關于流體靜力學靜止流體與固體壁面間的作用力第1頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五第五節靜止流體與固體壁面間的作用力

第2頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五本節導讀

靜止液體作用在平面上的總壓力包括三個問題：

平面水平面垂直面斜面1.總壓力的大小2.總壓力的作用點3.總壓力的方向pp第3頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五一、水平面1.總壓力的大小ph

容器底面上液體靜壓強

水面上部壓力分布均勻

水面下部壓力

僅有液體產生的力相減第4頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五ph

物理含義：水平面上總壓力大小＝底面積為A、高度為h、密度為ρ這么多液體的質量力3.總壓力的方向沿內法線方向，垂直指向底面2.總壓力的作用點平面（？）的形心第5頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五ph平面的形心幾何中心r1/2h2/3hhh第6頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五ph

僅由液體產生作用在水平平面上的總壓力同樣只與液體的密度、平面面積和液深有關。AhAhAhAh

液體對容器底部的作用力相等靜水奇象第7頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五二、斜面（一）總壓力的大小

則作用在這條微元面積上靜止液體的總壓力為h為傾斜平面上任一點到自由液面的深度y為相應的點在OY軸上的坐標

在深度h內選取一微元面積，dA=xdy

由靜止液體產生的壓強p=ρghh=ysinΘ第8頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

圖2-20靜止液體中傾斜平面上液體的總壓力第9頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

圖2-20靜止液體中傾斜平面上液體的總壓力MyFhh=ysinΘdA=xdyp=ρgh第10頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五積分上式得靜止液體作用在整個淹沒平面上的總壓力淹沒面積A對OX軸的面積矩為平面A的形心C到O點的距離稱為形心y坐標第11頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

圖2-20靜止液體中傾斜平面上液體的總壓力Mychchc第12頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

如果用表示形心的垂直深度，稱為形心淹深

那么與水平面完全一致第13頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

思考一下！

三個面上的壓力容器旋轉結果怎樣？第14頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五（二）總壓力的作用點

淹沒在靜止液體的平面上總壓力的作用點，壓力中心。

合力矩定理可知，總壓力對OX軸之矩等于各微元面積上的總壓力對OX軸之矩的代數和。用一個集中壓力代替分布壓力系

作用在微元面積上的總壓力

對OX軸的力矩為第15頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

用表示OY軸上點O到壓力中心的距離

則按合力矩定理有為平面面積對OX的慣性矩。第16頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

總壓力兩式相除第17頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

根據慣性矩的平行移軸公式第18頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五——面積對于通過它形心且平行于OX軸的軸線的慣性矩——平面形心的y坐標查表

通常，實際工程中遇到的平面多數是對稱的，因此壓力中心的位置是在平面對稱的中心線上，此時不必求的坐標值，只需求得坐標值即可。第19頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

壓力中心的位置與Θ角無關，即平面面積可以繞與OX軸平行且通過壓力中心的軸旋轉。

由方程還可看到，壓力中心總是在形心下方，隨淹沒的深度增加，壓力中心逐漸趨近于形心。第20頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五第21頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五第22頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五【例2-6】圖2-22表示一個兩邊都承受水壓的矩形水閘，如果兩邊的水深分別為h1=2m，h2=4m，試求每米寬度水閘上所承受的凈總壓力及其作用點的位置。

【解】淹沒在自由液面下h1深的矩形水閘的形心

yc=hc=h1/2

每米寬水閘左邊的總壓力為

由式(2-40)確定的作用點F1位置

第23頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五圖2-22第24頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五其中通過形心軸的慣性矩IC=bh31/12，所以F1的作用點位置在離底1/3h=2/3m處。淹沒在自由液面下h2深的矩形水閘的形心yc=hc=h2/2。每米寬水閘右邊的總壓力為第25頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五同理F2作用點的位置在離底1/3h2=4/3m處。每米寬水閘上所承受的凈總壓力為F=F2-F1=78448-19612=58836假設凈總壓力的作用點離底的距離為h，可按力矩方程求得其值。圍繞水閘底O處的力矩應該平衡，即第26頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五第六節曲面上的靜水總壓力

一、總壓力的大小和方向圖2-23所示為一圓柱形開口容器中某一部分曲面AB上承受液體靜止壓強的情況設曲面的寬度為b，在A處取一微小弧段ds則作用在寬度為b、長度為ds的弧面dA上僅由液體產生的總壓力為第27頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五CDAxHhdFdFxdFzdsΘ圖2-23作用在圓柱體曲面上的總壓力B第28頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五OX軸方向的分力為OZ軸方向的分力為第29頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五1.水平分力dsdxdh因此，靜止液體作用在曲面AB上的總壓力在OX軸方向的分力，即水平分力為第30頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五dsdxdh曲面面積在垂直平面（OYZ坐標面）上的投影面積AX對OY軸的面積矩

該圓柱形曲面在垂直平面上的投影面積Ax=bH，

則

其形心hc=H/2第31頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五dsdxdh

靜止液體作用在曲面上的總壓力的水平分力等于作用在這一曲面的垂直投影面上的總壓力。F作用線的位置位于自由液面下2/3H處。第32頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五思考一下！判斷：下述結論哪一個是正確的？兩圖中F均為單位寬度上的靜水總壓力。

A.Fx>F2

B.Fx=F2

正確答案B第33頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五2.垂直分力dsdxdh

靜止液體作用在曲面AB上的垂直分力第34頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五dsdxdh曲面AB與自由液面間的柱體體積壓力體靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂直分力等于壓力體的液體重量，Fz的作用線通過壓力體的重心。第35頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五3.總壓力的大小和方向

靜止液體作用在曲面上水平分力Fx

靜止液體作用在曲面上水平分力Fz

靜止液體作用在曲面上的總壓力

總壓力與垂線間夾角的正切為第36頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五二、總壓力的作用點總壓力的作用線通過Ｏ點Fx和Fz與作用線的交點。總壓力作用線與曲面的交點就是總壓力在曲面上的作用點，即壓力中心。第37頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五FzFABFx總壓力F的作用點：作出Fx及Fz的作用線，得交點，過此交點，按傾斜角θ作總壓力F的作用線，與曲面壁AB相交的點，即為總壓力F的作用點。第38頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五三、壓力體的概念

定義

壓力體是所研究的曲面（淹沒在靜止液體中的部分）到自由液面或自由液面的延長面間投影所包圍的一塊空間體積。

數學體積計算式

作用在曲面上的垂直分力的大小等于壓力體內液體的重量，并且與壓力體內是否充滿液體無關。第39頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

壓力體體積的組成：（1）受壓曲面本身；（2）通過曲面周圍邊緣所作的鉛垂面；

（3）自由液面或自由液面的延長線。壓力體第40頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

壓力體的種類：

實壓力體：實壓力體方向向下

虛壓力體：虛壓力體方向向上實壓力體虛壓力體第41頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

壓力體的繪制（一）：第42頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

壓力體的繪制（二）：第43頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五四、靜止液體作用在曲面上的總壓力的計算程序(1)

將總壓力分解為水平分力Fx和垂直分力Fz(3)

確定壓力體的體積(7)

作用點的確定，即總壓力的作用線與曲面的交點即是。(2)

水平分力的計算(4)

垂直分力的計算，方向由虛、實壓力體確定。(5)

總壓力的計算(6)

總壓力方向的確定第44頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五【例2-7】求圖2-25所示流體施加到水平放置的單位長度圓柱體上的水平分力和垂直分力：（a）如果圓柱體左側的流體是一種計示壓強為35kPa被密封的箱內的氣體；（b）如果圓柱體左側的流體是水，水面與圓柱體最高部分平齊，水箱開口通大氣。

【解】（a）圓柱體表面所研究部分的凈垂直投影為則35kPa計示壓強的氣體作用在單位長度圓柱體上的水平分力為Az=[4-2(1-cos300)]×1

則35kPa計示壓強的氣體作用在單位長度圓柱體上的水平分力為Fx=pAz=35×[4-2(1-cos300)]×1=353.75=130.5(kN)

圓柱體表面所研究部分的凈水平投影為

Ax=2sin300×1第45頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

則氣體作用在單位長度圓柱體上的垂直分力為

Fz=pAx=35×2sin300×1=35(kN)

（b）Fx=ρghcAx=9.81×(1/2×3.73)×(3.73×1)×1000=68.1（kN）

Fz=ρgVp=9.81×1000×(2100/3600×22+1/2×1×1.732+1×2)×1=100.5(KN)

第46頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五圖2-25第47頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五【例2-8】圖2-26所示為一水箱，左端為一半球形端蓋，右端為一平板端蓋。水箱上部有一加水管。已知h=600mm，R=150mm，試求兩端蓋所受的總壓力及方向。

【解】（1）右端蓋是一圓平面，面積為

A右=πR2

其上作用的總壓力有

F右=ρg(h+R)A右=ρg(h+R)πR2=103×9.806×(0.6+0.15)×3.14×0.152=520（N）方向垂直于端蓋水平向右（2）左端蓋是一半球面，分解為水平方向分力Fx左和第48頁，共52頁，2022年，5月20日，5點54分，星期五

垂直方向分力Fz左。

Fx左=ρg(h+R)Ax=ρg(h+R)πR2=103×9.806×(0.6+0.15)×3.14×0.152=520（N）