2.4正態(tài)分布【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過正態(tài)曲線了解正態(tài)分布2.了解正態(tài)曲線的基本特點，了解正態(tài)曲線隨著參數(shù)和變化而變化的特點，了解正態(tài)分布的3原則。3.會計算正態(tài)分布的概率【學(xué)習(xí)重、難點】學(xué)習(xí)重點：理解并掌握正態(tài)曲線的特點學(xué)習(xí)難點：掌握3原則【問題導(dǎo)學(xué)】1.什么是正態(tài)曲線？什么是正態(tài)分布？正態(tài)分布的密度函數(shù)是什么？3.什么是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布？密度函數(shù)是什么？如何將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布？4.正態(tài)曲線的特點是什么？5.什么是3原則？【典例探究】典例1.下列關(guān)于正態(tài)曲線性質(zhì)的敘述：曲線關(guān)于直線對稱，這條曲線在軸的上方；曲線關(guān)于直線對稱，這條曲線只有當(dāng)時才在軸的上方；曲線關(guān)于軸對稱，因為曲線對應(yīng)的正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù)；曲線在時位于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低；曲線的位置由確定，曲線的形狀由確定；越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“瘦高”。其中正確的有典例2.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，，則（）A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84典例3.已知，求落在區(qū)間（1.35,1.45）內(nèi)的概率。典例4.在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布，現(xiàn)在已知該班同學(xué)中成績在分的有17人，該班成績在90分以上的同學(xué)有多少人？【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1.關(guān)于正態(tài)分布N(μ，σ2)，下列說法正確的是()A．隨機變量落在區(qū)間長度為3σ的區(qū)間之外是一個小概率事件B．隨機變量落在區(qū)間長度為6σ的區(qū)間之外是一個小概率事件C．隨機變量落在(－3σ，3σ)之外是一個小概率事件D．隨機變量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一個小概率事件2.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布,若,則c=()A.1 B.2C.3 D.4 3.設(shè)兩個正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如圖所示,則有（）A. B.C.D.4.某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則下列命題不正確的是（）A.該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分；B.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同；C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同；D.該市這次考試的數(shù)學(xué)成績標(biāo)準(zhǔn)差為10.10．商場經(jīng)營的某種包裝的大米質(zhì)量X服從正態(tài)分布N(10,0.12)(單位：kg)，任取一袋大米，質(zhì)量在10kg～10.2kg的概率是多少？【知識構(gòu)建】【拓展訓(xùn)練】選擇題1．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,62)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.22．設(shè)隨機變量X～N(1,22)，則Y＝3X－1服從的總體分布可記為________．3．設(shè)隨機變量ξ～N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，則P(－1<ξ<0)＝()A.eq\f(1,2)＋p B．1－pC．1－2p D.eq\f(1,2)－p4．設(shè)正態(tài)總體落在區(qū)間(－∞，－1)和區(qū)間(3，＋∞)的概率相等，落在區(qū)間(－2,4)內(nèi)的概率為99.7%，則該正態(tài)總體對應(yīng)的正態(tài)曲線的最高點的坐標(biāo)為()A．(1，eq\f(1,\r(2π))) B．(1，eq\r(2))C．(eq\f(1,\r(2π))，1) D．(1,1)5.已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則（）A． B． C． D，二、填空題6.如圖是三個正態(tài)分布X～N(0，0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲線，則三個隨機變量X，Y，Z對應(yīng)曲線分別是圖中的________、________、________.7.在某項測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(2，＋∞)上取值的概率為________．8.設(shè)X～N(5,1)，則P(6<X≤7)=三、解答題9.已知某地農(nóng)民工年均收入ξ服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)圖象如圖所示．(1)寫出此地農(nóng)民工年均收入的概率密度曲線函數(shù)式；(2)求此地農(nóng)民工年均收入在8000～8500之間的人數(shù)百分比．10．已知某種零件的尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在[80，＋∞)上是減函數(shù)，且f(80)＝eq\f(1,8\r(2π)).(1)求概率密度函數(shù)；(2)估計尺寸在72～88mm間的零件大約占總數(shù)的百分之幾？【高考鏈接】（2022?山東）已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間內(nèi)概率為（）A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%2.4正態(tài)分布的答案典例1（1）（4）（5）（6）典例2A典例3因為，所以落在區(qū)間（1.35,1.45）內(nèi)的概率為典例4成績服從正態(tài)分布，成績在內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的，成績在內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的。設(shè)該班有x名同學(xué)，則內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的，成績在90分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的2.3%，故成績在90分以上的人僅有1人。基礎(chǔ)訓(xùn)練DBAB解：∵X～N(10,0.12)，∴μ＝10，σ＝0.1.∴P(9.8<X≤10.2)＝P(10－2×0.1<X≤10＋2×0.1)＝0.9544.又∵正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝10對稱，∴P(10<X≤10.2)＝eq\f(1,2)P(9.8<X≤10.2)＝0.4772，∴質(zhì)量在10kg～10.2kg的概率為0.4772.拓展訓(xùn)練1.解析：選C.由P(ξ<4)＝0.8知P(ξ>4)＝P(ξ<0)＝0.2，故P(0<ξ<2)＝0.3.2.解析：因為X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.又Y＝3X－1，所以E(Y)＝3E(X)－1＝3μ－1＝2，D(Y)＝9D(X)＝62，所以Y～N(2,62)．答案：Y～N(2,62)3.解析：選D.如圖，P(ξ>1)表示x軸、x>1與正態(tài)密度曲線圍成區(qū)域的面積，由正態(tài)密度曲線的對稱性知：x軸、x<－1與正態(tài)密度曲線圍成區(qū)域的面積也為p，所以P(－1<ξ<0)＝eq\f(1－2p,2)＝eq\f(1,2)－p.4.解析：選A.正態(tài)總體落在區(qū)間(－∞，－1)和(3，＋∞)的概率相等，說明正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對稱，所以μ＝1.又在區(qū)間(－2,4)內(nèi)的概率為99.7%，∴1－3σ＝－2,1＋3σ＝4，∴σ＝1.∴f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\s\up5(eq\f(x－1eq\s\up3(2),2))，x∈R，∴最高點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,\r(2π)))).A解析：在密度曲線中，σ越大，曲線越“矮胖”；σ越小，曲線越“瘦高”．答案：①②③7.解析：由正態(tài)分布的特征易得P(ξ>2)＝eq\f(1,2)×[1－2P(0<ξ<1)]＝eq\f(1,2)×(1－0.8)＝0.1.8.解：由已知得P(4<X≤6)＝0.6826P(3<X≤7)＝0.9544.又∵正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝5對稱，∴P(3<X≤4)＋P(6<X≤7)＝0.9544－0.6826＝0.2718.由對稱性知P(3<X≤4)＝P(6<X≤7)，所以P(6<X≤7)＝eq\f(0.2718,2)＝0.13599.解：設(shè)農(nóng)民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，結(jié)合圖象可知μ＝8000，σ＝500.(1)此地農(nóng)民工年均收入的正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式P(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\s\up5(eq\s\up5(eq\f(x－μeq\s\up3(2),2σeq\s\up5(2))))＝eq\f(1,500\r(2π))e－eq\s\up5(eq\s\up5(eq\f(x－8000eq\s\up3(2),2×500eq\s\up5(2))))，x∈(－∞，＋∞)．(2)∵P(7500<ξ≤8500)＝P(8000－500<ξ≤8000＋500)＝0.6826.又∵正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ＝8000對稱，∴P(8000<ξ≤8500)＝eq\f(1,2)P(7500<ξ≤8500)＝0.3413，即農(nóng)民工年均收入在8000～8500之間的人數(shù)占總體的34.13%.10.解：(1)由于正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在[80，＋∞)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝80對稱，且在x＝80處取得最大值，因此得μ＝80，eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,8\r(2π))，所以σ＝8.故概率密度函數(shù)解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,8\