第18頁〔共18頁〕2023年湖北省武漢市中考數學試卷一、單項選擇題〔共10小題，每題3分，共30分〕1．〔3分〕〔2023?武漢〕在實數﹣2，0，2，3中，最小的實數是〔〕A．﹣2B．0C．2D．32．〔3分〕〔2023?武漢〕假設在實數范圍內有意義，那么x的取值范圍是〔〕A．x＞0B．x＞3C．x≥3D．x≤33．〔3分〕〔2023?武漢〕光速約為300000千米/秒，將數字300000用科學記數法表示為〔〕A．3×104B．3×105C．3×106D．30×1044．〔3分〕〔2023?武漢〕在一次中學生田徑運動會上，參加跳高的15名運發動的成績如表：成績〔m〕1.501.601.651.701.751.80人數124332那么這些運發動跳高成績的眾數是〔〕A．4B．1.75C．1.70D．1.655．〔3分〕〔2023?武漢〕以下代數運算正確的是〔〕A．〔x3〕2=x5B．〔2x〕2=2x2C．x3?x2=x5D．〔x+1〕2=x2+16．〔3分〕〔2023?武漢〕如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A〔6，6〕，B〔8，2〕，以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，那么端點C的坐標為〔〕A．〔3，3〕B．〔4，3〕C．〔3，1〕D．〔4，1〕7．〔3分〕〔2023?武漢〕如圖是由4個大小相同的正方體搭成的幾何體，其俯視圖是〔〕A．B．C．D．8．〔3分〕〔2023?武漢〕為了解某一路口某一時段的汽車流量，小明同學10天中在同一時段統計通過該路口的汽車數量〔單位：輛〕，將統計結果繪制成如下折線統計圖：由此估計一個月〔30天〕該時段通過該路口的汽車數量超過200輛的天數為〔〕A．9B．10C．12D．159．〔3分〕〔2023?武漢〕觀察以下一組圖形中點的個數，其中第1個圖中共有4個點，第2個圖中共有10個點，第3個圖中共有19個點，…按此規律第5個圖中共有點的個數是〔〕A．31B．46C．51D．6610．〔3分〕〔2023?武漢〕如圖，PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，交PA，PB于C，D．假設⊙O的半徑為r，△PCD的周長等于3r，那么tan∠APB的值是〔〕A．B．C．D．二、填空題〔共6小題，每題3分，總分值18分〕11．〔3分〕〔2023?武漢〕計算：﹣2+〔﹣3〕=．12．〔3分〕分解因式：a3﹣a=．13．〔3分〕〔2023?武漢〕如圖，一個轉盤被分成7個相同的扇形，顏色分為紅、黃、綠三種，指針的位置固定，轉動轉盤后任其自由停止，其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置〔指針指向兩個扇形的交線時，當作指向右邊的扇形〕，那么指針指向紅色的概率為．14．〔3分〕〔2023?武漢〕一次越野跑中，當小明跑了1600米時，小剛跑了1400米，小明、小剛所跑的路程y〔米〕與時間t〔秒〕之間的函數關系如圖，那么這次越野跑的全程為米．15．〔3分〕〔2023?武漢〕如圖，假設雙曲線y=與邊長為5的等邊△AOB的邊OA、AB分別相交于C、D兩點，且OC=2BD．那么實數k的值為．16．〔3分〕〔2023?武漢〕如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，那么BD的長為．三、解答題〔共9小題，總分值72分，應寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕17．〔6分〕〔2023?武漢〕解方程：=．18．〔6分〕〔2023?武漢〕直線y=2x﹣b經過點〔1，﹣1〕，求關于x的不等式2x﹣b≥0的解集．19．〔6分〕〔2023?武漢〕如圖，AC和BD相交于點O，OA=OC，OB=OD．求證：DC∥AB．20．〔7分〕〔2023?武漢〕如圖，在直角坐標系中，A〔0，4〕，C〔3，0〕．〔1〕①畫出線段AC關于y軸對稱線段AB；②將線段CA繞點C順時針旋轉一個角，得到對應線段CD，使得AD∥x軸，請畫出線段CD；〔2〕假設直線y=kx平分〔1〕中四邊形ABCD的面積，請直接寫出實數k的值．21．〔7分〕〔2023?武漢〕袋中裝有大小相同的2個紅球和2個綠球．〔1〕先從袋中摸出1個球后放回，混合均勻后再摸出1個球．①求第一次摸到綠球，第二次摸到紅球的概率；②求兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的概率；〔2〕先從袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球，那么兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的概率是多少？請直接寫出結果．22．〔8分〕〔2023?武漢〕如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是上兩點，AB=13，AC=5．〔1〕如圖〔1〕，假設點P是的中點，求PA的長；〔2〕如圖〔2〕，假設點P是的中點，求PA的長．23．〔10分〕〔2023?武漢〕九〔1〕班數學興趣小組經過市場調查，整理出某種商品在第x〔1≤x≤90〕天的售價與銷量的相關信息如下表：時間x〔天〕1≤x＜5050≤x≤90售價〔元/件〕x+4090每天銷量〔件〕200﹣2x該商品的進價為每件30元，設銷售該商品的每天利潤為y元．〔1〕求出y與x的函數關系式；〔2〕問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少？〔3〕該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元？請直接寫出結果．24．〔10分〕〔2023?武漢〕如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒〔0＜t＜2〕，連接PQ．〔1〕假設△BPQ與△ABC相似，求t的值；〔2〕連接AQ，CP，假設AQ⊥CP，求t的值；〔3〕試證明：PQ的中點在△ABC的一條中位線上．25．〔12分〕〔2023?武漢〕如圖，直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交于A，B兩點．〔1〕直線AB總經過一個定點C，請直接出點C坐標；〔2〕當k=﹣時，在直線AB下方的拋物線上求點P，使△ABP的面積等于5；〔3〕假設在拋物線上存在定點D使∠ADB=90°，求點D到直線AB的最大距離．2023年湖北省武漢市中考數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題〔共10小題，每題3分，共30分〕1．〔3分〕【考點】實數大小比較．【專題】常規題型．【分析】根據正數大于0，0大于負數，可得答案．【解答】解：﹣2＜0＜2＜3，最小的實數是﹣2，應選：A．【點評】此題考查了實數比較大小，正數大于0，0大于負數是解題關鍵．2．〔3分〕【考點】二次根式有意義的條件．【專題】常規題型．【分析】先根據二次根式有意義的條件得出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵使在實數范圍內有意義，∴x﹣3≥0，解得x≥3．應選：C．【點評】此題考查的是二次根式有意義的條件，即被開方數大于等于0．3．〔3分〕【考點】科學記數法—表示較大的數．【專題】常規題型．【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：將300000用科學記數法表示為：3×105．應選：B．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4．〔3分〕【考點】眾數．【專題】常規題型．【分析】根據眾數的定義找出出現次數最多的數即可．【解答】解：∵1.65出現了4次，出現的次數最多，∴這些運發動跳高成績的眾數是1.65；應選：D．【點評】此題考查了眾數，用到的知識點是眾數的定義，眾數是一組數據中出現次數最多的數．5．〔3分〕【考點】冪的乘方與積的乘方；同底數冪的乘法；完全平方公式．【專題】計算題．【分析】根據冪的乘方與積的乘方、同底數冪的乘法法那么及完全平方公式，分別進行各選項的判斷即可．【解答】解：A、〔x3〕2=x6，原式計算錯誤，故A選項錯誤；B、〔2x〕2=4x2，原式計算錯誤，故B選項錯誤；C、x3?x2=x5，原式計算正確，故C選項正確；D、〔x+1〕2=x2+2x+1，原式計算錯誤，故D選項錯誤；應選：C．【點評】此題考查了冪的乘方與積的乘方、同底數冪的運算，掌握各局部的運算法那么是關鍵．6．〔3分〕【考點】位似變換；坐標與圖形性質．【專題】幾何圖形問題．【分析】利用位似圖形的性質結合兩圖形的位似比進而得出C點坐標．【解答】解：∵線段AB的兩個端點坐標分別為A〔6，6〕，B〔8，2〕，以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，∴端點C的橫坐標和縱坐標都變為A點的一半，∴端點C的坐標為：〔3，3〕．應選：A．【點評】此題主要考查了位似圖形的性質，利用兩圖形的位似比得出對應點橫縱坐標關系是解題關鍵．7．〔3分〕【考點】簡單組合體的三視圖．【專題】常規題型．【分析】找到從上面看所得到的圖形即可．【解答】解：從上面看可得到一行正方形的個數為3，應選：C．【點評】此題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．8．〔3分〕【考點】折線統計圖；用樣本估計總體．【專題】常規題型．【分析】先由折線統計圖得出10天中在同一時段通過該路口的汽車數量超過200輛的天數，求出其頻率，再利用樣本估計總體的思想即可求解．【解答】解：由圖可知，10天中在同一時段通過該路口的汽車數量超過200輛的有4天，頻率為：=0.4，所以估計一個月〔30天〕該時段通過該路口的汽車數量超過200輛的天數為：30×0.4=12〔天〕．應選：C．【點評】此題考查了折線統計圖及用樣本估計總體的思想，讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．9．〔3分〕【考點】規律型：圖形的變化類．【專題】規律型．【分析】由圖可知：其中第1個圖中共有1+1×3=4個點，第2個圖中共有1+1×3+2×3=10個點，第3個圖中共有1+1×3+2×3+3×3=19個點，…由此規律得出第n個圖有1+1×3+2×3+3×3+…+3n個點．【解答】方法一：解：第1個圖中共有1+1×3=4個點，第2個圖中共有1+1×3+2×3=10個點，第3個圖中共有1+1×3+2×3+3×3=19個點，…第n個圖有1+1×3+2×3+3×3+…+3n個點．所以第5個圖中共有點的個數是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46．應選：B．方法二：n=1，s=4；n=2，s=10；n=3，s=19，設s=an2+bn+c，∴，∴a=，b=，c=1，∴s=n2+n+1，把n=5代入，s=46．方法三：，，，，∴a5=19+12+15=46．【點評】此題考查圖形的變化規律，找出圖形之間的數字運算規律，利用規律解決問題．10．〔3分〕【考點】切線的性質；相似三角形的判定與性質；銳角三角函數的定義．【專題】幾何圖形問題；壓軸題．【分析】〔1〕連接OA、OB、OP，延長BO交PA的延長線于點F．利用切線求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．【解答】解：連接OA、OB、OP，延長BO交PA的延長線于點F．∵PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，∵△PCD的周長=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，∴PA=PB=．在Rt△PBF和Rt△OAF中，，∴Rt△PBF∽Rt△OAF．∴===，∴AF=FB，在Rt△FBP中，∵PF2﹣PB2=FB2∴〔PA+AF〕2﹣PB2=FB2∴〔r+BF〕2﹣〔〕2=BF2，解得BF=r，∴tan∠APB===，應選：B．【點評】此題主要考查了切線的性質，相似三角形及三角函數的定義，解決此題的關鍵是切線與相似三角形相結合，找準線段及角的關系．二、填空題〔共6小題，每題3分，總分值18分〕11．〔3分〕【考點】有理數的加法．【專題】計算題．【分析】根據有理數的加法法那么求出即可．【解答】解：〔﹣2〕+〔﹣3〕=﹣5，故答案為：﹣5．【點評】此題考查了有理數加法的應用，注意：同號兩數相加，取原來的符號，并把絕對值相加．12．〔3分〕【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【專題】因式分解．【分析】先提取公因式a，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解．【解答】解：a3﹣a，=a〔a2﹣1〕，=a〔a+1〕〔a﹣1〕．故答案為：a〔a+1〕〔a﹣1〕．【點評】此題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行二次分解，注意要分解徹底．13．〔3分〕【考點】概率公式．【專題】常規題型．【分析】由一個轉盤被分成7個相同的扇形，顏色分為紅、黃、綠三種，紅色的有3個扇形，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一個轉盤被分成7個相同的扇形，顏色分為紅、黃、綠三種，紅色的有3個扇形，∴指針指向紅色的概率為：．故答案為：．【點評】此題考查了概率公式的應用．注意用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．14．〔3分〕【考點】一次函數的應用．【專題】數形結合．【分析】設小明的速度為a米/秒，小剛的速度為b米/秒，由行程問題的數量關系建立方程組求出其解即可．【解答】解：設小明的速度為a米/秒，小剛的速度為b米/秒，由題意，得，解得：，∴這次越野跑的全程為：1600+300×2=2200米．故答案為：2200．【點評】此題考查了行程問題的數量關系的運用，二元一次方程組的解法的運用，解答時由函數圖象的數量關系建立方程組是關鍵．15．〔3分〕【考點】反比例函數與一次函數的交點問題；等邊三角形的性質．【分析】過點C作CE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，設OC=2x，那么BD=x，分別表示出點C、點D的坐標，代入函數解析式求出k，繼而可建立方程，解出x的值后即可得出k的值．【解答】解：過點C作CE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，設OC=2x，那么BD=x，在Rt△OCE中，∠COE=60°，那么OE=x，CE=x，那么點C坐標為〔x，x〕，在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，那么BF=x，DF=x，那么點D的坐標為〔5﹣x，x〕，將點C的坐標代入反比例函數解析式可得：k=x2，將點D的坐標代入反比例函數解析式可得：k=x﹣x2，那么x2=x﹣x2，解得：x1=2，x2=0〔舍去〕，故k=x2=×4=4．故答案為：4．【點評】此題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，解答此題關鍵是利用k的值相同建立方程，有一定難度．16．〔3分〕【考點】全等三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據等式的性質，可得∠BAD與∠CAD′的關系，根據SAS，可得△BAD與△CAD′的關系，根據全等三角形的性質，可得BD與CD′的關系，根據勾股定理，可得答案．【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD與△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′〔SAS〕，∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=，故答案為：．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，利用了全等三角形的判定與性質，勾股定理，作出全等圖形是解題關鍵．三、解答題〔共9小題，總分值72分，應寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕17．〔6分〕【考點】解分式方程．【專題】計算題．【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x=3x﹣6，解得：x=6，經檢驗x=6是分式方程的解．【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“轉化思想〞，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．〔6分〕【考點】一次函數與一元一次不等式．【專題】計算題．【分析】把點〔1，﹣1〕代入直線y=2x﹣b得到b的值，再解不等式．【解答】解：把點〔1，﹣1〕代入直線y=2x﹣b得，﹣1=2﹣b，解得，b=3．函數解析式為y=2x﹣3解2x﹣3≥0得x≥．【點評】此題考查了一次函數與一元一次不等式，要知道，點的坐標符合函數解析式．19．〔6分〕【考點】全等三角形的判定與性質；平行線的判定．【專題】證明題．【分析】根據邊角邊定理求證△ODC≌△OBA，可得∠C=∠A〔或者∠D=∠B〕，即可證明DC∥AB．【解答】證明：∵在△ODC和△OBA中，∵，∴△ODC≌△OBA〔SAS〕，∴∠C=∠A〔或者∠D=∠B〕〔全等三角形對應角相等〕，∴DC∥AB〔內錯角相等，兩直線平行〕．【點評】此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質和平行線的判定的理解和掌握，解答此題的關鍵是利用邊角邊定理求證△ODC≌△OBA．20．〔7分〕【考點】作圖-旋轉變換；作圖-軸對稱變換．【專題】作圖題．【分析】〔1〕①根據關于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數確定出點B的位置，然后連接AB即可；②根據軸對稱的性質找出點A關于直線x=3的對稱點，即為所求的點D；〔2〕根據平行四邊形的性質，平分四邊形面積的直線經過中心，然后求出AC的中點，代入直線計算即可求出k值．【解答】解：〔1〕①如下列圖；②直線CD如下列圖；〔2〕∵由圖可知，AD=BC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵A〔0，4〕，C〔3，0〕，∴平行四邊形ABCD的中心坐標為〔，2〕，代入直線得，k=2，解得k=．【點評】此題考查了利用旋轉變換作圖，利用軸對稱變換作圖，還考查了平行四邊形的判定與性質，是根底題，要注意平分四邊形面積的直線經過中心的應用．21．〔7分〕【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】常規題型．【分析】〔1〕①首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與第一次摸到綠球，第二次摸到紅球的情況，再利用概率公式即可求得答案；②首先由①求得兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的情況，再利用概率公式即可求得答案；〔2〕由先從袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球，共有等可能的結果為：4×3=12〔種〕，且兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的有8種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：〔1〕①畫樹狀圖得：∵共有16種等可能的結果，第一次摸到綠球，第二次摸到紅球的有4種情況，∴第一次摸到綠球，第二次摸到紅球的概率為：=；②∵兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的有8種情況，∴兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的為：=；〔2〕∵先從袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球，共有等可能的結果為：4×3=12〔種〕，且兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的有8種情況，∴兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的概率是：=．【點評】此題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．22．〔8分〕【考點】相似三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理．【專題】幾何綜合題．【分析】〔1〕根據圓周角的定理，∠APB=90°，P是弧AB的中點，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．〔2〕根據垂徑定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，從而得出△ACB∽△0NP，根據對應邊成比例求得ON、AN的長，利用勾股定理求得NP的長，進而求得PA．【解答】解：〔1〕如圖〔1〕所示，連接PB，∵AB是⊙O的直徑且P是的中點，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，∴PA===．〔2〕如圖〔2〕所示：連接BC．OP相交于M點，作PN⊥AB于點N，∵P點為弧BC的中點，∴OP⊥BC，∠OMB=90°，又因為AB為直徑∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB=∠POB，又因為∠ACB=∠ONP=90°，∴△ACB∽△0NP∴=，又∵AB=13AC=5OP=，代入得ON=，∴AN=OA+ON=9∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36在Rt△ANP中有PA===3∴PA=3．【點評】此題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質，相似三角形的判定和性質，作出輔助線是此題的關鍵．23．〔10分〕【考點】二次函數的應用．【專題】銷售問題．【分析】〔1〕根據單價乘以數量，可得利潤，可得答案；〔2〕根據分段函數的性質，可分別得出最大值，根據有理數的比較，可得答案；〔3〕根據二次函數值大于或等于4800，一次函數值大于或等于48000，可得不等式，根據解不等式組，可得答案．【解答】解：〔1〕當1≤x＜50時，y=〔200﹣2x〕〔x+40﹣30〕=﹣2x2+180x+2000，當50≤x≤90時，y=〔200﹣2x〕〔90﹣30〕=﹣120x+12000，綜上所述：y=；〔2〕當1≤x＜50時，二次函數開口向下，二次函數對稱軸為x=45，當x=45時，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，當50≤x≤90時，y隨x的增大而減小，當x=50時，y最大=6000，綜上所述，該商品第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元；〔3〕當1≤x＜50時，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利潤不低于4800元的天數是20≤x＜50，共30天；當50≤x≤90時，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利潤不低于4800元的天數是50≤x≤60，共11天，所以該商品在銷售過程中，共41天每天銷售利潤不低于4800元．【點評】此題考查了二次函數的應用，利用單價乘以數量求函數解析式，利用了函數的性質求最值．24．〔10分〕【考點】相似形綜合題．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】〔1〕分兩種情況討論：①當△BPQ∽△BAC時，=，當△BPQ∽△BCA時，=，再根據BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計算即可；〔2〕過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，那么有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根據△ACQ∽△CMP，得出=，代入計算即可；〔3〕作PE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，先得出DF=，再把QC=4t，PE=8﹣CM=8﹣4t代入求出DF，過BC的中點R作直線平行于AC，得出RC=DF，D在過R的中位線上，從而證出PQ的中點在△ABC的一條中位線上．【解答】解：〔1〕∵AC=6cm，BC=8cm，∴AB==10cm，①當△BPQ∽△BAC時，∵=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴=，∴t=1；②當△BPQ∽△BCA時，∵=，∴=，∴t=，∴t=1或時，△BPQ與△ABC相似；〔2〕如下列圖，過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，那么有PB=5t，PM=PBsinB=3t，BM=4t，MC=8﹣4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，∴△ACQ∽△CMP，∴=，∴=，解得：t=；〔3〕如圖，作PM⊥BC于點M，PQ的中點設為D點，再作PE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，∵∠ACB=90°，∴DF為梯形PECQ的中位線，∴DF=，∵QC=4t，PE=8﹣BM=8﹣4t，∴DF==4，∵BC=8，過BC的中點R作直線平行于AC，∴RC=DF=4成立，∴D在過R的中位線上，∴PQ的中點在△ABC的一條中位線上．【點評】此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質、中位線的性質等，關鍵是畫出圖形作出輔助線構造相似三角形，注意分兩種情況討論．25．〔12分〕【考點】二次函數綜合題；解一元二次方程-因式分解法；根與系數的關系；勾股定理；相似三角形的判定與性質．【專題】壓軸題．【分析】方法一：〔1〕要求定點的坐標，只需尋找一個適宜x，使得y的值與k無關即可．〔2〕只需聯立兩函數的解析式，就可求出點A、B的坐標．設出點P的橫坐標為a，運用割補法用a的代數式表示△APB的面積，然后根據條件建立關于a的方程，從而求出a的值，進而求出點P的坐標．〔3〕設點A、B、D的橫坐標分別為m、n、t，從條件∠ADB=90°出發，可構造k型相似，從而得到m、n、t的等量關系，然后利用根與系數的關系就可以求出t，從而求出點D的坐標．由于直線AB上有一個定點C，容易得到DC長就是點D到AB的最大距離，只需構建直角三角形，利用勾股定理即可解決問題．方法二：〔1〕因為直線AB：y=kx+2k+4，y=k〔x+2〕+4，所以x=﹣2時，與k無關．〔2〕利用三角形面積公式水平底與鉛垂高乘積的一半可求解．〔3〕列出A，B，D三點參數坐標，結合兩根之和，兩根之積得出關于m的一元二次方程，求出與k無關的m的值，并求出D點坐標，當直線CD與直線AB垂直時距離最大．【解答】方法一：解：〔1〕∵當x=﹣2時，y=〔﹣2〕k+2k+4=4．∴直線AB：y=kx+2k+4必經過定點〔﹣2，4〕．∴點C的坐標為〔﹣2，4〕．〔2〕∵k=﹣，∴直線的解析式為y=﹣x+3．聯立，解得：或．∴點A的坐標為〔﹣3，〕，點B的坐標為〔2，2〕．過點P作PQ∥y軸，交AB于點Q，過點A作AM⊥PQ，垂足為M，過點B作BN⊥PQ，垂足為N，如圖1所示．設點P的橫坐標為a，那么點Q的橫坐標為a．∴yP=a2，yQ=﹣a+3．∵點P在直線AB下方，∴PQ=yQ﹣yP=﹣a+3﹣a2∵AM+NB=a﹣〔﹣3〕+2﹣a=5．∴S△APB=S△APQ+S△BPQ=PQ?AM+PQ?BN=PQ?〔AM+BN〕=〔﹣a+3﹣a2〕?5=5．整理得：a2+a﹣2=0．解得：a1=﹣2，a2=1．當a=﹣2時，yP=×〔﹣2〕2=2．此時點P的坐標為〔﹣2，2〕．當a=1時，yP=×12=．此時點P的坐標為〔1，〕．∴符