2.1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理哈爾濱第三中學王慧第二章推理與證明什么是推理?根據一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程叫推理.從結構上說,推理一般由兩部分組成,一部分是已知的事實(或假設)叫做前提,一部分是由已知推出的新的判斷,叫結論.思考

任何一個不小于6的偶數都等于兩個奇質數的和.觀察下列等式

6=3+38=3+510=3+712=5+7歸納出一個規律：偶數=奇質數+奇質數

通過更多特例的檢驗,從6開始,沒有出現反例.大膽猜想:哥德巴赫猜想16=5+1118=7+1120=7+1322=5+17

半個世紀之后，歐拉發現：猜想：后來人們發現都是合數.觀察分析發現規律大膽猜想檢驗猜想推理一般步驟費馬猜想

每幅地圖可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的相鄰區域著上不同色.

四色猜想

1852年，英國人弗南西斯·格思里為地圖著色時，發現了四色猜想.

1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在兩臺計算機上，用了1200個小時，完成了四色猜想的證明.哥尼斯堡七橋問題

18世紀在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸連結，如圖所示。城中的居民經常沿河過橋散步，于是提出了一個問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點。這就是七橋問題，一個著名的圖論問題。

這個問題看起來似乎不難，但人們始終沒有能找到答案，最后問題提到了大數學家歐拉那里。歐拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在。歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成A、B、C、D4個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖所示。

于是“七橋問題”就等價于圖中所畫圖形的一筆畫問題了。歐拉注意到，每個點如果有進去的邊就必須有出來的邊，從而每個點連接的邊數必須有偶數個才能完成一筆畫。圖的每個點都連接著奇數條邊，因此不可能一筆畫出，這就說明不存在一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次的走法。歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時也為拓撲學的研究提供了一個初等的例子。要甜的，好吃的！

從前有一位富翁想吃芒果,打發他的仆人到果園去買,并告訴他:"要甜的,好吃的,你才買."仆人拿好錢就去了.到了果園,園主說:“我這里樹上的芒果個個都是甜的,你嘗一個看.”仆人說:“我嘗一個怎能知道全體呢我應當個個都嘗過,嘗一個買一個,這樣最可靠.”仆人于是自己動手摘芒果,摘一個嘗一口,甜的就都買回去.帶回家去,富翁見了,非常氣憤,都扔了.嘗一個，怎么知道全體呢？我得嘗一個買一個嘗一個，怎么知道全體呢？我得嘗一個買一個想一想：故事中仆人的做法實際嗎？換作你，你會怎么做？第一個芒果是甜的第二個芒果是甜的第三個芒果是甜的這個果園的芒果都是甜的推理第一個芒果是甜的第二個芒果是甜的第三個芒果是甜的這個果園的芒果都是甜的已知判斷前提新的判斷結論銅能導電鋁能導電金能導電銀能導電一切金屬都能導電.三角形內角和為凸四邊形內角和為凸五邊形內角和為

凸n邊形內角和為第一個芒果是甜的第二個芒果是甜的第三個芒果是甜的這個果園的芒果都是甜的第一個數為2第二個數為4第三個數為6第四個數為8第n個數為2n.銅能導電鋁能導電金能導電銀能導電一切金屬都能導電.三角形內角和為凸四邊形內角和為凸五邊形內角和為

凸n邊形內角和為第一個芒果是甜的第二個芒果是甜的第三個芒果是甜的這個果園的芒果都是甜的第一個數為2第二個數為4第三個數為6第四個數為8第n個數為2n.部分個別整體一般一.歸納推理定義:由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征,或者由個別事實概括出一般性的結論,這樣的推理稱為歸納推理(簡稱歸納).由部分到整體,由個別到一般的推理注歸納推理的幾個特點;1.歸納是依據特殊現象推斷一般現象,因而,由歸納所得的結論超越了前提所包容的范圍.2.歸納是依據若干已知的、沒有窮盡的現象推斷尚屬未知的現象,因而結論具有猜測性.3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經驗和實驗的基礎之上.歸納是立足于觀察、經驗、實驗和對有限資料分析的基礎上.提出帶有規律性的結論.

需證明

未必可靠歸納推理的基礎歸納推理的作用歸納推理觀察、分析發現新事實、獲得新結論由部分到整體、個別到一般的推理注意歸納推理的結論不一定成立例1:已知數列{an}的第1項a1=1且(n=1,2,3…),試歸納出這個數列的通項公式.1nnaa+an+1=例2:數一數圖中的凸多面體的面數F、頂點數V和棱數E,然后用歸納法推理得出它們之間的關系.多面體面數(F)頂點數(V)棱數(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔464556598多面體面數(F)頂點數(V)棱數(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔464556598668612812610多面體面數(F)頂點數(V)棱數(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔46455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想歐拉公式對大于或等于的自然數的n次方冪有如下分解方式：

13=1

根據上述分解規律，若m3的分解中最小的數是73，則m的值為___.

例3例4(2004春季上海)根據圖中5個圖形及相應點的個數的變化規律,試猜測第n個圖形中有

個點.(1)(2)(3)(4)(5)(05年廣東)設平面內有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數,f(4)=

,當n>4時,f(n)=

.(用n表示)例5例6

蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數.則f(4)=_____;f(n)=___________.

例6

蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數.則f(4)=37;f(n)=3n2-3n+1可能有生命存在有生命存在溫度適合生物的生存一年中有四季的變更有大氣層大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存一年中有四季的變更有大氣層行星、圍繞太陽運行、繞軸自轉行星、圍繞太陽運行、繞軸自轉火星地球火星上是否存在生命火星地球相似點:繞太陽運轉、繞軸自轉、有大氣層、有季節變換、大部分時間的溫度適合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命火星上可能有生命上述推理是怎樣的一個過程呢？（步驟）是歸納推理？思考火星與地球類比的思維過程：火星地球存在類似特征地球上有生命存在猜測火星上也可能有生命存在

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理.類比推理二1.我國古代工匠魯班從帶齒的草葉和蝗蟲的齒牙受到啟發，發明了鋸；2.人們仿照鳥類的外形和它們在空中的飛行原理，發明了飛機；3.仿照魚類的外形和它們在水中的沉浮原理，發明了潛水艇；生活中的類比思想我們已經學習過“等差數列”與“等比數列”.你是否想過“等和數列”、“等積數列”？

從第二項起，每一項與其前一項的差等于一個常數的數列是等差數列.類推

從第二項起，每一項與其前一項的和等于一個常數的數列是等和數列.讓我們一起來類比推理..圓的概念和性質球的類似概念和性質圓心與弦(非直徑)中點連線垂直于弦.與圓心距離相等的兩弦相等;與圓心距離不等的兩弦不等,距圓心較近的弦較長.以點P(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2＋(y-y0)2=r2.球心與截面圓(不經過球心的截面圓)圓心連線垂直于截面圓.與球心距離相等的兩截面圓面積相等;與球心距離不等的兩截面圓面積不等,距球心較近的截面圓面積較大.以點P(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.①②③④⑤⑥若，則

①②③④若，則

⑤⑥⑦⑦空間向量的性質利用平面向量的性質類比得空間向量平面向量

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理.類比推理二特點：4、由于類比推理的前提是兩類對象之間具有某些可以清楚定義的類似特征，所以類比推理的關鍵是明確地指出兩類對象在某些方面的類似特征。1、類比推理是由特殊到特殊(一般到一般或個別到個別)的推理。2、類比推理是從人們已經掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結果具有猜測性，不一定可靠。3、類比推理以舊的知識作基礎，推測新的結果，具有發現的功能。類比推理的步驟：(1)找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；(2)用一類對象的已知特征去猜測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；觀察、比較聯想、類推猜想新結論類比推理類比推理以舊的知識為基礎,推測新的結果，具有發現的功能由特殊到特殊(一般到一般或個別到個別)的推理類比推理的結論不一定成立注意1.運用類比方法解決問題，其基本過程可用框圖表示如下：探究：原問題類比問題原問題解法類比問題的解法2、運用類比法的關鍵是：

尋找一個合適的類比對象。幾何中常見的類比對象三角形四面體（各面均為三角形）四邊形六面體（各面均為四邊形）圓球代數中常見的類比對象數

向量方程函數不等式交集，并集，補集或，且，非運算無限有限

例1:在三角形ABC中，C=,

三邊分別為a,b,c.

C=900,則c2=a2+b2類比可得:_________

c2>a2+b2C<900,則_________c2<a2+b2C>900,則

例2類比平面內直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想，并判斷其真實性.

CABACBP定理：若AC⊥BC，則AC2＋BC2＝AB2；類比：若PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，則⊿⊿⊿⊿如圖，在平行四邊形中，有

那么，在六個面都是平行四邊形的四棱柱中，有______

例3：CDBADCC1BA1AB1D1類比推理由特殊到特殊(個別到個別或一般到一般)的推理;

以舊的知識為基礎,推測新的結果；結論不一定成立.歸納推理由部分到整體、特殊到一般的推理;以觀察分析為基礎,推測新的結論;具有發現的功能;結論不一定成立.具有發現的功能;

三合情推理歸納推理和類比推理的過程從具體問題出發觀察、分析、比較、聯想歸納、類比提出猜想通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.合情推理歸納推理類比推理傳說在古老的印度有一座神廟，神廟中有三根針和套在一根針上的64個圓環.古印度的天神指示他的僧侶們按下列規則,把圓環從一根針上全部移到另一根針上，第三根針起“過渡”的作用.1.每次只能移動1個圓環；

2.較大的圓環不能放在較小的圓環上面.

如果有一天，僧侶們將這64個圓環全部移到另一根針上，那么世界末日就來臨了.

請你試著推測：把n個圓環從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?123游戲：河內塔（TowerofHanoi）123第1個圓環從1到3.設為把個圓環從1號針移到3號針的最少次數，則

＝1時，

＝1

＝2時，123第1個圓環從1到3.前1個圓環從1到2;第2個圓環從1到3;第1個圓環從2到3.設為把個圓環從1號針移到3號針的最少次數，則

＝1

＝1時，

＝3

＝2時，＝3

＝1時，＝1

＝3時，123第1個圓環從1到3.前1個圓環從1到2;第2個圓環從1到3;前1個圓環從2到3.前2個圓環從1到2;第3個圓環從1到3;前2個圓環從2到3.設為把個圓環從1號針移到3號針的最少次數，則

＝72.1.2演繹推理學習目標：1、什么是演繹推理？2、什么是三段論？3、合情推理與演繹推理有哪些區別？4、能舉出一些在生活和學習中有關演繹推理的例子。二、新課觀察上述例子有什么特點？從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論所有金屬都能導電銅是金屬太陽系大行星以橢圓軌道繞太陽運行冥王星是太陽系的大行星奇數都不能被2整除2007是奇數2007不能被2整除冥王星以橢圓形軌道繞太陽運行銅能導電進一步觀察上述例子有幾部分組成？各有什么特點？大前提小前提結論所有金屬都能導電銅是金屬太陽系大行星以橢圓軌道繞太陽運行冥王星是太陽系的大行星奇數都不能被2整除2007是奇數2007不能被2整除冥王星以橢圓形軌道繞太陽運行銅能導電1.所有的金屬都能導電,2.一切奇數都不能被2整除,3.三角函數都是周期函數,4.全等的三角形面積相等所以銅能夠導電.因為銅是金屬,所以(2100+1)不能被2整除.因為(2100+1)是奇數,因為tan三角函數,那么三角形ABC與三角形A1B1C1面積相等.如果三角形ABC與三角形A1B1C1全等,大前提小前提結論大前提小前提結論情景創設2：觀察下列推理有什么特點？所以是tan周期函數

從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理．

一、演繹推理的定義:

二、演繹推理的模式:“三段論”是演繹推理的一般模式；M……P（M是P)S……M(S是M)S……P(S是P)大前提---已知的一般原理；小前提---所研究的特殊對象；結論---據一般原理，對特殊對象做出的判斷．MSP若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的一個子集，那么S中所有元素也都具有性質P。所有的金屬(M)都能夠導電(P)銅(S)是金屬(M)銅(S)能夠導電(P)M……PS……MS……P用集合的觀點來理解:三段論推理的依據例題

例1：用三段論的形式寫出下列演繹推理。（1）三角形內角和180°，等邊三角形內角和是180°。

分析：小前提：等邊三角形是三角形。大前提結論（2）是有理數。分析：大前提：所有的循環小數都是有理數。

小前提：是循環小數。結論若大前提是顯然的,則可以省略。

因為指數函數是增函數，

而是指數函數，所以是增函數。錯因：大前提是錯誤的，所以結論是錯誤的。思考、演繹推理的結論一定正確嗎？演繹推理錯誤的主要原因（1）大前提不成立；（2）小前提不符合大前提的條件（3）推理形式的錯誤例2(1)、下面說法正確的有（）（1）演繹推理是由一般到特殊的推理；（2）演繹推理得到的結論一定是正確的；（3）演繹推理一般模式是“三段論”形式；（4）演繹推理的結論的正誤與大前提、小前提和推理形式有關。A、