八年級下冊數學好題難題精選分式：一：如果abc=1,求證++=1解：原式=++=++==1二：已知+=，則+等于多少？解：+==2()=92+4+2=92（）=5=+=三：一個圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內注水，水面高度達到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管２倍的大水管注水。向容器中注滿水的全過程共用時間t分。求兩根水管各自注水的速度。解：設小水管進水速度為x，則大水管進水速度為4x。由題意得：解之得：經檢驗得：是原方程解。∴小口徑水管速度為，大口徑水管速度為。四：聯系實際編擬一道關于分式方程的應用題。要求表述完整，條件充分并寫出解答過程。解略五：已知M＝、N＝，用“+”或“－”連結M、N,有三種不同的形式，M+N、M-N、N-M，請你任取其中一種進行計算，并簡求值，其中x：y=5：2。解：選擇一：，當∶=5∶2時，，原式=．選擇二：，當∶=5∶2時，，原式=．選擇三：，當∶=5∶2時，，原式=．反比例函數：一：一張邊長為16cm正方形的紙片，剪去兩個面積一定且一樣的小矩形得到一個“E”圖案如圖1所示．小矩形的長x（cm）與寬y（cm）之間的函數關系如圖2所示：（1）求y與x之間的函數關系式；（2）“E”圖案的面積是多少？（3）如果小矩形的長是6≤x≤12cm，求小矩形寬的范圍.解：（1）設函數關系式為∵函數圖象經過（10，2）∴∴k=20，∴（2）∵∴xy=20，∴（3）當x=6時，當x=12時，∴小矩形的長是6≤x≤12cm，小矩形寬的范圍為二：是一個反比例函數圖象的一部分，點，是它的兩個端點．111010111010ABOxy（2）請你舉出一個能用本題的函數關系描述的生活實例．解：（1）設，在圖象上，，即，，其中；（2）答案不唯一．例如：小明家離學校，每天以的速度去上學，那么小明從家去學校所需的時間．三：如圖，⊙A和⊙B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于.答案：r=1S=πr2=π四：如圖11，已知正比例函數和反比例函數的圖像都經過點M（－2，），且P（，－2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．（1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；圖12圖11（3）如圖12，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．圖12圖11解：（1）設正比例函數解析式為，將點M（，）坐標代入得，所以正比例函數解析式為同樣可得，反比例函數解析式為（2）當點Q在直線DO上運動時，設點Q的坐標為，于是，而，所以有，，解得所以點Q的坐標為和（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而點P（，）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設點Q的坐標為，由勾股定理可得，所以當即時，有最小值4，又因為OQ為正值，所以OQ與同時取得最小值，所以OQ有最小值2．由勾股定理得OP＝，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是．五：如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與Y軸和X軸分別交于點A、點8，與反比例函數y一罟在第一象限的圖象交于點c(1，6)、點D(3，x)．過點C作CE上y軸于E，過點D作DF上X軸于F．(1)求m，n的值；(2)求直線AB的函數解析式；勾股定理：一：清朝康熙皇帝是我國歷史上對數學很有興趣的帝王．近日，西安發現了他的數學專著，其中有一文《積求勾股法》，它對“三邊長為3、4、5的整數倍的直角三角形，已知面積求邊長”這一問題提出了解法：“若所設者為積數（面積），以積率六除之，平方開之得數，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之數”．用現在的數學語言表述是：“若直角三角形的三邊長分別為3、4、5的整數倍，設其面積為S，則第一步：＝m；第二步：=k；第三步：分別用3、4、5乘以k，得三邊長”．（1）當面積S等于150時，請用康熙的“積求勾股法”求出這個直角三角形的三邊長；（2）你能證明“積求勾股法”的正確性嗎？請寫出證明過程．解：（1）當S=150時，k===5，所以三邊長分別為：3×5=15，4×5=20，5×5=25；（2）證明：三邊為3、4、5的整數倍，設為k倍，則三邊為3k，4k，5k，而三角形為直角三角形且3k、4k為直角邊．其面積S=（3k）·（4k）=6k2，所以k2=，k=（取正值），即將面積除以6，然后開方，即可得到倍數．二：一張等腰三角形紙片，底邊長l5cm，底邊上的高長22．5cm．現沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖所示．已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是()A．第4張B．第5張C．第6張D．第7張答案：C三：如圖，甲、乙兩樓相距20米，甲樓高20米，小明站在距甲樓10米的處目測得點與甲、乙樓頂剛好在同一直線上，且A與B相距米，若小明的身高忽略不計，則乙樓的高度是米．20米20米乙CBA甲10米？米20米答案：40米四：恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世．著名的恩施大峽谷和世界級自然保護區星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務區，向、兩景區運送游客．小民設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（與直線垂直，垂足為），到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點關于直線的對稱點是，連接交直線于點），到、的距離之和．（1）求、，并比較它們的大小；（2）請你說明的值為最小；（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，到直線的距離為，請你在旁和旁各修建一服務區、，使、、、組成的四邊形的周長最小．并求出這個最小值．BBAPX圖（1）YXBAQPO圖（3）BAPX圖（2）解:⑴圖10（1）中過B作BC⊥AP,垂足為C,則PC＝40,又AP＝10,∴AC＝30在Rt△ABC中，AB＝50AC＝30∴BC＝40∴BP＝S1＝⑵圖10（2）中，過B作BC⊥AA′垂足為C，則A′C＝50，又BC＝40∴BA'＝由軸對稱知：PA＝PA'∴S2＝BA'＝∴﹥(2)如圖10（2），在公路上任找一點M,連接MA,MB,MA'，由軸對稱知MA＝MA'∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B∴S2＝BA'為最小（3）過A作關于X軸的對稱點A',過B作關于Y軸的對稱點B'，連接A'B',交X軸于點P,交Y軸于點Q,則P,Q即為所求過A'、B'分別作X軸、Y軸的平行線交于點G,A'B'＝∴所求四邊形的周長為DCEBGAF五：已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交DCEBGAF（1）求證：；（2）若，求AB的長．解：（1）證明：于點，DCEDCEBGAF，．連接，AG＝AG,AB＝AF，．．（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，．．，．．四邊形：一：如圖，△ACD、△ABE、△BCF均為直線BC同側的等邊三角形.(1)當AB≠AC時，證明四邊形ADFE為平行四邊形；EFDABC(2)當ABEFDABC解：(1)∵△ABE、△BCF為等邊三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°.∴∠FBE=∠CBA.∴△FBE≌△CBA.∴EF=AC.又∵△ADC為等邊三角形，∴CD=AD=AC.∴EF=AD.同理可得AE=DF.∴四邊形AEFD是平行四邊形.(2)構成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段.當圖形為菱形時，∠BAC≠60°（或A與F不重合、△ABC不為正三角形）當圖形為線段時，∠BAC=60°（或A與F重合、△ABC為正三角形）.二：如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連結DE并延長至點F，使EF=AE，連結AF、BE和CF。（1）請在圖中找出一對全等三角形，用符號“≌”表示，并加以證明。（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由。（3）若AB=6，BD=2DC，求四邊形ABEF的面積。解：（1）（選證一）（選證二）證明：（選證三）證明：（2）四邊形ABDF是平行四邊形。由（1）知，、、都是等邊三角形。（3）由（2）知，）四邊形ABDF是平行四邊形。三：如圖，在△ABC中，∠A、∠B的平分線交于點D，DE∥AC交BC于點E，DF∥BC交AC于點F．（1）點D是△ABC的________心；（2）求證：四邊形DECF為菱形．解：(1)內.(2)證法一：連接CD，∵DE∥AC，DF∥BC，圖7∴四邊形DECF圖7又∵點D是△ABC的內心，∴CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，又∠FDC＝∠ECD，∴∠FCD＝∠FDC∴FC＝FD，∴□DECF為菱形．證法二：過D分別作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．∵AD、BD分別平分∠CAB、∠ABC，∴DI=DG，DG=DH．∴DH=DI．∵DE∥AC，DF∥BC，∴四邊形DECF為平行四邊形，∴S□DECF=CE·DH=CF·DI，∴CE=CF．∴□DECF為菱形．四：在矩形ABCD中，點E是AD邊上一點，連接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，連接BD．點P從點E出發沿射線ED運動，過點P作PQ∥BD交直線BE于點Q．(1)當點P在線段ED上時（如圖1），求證：BE＝PD＋PQ；（2）若BC＝6，設PQ長為x，以P、Q、D三點為頂點所構成的三角形面積為y，求y與x的函數關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（3）在②的條件下，當點P運動到線段ED的中點時，連接QC，過點P作PF⊥QC，垂足為F，PF交對角線BD于點G（如圖2），求線段PG的長。解：（1）證明：∵∠A=90°∠ABE=30°∠AEB=60°∵EB=ED∴∠EBD=∠EDB=30°∵PQ∥BD∴∠EQP=∠EBD∠EPQ=∠EDB∴∠EPQ=∠EQP=30°∴EQ=EP過點E作EM⊥OP垂足為M∴PQ=2PM∵∠EPM=30°∴PM=PE∴PE=PQ∵BE=DE=PD+PE∴BE=PD+PQ（2）解：由題意知AE=BE∴DE=BE=2AE∵AD=BC=6∴AE=2DE=BE=4當點P在線段ED上時（如圖1）過點Q做QH⊥AD于點HQH=PQ=x由（1）得PD=BE-PQ=4-x∴y=PD·QH=當點P在線段ED的延長線上時（如圖2）過點Q作QH⊥DA交DA延長線于點H’∴QH’=x過點E作EM’⊥PQ于點M’同理可得EP=EQ=PQ∴BE=PQ-PD∴PD=x-4y=PD·QH’=（3）解：連接PC交BD于點N（如圖3）∵點P是線段ED中點∴EP=PD=2∴PQ=∵DC=AB=AE·tan60°=∴PC==4∴cos∠DPC==∴∠DPC=60°∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°∵PQ∥BD∴∠PND=∠QPC=90°∴PN=PD=1QC==∵∠PGN=90°-∠FPC∠PCF=90°-∠FPC∴∠PCN=∠PCF……………1分∵∠PNG=∠QPC=90°∴△PNG～△QPC∴∴PG==五：如圖,這是一張等腰梯形紙片,它的上底長為2,下底長為4,腰長為2,這樣的紙片共有5張.打算用其中的幾張來拼成較大的等腰梯形,那么你能拼出哪幾種不同的等腰梯形?分別畫出它們的示意圖,并寫出它們的周長.解：如圖所示六：已知:如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊BC、AB上的點,且EF=ED,EF⊥ED.求證:AE平分∠BAD.證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠B=∠C=∠BAD=90°AB=CD∴∠BEF+∠BFE=90°∵EF⊥ED∴∠BEF+∠CED=90°∴∠BEF=∠CED∴∠BEF=∠CDE又∵EF=ED∴△EBF≌△CDE∴BE=CD∴BE=AB∴∠BAE=∠BEA=45°∴∠EAD=45°∴∠BAE=∠EAD∴AE平分∠BAD七：如圖,矩形紙片ABCD中,AB=8,將紙片折疊,使頂點B落在邊AD的E點上,BG=10.(1)當折痕的另一端F在AB邊上時,如圖(1).求△EFG的面積.(2)當折痕的另一端F在AD邊上時,如圖(2).證明四邊形BGEF為菱形,并求出折痕GF的長.圖（1）圖（1）圖（2）解:(1)過點G作GH⊥AD,則四邊形ABGH為矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由圖形的折疊可知△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴,∴EF=5,∴S△EFG=EF·EG=×5×10=25.(2)由圖形的折疊可知四邊形ABGF≌四邊形HEGF,∴BG=EG,AB=EH,∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF=∠EFG,∴EF=EG,∴BG=EF,∴四邊形BGEF為平行四邊形,又∵EF=EG,∴平行四邊形BGEF為菱形連結BE，BEFG互相垂直平分，在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=16，∴BE==8，∴BO=4，∴FG=2OG=2=4。八：（1）請用兩種不同的方法，用尺規在所給的兩個矩形中各作一個不為正方形的菱形，且菱形的四個頂點都在矩形的邊上．（保留作圖痕跡）（2）寫出你的作法．解：（1）所作菱形如圖①、②所示．說明：作法相同的圖形視為同一種．例如類似圖③、圖④的圖形視為與圖②是同一種．（2）圖①的作法：作矩形A1B1C1D1四條邊的中點E1、F1、G1、H1；連接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1．四邊形E1F1G1H1即為菱形．圖②的作法：在B2C2上取一點E2，使E2C2＞A2E2且E2不與B2重合；以A2為圓心，A2E2為半徑畫弧，交A2D2于H2；以E2為圓心，A2E2為半徑畫弧，交B2C2于F2；連接H2F2，則四邊形A2E2F2H2為菱形．ABCPDE九：如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點EABCPDE（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）設AP=x,△PBE的面積為y.①求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；②當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值.解：（1）證法一：①∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.∵PC=PC，∴△PBC≌△PDC（SAS）.∴PB=PD，∠PBC=∠PDC.又∵PB=PE，∴PE=PD.ABCDPE12H②（i）當點E在線段ABCDPE12H∵PB=PE，∴∠PBE=∠PEB，∴∠PEB=∠PDC，∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，∴PE⊥PD.）（ii）當點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，此時，PE⊥PD.（iii）當點E在BC的延長線上時，如圖.∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD.綜合（i）（ii）（iii）,PE⊥PD.ABCPDEF（2）①過點P作PF⊥BC，垂足為ABCPDEF∵AP=x，AC=，∴PC=-x，PF=FC=.BF=FE=1-FC=1-()=.∴S△PBE=BF·PF=().即(0＜x＜).②.∵＜0，∴當時，y最大值.（1）證法二：ABCPDEFG123①過點P作GF∥ABCPDEFG123∵四邊形ABCD是正方形，∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.又∵PB=PE，∴BF=FE，∴GP=FE，∴△EFP≌△PGD（SAS）.∴PE=PD.②∴∠1=∠2.∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.∴∠DPE=90°.∴PE⊥PD.（2）①∵AP=x，∴BF=PG=，PF=1-.∴S△PBE=BF·PF=().即(0＜x＜).②.∵＜0，∴當時，y最大值.十：如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系：（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系；②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷．（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)題①中得到的結論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由．（3）在第(2)題圖5中，連結、，且a=3，b=2，k=，求的值．解:(1)①②仍然成立在圖（2）中證明如下∵四邊形、四邊形都是正方形∴，，∴∴（SAS）∴又∵∴∴∴（2）成立，不成立簡要說明如下∵四邊形、四邊形都是矩形，且，，，(，)∴，∴∴∴又∵∴∴∴（3）∵∴又∵，，∴∴數據的分析：一：4．為了幫助貧困失學兒童，某團市委發起“愛心儲蓄”活動，鼓勵學生將自己的壓歲錢和零花錢存入銀行，定期一年，到期后可取回本金，而把利息捐給貧困失學兒童.某中學共有學生1200人，圖1是該校各年級學生人數比例分布的扇形統計圖，圖2是該校學生人均存款情況的條形統計圖.（1）九年級學生人均存款元； （2）該校學生人均存款多少元？（3）已知銀行一年期定期存款的年利率是2.25%（“愛心儲蓄”免收利息稅），且每351元能提供給一位失學兒童一學年的基本費用，那么該校一學年能幫助多少為貧困失學兒童。解：（1）240（2）解法一：七年級存款總額：400×1200×40％=192000（元）八年級存款總額：300×1200×35％=126000（元）九年級存款總額：240