生中，男生與女生人數之比是3∶4。問報考的共有多少人？2．工程問題要點：工作總量＝工作效率×工作時間方法：單位1法、份數法、方程法、列表法例1：一項工程，甲單獨完成需要12天，乙單獨完成需要9天。若甲先做若干天后乙接著做，共用10天完成，問甲做了幾天？例2：一池水，甲、乙兩管同時開，5小時灌滿；乙、丙兩管同時開，4小時灌滿。現在先開乙管小時，還需甲、丙兩管同時開2小時才能灌滿。乙單獨開幾小時能夠灌滿？3．濃度問題

6要點：濃度＝(溶質÷溶液)×100%方法：十字交織法(濃度三角)、方程法、列表法、份數法、特值法例1：兩個杯子里分別裝有濃度為40％與10％的鹽水，將這兩杯鹽水倒在一起混雜后，鹽水濃度變為30％。若再加入300克20％的鹽水，濃度變為25％。請問：原有40％的鹽水多少克？4．經濟問題基本看法的理解：成本：商品的進價。也稱為買入價、成本價售價：商品被賣出時候的標價。也稱為賣出價、標價、定價、零售價利潤：商品賣出后商家賺到的錢相關公式：售價＝成本＋利潤利潤率＝利潤÷成本×100%解題方法：邏輯思想：利用經濟類公式抓不變量(一般情況下成本是不變量)方程思想：列一元一次、二元一次、不定方程解決經濟問題假設思想：用于求利潤率、百分數不涉及實質價錢關系的時候能夠用到假設思想例1：某商品按原定價銷售，每件利潤為成本的25％；此后按原定價的90％銷售，結果每天售出的件數比降價前增加了1.5倍。問此后每天經營這種商品的總利潤比降價前增加了百分之幾？第六章幾何專題考點解析1．簡單圖形（正方形、長方形、三角形、平行四邊形、圓形與扇形的周長與面積）2．平面幾何（五大模型＋曲線型幾何＋圖形的軌跡問題）3．立體幾何（積聚體的體積、表面積）4．勾股定理（構造弦圖）幾何觀察趨勢：1．淡化五大模型的直接運用2．增強幾何基本圖形的靈便運用(割補、擴展、平移、旋轉)3．熱衷三角形等積變形＋勾股定理4．立體幾何與曲線幾何難度不大5．差不變原理、特值法近來幾年紅紅火火幾何常用解題方法總結例：圖中外側的四邊形是一個邊長為10厘米的正方形。求陰影部分的面積。例：如圖，相鄰兩格點間距離為1，則圖中陰影部分三角形的面積為______。例：如圖，把△DEF各邊向外延長1倍后獲取△ABC，三角形ABC面積為1。三角形DEF面積為多少？五大模型①共角模型：鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形。共角三角形的面積比等于對應角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比例：已知三角形DEF的面積為18，AD∶BD＝2∶3，AE∶CE＝1∶2，BF∶CF＝3∶2，則三角形ABC的面積為？②共邊模型：三角形等積變形、一半模型例：圖中三角形

ABC的面積是

180平方厘米，

D是

BC的中點，

AD的長是

AE長的3倍，EF的長是

BF長的

3倍。那么三角形

AEF的面積是多少平方厘米？（3）一半模型例：一個長方形分成4個不同樣的三角形，綠色三角形面積占長方形面積的15%，2黃色三角形面積是21cm。問：長方形的面積是多少平方厘米？③蝴蝶模型1）隨意四邊形中的比率關系：2）梯形中的比率關系：例：如圖，梯形ABCD的AB平行于CD，對角線AC，BD交于O，已知△AOB與△BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是多少平方厘米？④燕尾模型S△AGB∶S△AGC＝S△EGB∶S△EGC＝EB∶ECS△BGA∶S△BGC＝S△FGA∶S△FGC＝FA∶FCS△CGA∶S△CGB＝S△DGA∶S△DGB＝DA∶DB例：在三角形ABC中，三角形AEO的面積是1，三角形ABO的面積是2，三角形BOD的面積是3，則四邊形DCEO的面積是多少？曲線形面積問題：六個基本圖形及其面積的求法。①利用割補平移也許等積代換，把不規則圖形轉變為規則圖形（整體）

。例：如圖，大圓半徑為小圓半徑兩倍，已知圖中陰影部分面積為

S1，空白部分面積為S2，那么這兩部分面積之比為

______。(π取

3.14)②利用切割手法也許去掉公共的部分，把圖形轉變為相對規則的圖形（分塊）例：如圖，BD＝DC＝DA＝1。求陰影部分面積。③利用容斥原理，多加后減例：如圖，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半徑AE＝6，扇形CBF的半徑CB＝4厘米。求陰影部分面積。(π取3)立體基本圖形及其表面積與體積。1）立體基本圖形及其表體基本圖形表面積體積基本圖形表面積體積正方體6a2a2×a長方體2（ab＋ac＋bc）ab×c圓柱體22212圓錐體πR＋πRl3πR×h＋2πRh球體2434πR3πR例：一個酒瓶里面深30厘米，底面直徑是10厘米，瓶里酒深15厘米。把酒瓶塞緊后使其口朝下倒立，這時酒深25厘米，酒瓶的容積是多少？(π取3)2）三視圖的幾種考法①利用三視圖求立體表面積例：如圖，棱長分別為1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四個正方體緊貼在一起，所獲取的多面體表面積是______平方厘米。②低層標數法：利用三視圖還原立體圖形例：小明用若干個大小同樣的正方體堆成一個幾何體，這個幾何體從正面看以以下列圖左，從上面看以以下列圖右，那么這個幾何體最少用______塊。③切片法：例：有一個棱長為5厘米的正方體木塊，從它的每個面看都有一個穿透的完好同樣的孔。求這個立體圖形的內、表面面的總面積及體積。勾股定理：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。構造弦圖：利用輔助線切割不規則圖形為規則圖形、傳達等量關系。例：如圖，兩個長方形大小同樣，長和寬分別為12和8，求陰影部分的面積。第七章

邏輯專題考點解析抽屜原理巧填算符

最不利原則邏輯推理游戲與對策染色與覆蓋找規律算式謎多筆畫

幻方與數陣圖兼備與最優化

頁碼問題智巧趣題

格點與割補抽屜原理：1.最不利原則：平均分原則蘋果數÷抽屜數＝na，則最少有一個抽屜里有n＋1個蘋果要想有一個抽屜最少有2個蘋果，則蘋果的數量最少比抽屜的數量多1個2.難點：抽屜的計算，計數功底必然要扎實，依照“要證明的內容”構造抽屜例：17

名同學參加一次考試，考試題是

3道判斷題

(答案只有對錯之分

)，每名同學都在答題紙上依次寫上了

3道題目的答案。試說明最少有

3名同學的答案是同樣的。例：在一只口袋中有紅色、黃色、藍色球若干個，小聰穎和其他九個小朋友一起做游戲，每人能夠從口袋中隨意取出2個球，那么無論怎樣優選，總有兩個小朋友取出的兩個球的顏色是完好同樣的。你能說明這是為什么嗎？例：求證：對于隨意8個自然數，必然能從中找到6個數a、b、c、d、e、f，使得(a－b)(c－d)(e－f)是105的倍數。2.邏輯推理：①列表法；②定序法；③消除法④矛盾法；⑤假設法邏輯推理常用思想：假設考據思想，極端試一試思想例：甲、乙、丙在2010年高考中，分別考中了北大，清華和理工大學的數學系，物理系和化學系，現知道以下情況：⑴甲不在北大；⑵乙不在清華；⑶在北大的不學數學；⑷在清華的學物理；⑸乙不學化學。依照以上情況判斷甲、乙、丙三人各在哪個學校？哪個系？例：小明、小芳、小林三人中，有一人偷偷把教室打掃得干干凈凈，老師問他們三人是誰做的好事，三人都不認但是自己做的。小明說：小芳打掃的。小芳說：不是我打掃的。小林說：也不是我打掃的。如果這三句話中只有一句話是真話，你能幫助老師判斷教室是誰打掃的嗎？例：在臨上刑場前，國王對預知家說：“你不是很會預知嗎？你怎么不能夠預知到你今天要被處死呢？我給你個機遇，你能夠預知一下今天我會怎樣處死你。你若是預知對了，我就讓你服毒死；你若是預知錯了，我就絞死你。”但是聰穎的預知家說了一句話，使得國王無論怎樣也無法將他處死。請問，他是怎樣預知的？例：阿凡提騎著毛驢去搜尋寶藏，碰到了兩扇門和兩個看門人，一扇門后是寶藏，另一扇門后是保衛寶藏的怪物，一個看門人只講真話，另一個看門人只講謊言，兩個看門人都知道寶藏在哪一扇門后，但不知道他們誰講真話，誰講謊言，聰穎的阿凡提向其中一個守門人問道：“若是問另一個人寶藏在哪一扇門，他會怎么回答？”依照那人的回答，阿凡提馬上判斷出寶藏的地址，請解析阿凡提怎樣判斷出寶藏的地址。幻方與數陣圖：1.三階幻方的性質：①幻和＝總和÷3；②中心數＝幻和÷3＝總和÷9；③“T型臺”原理2.數陣圖一般解題步驟：①找到重疊數，確定重疊次數②用字母表示重疊數與和③列式，邊和×個數＝數字和＋重疊數×（重疊次數－1）④求得重疊數與和的關系，并解析取值的情況，試一試填圖例：在以下列圖的空格里填入七個將1~7七個數字填入右圖自然數，使每一行、每一列的七個○內，使每個圓周及每一條對角線上的三個數和每條直線上的三個數的和都等于90。之和都相等。格點與割補：①正方形格點：S＝N＋L÷2－1②三角形格點：S＝2N＋L－2③S：面積；N：內點個數；L：外點個數例：正六邊形ABCDEF的面積是180平方厘米。M是AB中點，N是CD中點，P是EF中點。問：三角形MNP的面積是多少平方厘米？巧填算符：①逆推法：適用于數字少，結果小的題目。從等號左邊最后一個數字開始漸漸向前逆推，最后使等式成立。湊數法：適用于數字多，結果大的題目。先用式子中的一些數字湊出一個與結果比較接近的數，爾后再對式子中剩下的數字做合適的調整和運算，使等式成立。③可兩種方法結合適用，更加快捷，注意也可將題目中的相鄰幾個數字看作一個數。染色與覆蓋：整體解析，利用三個不等式來判斷結果例：五年級一班有35名同學，共分成5