第四章平面三角形單元第四章§4–1有限元法的基本思想

§4–2三角形常應變單元

§4–3形函數的性質

§4–4剛度矩陣

§4–5等效節點力載荷列陣

§4–6有限元分析的實施步驟

§4–7計算實例第四章平面三角形單元§4–1有限元法的基本思想第四章一、有限元法的基本思想

假想的把一連續體分割成數目有限的小體（單元），彼此間只在數目有限的指定點（結點）出相互連結，組成一個單元的集合體以代替原來的連續體，再在結點上引進等效力以代替實際作用于單元上的外力。選擇一個簡單的函數來近似地表示位移分量的分布規律，建立位移和節點力之間的關系。

有限元法的實質是：把有無限個自由度的連續體，理想化為只有有限個自由度的單元集合體，使問題簡化為適合于數值解法的結構型問題。§4-1有限元法的基本思想一、有限元法的基本思想假想的把一連續體分割成數目有限二、經典解與有限元解的區別：

微分

數目增到∞建立一個描述連續體經

典

解

法——（解析法）

大小趨于

0

性質的偏微分方程

有限單元離散化集合總體分析解有限元法——連續體——單元——代替原連續體（近似法）

（單元分析）線性方程組二、經典解與有限元解的區別：微分xy為平面應力問題，由于結構的對稱性可取結構的1/4來研究，故所取的力學模型三、有限元法算題的基本步驟1.力學模型的選取（平面問題，平面應變問題，平面應力問題，軸對稱問題，空間問題，板，梁，桿或組合體等，對稱或反對稱等）例如：xy為平面應力問題，由于結構的對稱性可取結構的1/4來研究，

根據題目的要求，可選擇適當的單元把結構離散化。對于平面問題可用三角元，四邊元等。2.單元的選取、結構的離散化例如：2.單元的選取、結構的離散化例如：結構離散化后，要用單元內結點的位移通過插值來獲得單元內各點的位移。在有限元法中，通常都是假定單元的位移模式是多項式，一般來說，單元位移多項式的項數應與單元的自由度數相等。它的階數至少包含常數項和一次項。至于高次項要選取多少項，則應視單元的類型而定。3.選擇單元的位移模式（4-1）——單元內任一點的位移列陣；——單元的結點位移列陣；——單元的形函數矩陣；（它的元素是任一點位置坐標的函數）3.選擇單元的位移模式（4-1）——單元內任一點的位移4.單元的力學特性分析

把（4-1）式代入幾何方程可推導出用單元結點位移表示的單元應變表達式：（4-2）式中：——單元內任一點應變列陣；——單元的應變矩陣；（它的元素仍為位置坐標的函數）

再把（4-２）式代入物理方程，可導出用單元結點位移列陣表示的單元應力表達式：（4-3）4.單元的力學特性分析把（4-1）式代入最后利用彈性體的虛功方程建立單元結點力陣與結點位移列陣之間的關系，即形成單元的剛度方程式： 式中：——單元內任一點的應力列陣；——單元的彈性矩陣，（它與材料的特性有關）式中：——單元剛度矩陣（4-4）（4-5）式中：——單元內任一點的應力列陣；——單元的彈性矩陣，（它與考慮整體結構的約束情況，修改整體剛度方程之后，（4-6）式就變成以結點位移為未知數的代數方程組。解此方程組可求出結點位移。

用直接剛度法將單剛

組集成總綱

，并將

組集成總載荷列陣

，形成總體結構的剛度方程：（4-6）解出整體結構的結點位移列陣

后，再根據單元結點的編號找出對應于單元的位移列陣

，將

代入（4-3）式就可求出各單元的應力分量值。5.建立整體結構的剛度方程6.求解修改后的整體結構剛度方程7.由單元的結點位移列陣計算單元應力（4-6）5.建立整體結構的剛度方程6.求解修改后

求解出整體結構的位移和應力后，可有選擇地整理輸出某些關鍵點的位移值和應力值，特別要輸出結構的變形圖、應力圖、應變圖、結構仿真變形過程動畫圖及整體結構的彎矩、剪力圖等等。8.計算結果輸出8.計算結果輸出一、離散化

在運用有限單元法分析彈性力學平面問題時，第一步就是要對彈性體進行離散化，把一個連續的彈性體變換為一個離散的結構物。對于平面問題，三角形單元是最簡單、也是最常用的單元，在平面應力問題中，單元為三角形板，而在平面應變問題中，則是三棱柱。

假設采用三角形單元，把彈性體劃分為有限個互不重疊的三角形。這些三角形在其頂點（即節點）處互相連接，組成一個單元集合體，以替代原來的彈性體。同時，將所有作用在單元上的載荷（包括集中載荷、表面載荷和體積載荷），都按虛功等效的原則移置到節點上，成為等效節點載荷。由此便得到了平面問題的有限元計算模型，如圖4-1所示。

§4-2三角形常應變單元一、離散化在運用有限單元法分析彈性力學平面

圖4-1彈性體和有限元計算模型

圖4-2平面三角形單元

二、位移

首先，我們來分析一下三角形單元的力學特性，即建立以單元節點位移表示單元內各點位移的關系式。設單元e的節點編號為i、j、m，如圖4-2所示。由彈性力學平面問題可知，每個節點在其單元平面內的位移可以有兩個分量，所以整個三角形單元將有六個節點位移分量，即六個自由度。用列陣可表示為：其中的子矩陣（i，j，m輪換）(a)式中

ui、vi

是節點i在x軸和y軸方向的位移。(4-7)二、位移首先，我們來分析一下三角形單元

從彈性力學平面問題的解析解法中可知，如果彈性體內的位移分量函數已知，則應變分量和應力分量也就確定了。但是，如果只知道彈性體中某幾個點的位移分量的值，那么就不能直接求得應變分量和應力分量。因此，在進行有限元分析時，必須先假定一個位移模式。由于在彈性體內，各點的位移變化情況非常復雜，很難在整個彈性體內選取一個恰當的位移函數來表示位移的復雜變化，但是如果將整個區域分割成許多小單元，那么在每個單元的局部范圍內就可以采用比較簡單的函數來近似地表示單元的真實位移，將各單元的位移式連接

在有限單元法中，雖然是用離散化模型來代替原來的連續體，但每一個單元體仍是一個彈性體，所以在其內部依然是符合彈性力學基本假設的，彈性力學的基本方程在每個單元內部同樣適用。從彈性力學平面問題的解析解法中可知，如果彈性起來，便可近似地表示整個區域的真實位移函數。這種化繁為簡、聯合局部逼近整體的思想，正是有限單元法的絕妙之處。

基于上述思想，我們可以選擇一個單元位移模式，單元內各點的位移可按此位移模式由單元節點位移通過插值而獲得。線性函數是一種最簡單的單元位移模式，故設(b)式中1、2、…6是待定常數。因三角形單元共有六個自由度，且位移函數u、v在三個節點處的數值應該等于這些點處的位移分量的數值。假設節點i、j、m的坐標分別為（xi,

yi

）、（xj,

yj

）、（xm,

ym

），代入(b)式，得：起來，便可近似地表示整個區域的真實位移函數。這種化繁為簡、聯(c)由(c)式左邊的三個方程可以求得(d)其中(4-8)

從解析幾何可知，式中的

就是三角形i、j、m的面積。為保證求得的面積為正值，節點i、j、m的編排次序必須是逆時針方向，如圖4-2所示。(c)由(c)式左邊的三個方程可以求得(d)其中(4

圖4-2平面三角形單元將(d)式代入(b)式的第一式，經整理后得到(e)

將(d)式代入(b)式的第一式，經整理后得到其中同理可得若令這樣，位移模式(e)和(f)就可以寫為（i,j,m輪換）(4-10)（i,j,m輪換）(4-9)(f)其中同理可得若令這樣，位移模式(e)和(f)就可以寫

式中I是二階單位矩陣；Ni、Nj、Nm是坐標的函數，它們反映了單元的位移狀態，所以一般稱之為形狀函數，簡稱形函數。矩陣[N]叫做形函數矩陣。三節點三角形單元的形函數是坐標的線性函數。單元中任一條直線發生位移后仍為一條直線，即只要兩單元在公共節點處保持位移相等。則公共邊線變形后仍為密合。(4-11)也可寫成矩陣形式(4-12)式中I是二階單位矩陣；Ni、Nj三、應變有了單元的位移模式，就可以利用平面問題的幾何方程求得應變分量。將(e)、(f)兩式代入上式，即得：(g)(e)(f)三、應變有了單元的位移模式，就可以利用平面問題的幾何可簡寫成

其中[B]矩陣叫做單元應變矩陣，可寫成分塊形式而子矩陣由于和bi

、bj

、bm

、ci

、cj

、cm

等都是常量，所以矩陣[B]中的諸元素都是常量，因而單元中各點的應變分量也都是常量，通常稱這種單元為常應變單元。（i,j,m輪換）(4-15)(4-14)(4-13)可簡寫成

其中[B]矩陣叫做單元應變矩陣，可寫成分塊形四、應力

求得應變之后，再將（4-13）式代入物理方程，便可推導出以節點位移表示的應力。即(4-16)(h)(4-17)令則四、應力求得應變之后，再將（4-13其中[S]叫做應力矩陣，若寫成分塊形式，有對于平面應力問題，彈性矩陣[D]為(4-18)(i)所以，[S]的子矩陣可記為（i,j,m輪換）(4-19)其中[S]叫做應力矩陣，若寫成分塊形式，有對于平面應力問題

對于平面應變問題，只要將(i)式中的E換成E/1-2

，換成

/1-，即得到其彈性矩陣(j)（i,j,m輪換）(4-20)對于平面應變問題，只要將(i)式中的E換注意到（4-7）式，則有(4-21)

由（4-19）、（4-20）式不難看出，[S]中的諸元素都是常量，所以每個單元中的應力分量也是常量。

可見，對于常應變單元，由于所選取的位移模式是線性的，因而其相鄰單元將具有不同的應力和應變，即在單元的公共邊界上應力和應變的值將會有突變，但位移卻是連續的。注意到（4-7）式，則有(4-21)由（4-在上節中，提出了形函數的概念，即其中（i,j,m輪換）現在我們來討論一下形函數所具有的一些性質。根據行列式的性質：行列式的任一行（或列）的元素與其相應的代數余子式的乘積之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素與其他行（或列）對應元素的代數余子式乘積之和為零，并注意到（4-9）式中的常數ai

、bi

、ci

，aj

、bj

、§4-3形函數的性質在上節中，提出了形函數的概念，即其中（i,j,m輪換cj

和am

、bm

、cm

分別是行列式的第一行、第二行和第三行各元素的代數余子式，我們有⒈形函數在各單元節點上的值，具有“本點是1、它點為零”的性質，即在節點i上，在節點j、m上，(a)(b)(c)cj和am、bm、cm分別是行列式的第一行、第二行和類似地有(d)⒉在單元的任一節點上，三個形函數之和等于1，即(e)類似地有(d)⒉在單元的任一節點上，三個形函數之和等于1，簡記為(4-22)這說明，三個形函數中只有二個是獨立的。

⒊三角形單元任意一條邊上的形函數，僅與該邊的兩端節點坐標有關、而與其它節點坐標無關。例如，在ij邊上，有(4-23)簡記為(4-22)這說明，三個形函數中只有二個是獨立的。

⒊

例如，對圖4-3所示的單元ijm和ijn

，具有公共邊ij。這樣，不論按哪個單元來計算，根據（4-11）式，公共邊ij上的位移均由下式表示圖4-3由(4-23)式可知，在ij邊上式中Ni

,Nj

的表達形式如（4-23）式所示。(i)

利用形函數的這一性質可以證明，相鄰單元的位移分別進行線性插值之后，在其公共邊上將是連續的。例如，對圖4-3所示的單元這樣，不論按哪個單元由此可見，在公共邊上的位移u、v

將完全由公共邊上的兩個節點i、j

的位移所確定，因而相鄰單元的位移是保持連續的。為了在以后討論問題中能夠比較方便地確定單元中任意一點處的形函數數值，這里引入面積坐標的概念。

在圖4-4所示的三角形單元ijm中，任意一點P(x,y)的位置可以用以下三個比值來確定圖4-4

式中為三角形單元ijm的面積，i

、j

、m

分別是三角形Pjm、Pmi、Pij的面積。這三個比值就叫做P點的面積坐標。(4-24)由此可見，在公共邊上的位移在圖4-4所示的三顯然這三個面積坐標并不是完全獨立的，由于所以有：而三角形pjm的面積為：故有：顯然這三個面積坐標并不是完全獨立的，由于所以有：而三角形pj類似地有(4-25)(4-26)

由此可見，前述的三角形常應變單元中的形函數Ni

、Nj

、Nm就是面積坐標Li

、Lj

、Lm。

根據面積坐標的定義，我們不難發現，在平行jm邊的直線上的所有各點，都有相同的坐標Li

，并且該坐標就等于“該直線至jm邊的距離”與“節點i至jm邊的距離”之比，圖4-4中給出了Li

的一些等值線。類似地有(4-25)(4-26)由此可見，前容易看出，單元三個節點的面積坐標分別為節點i：

Li

=1Lj=0Lm

=0節點j：

Li

=0Lj=1Lm

=0

節點m：

Li

=0Lj=0Lm

=1不難驗證，面積坐標與直角坐標之間存在以下變換關系：(4-27)容易看出，單元三個節點的面積坐標分別為節點i：當面積坐標的函數對直角坐標求導時，可利用下列公式：(4-28)當面積坐標的函數對直角坐標求導時，可利用下列公式：(4-28一.單元剛度矩陣

為了推導單元的節點力和節點位移之間的關系，可應用虛位移原理對圖4-2中的單元e進行分析。單元e是在等效節點力的作用下處于平衡的，而這種節點力可采用列陣表示為(a)假設在單元e中發生有虛位移，則相應的三個節點i、j、m

的虛位移為且假設單元內各點的虛位移為{f*}，并具有與真實位移相同的位移模式。§4-4剛度矩陣一.單元剛度矩陣為了推導單元的節點力和節點故有(c)參照（4-13）式，單元內的虛應變{

*}為于是，作用在單元體上的外力在虛位移上所做的功可寫為(d)(f)而單元內的應力在虛應變上所做的功為(g)故有(c)參照（4-13）式，單元內的虛應變{*}為于是這里我們假定單元的厚度t為常量。把（d）式及（4-16）式代入上式，并將虛位移提到積分號的前面，則有根據虛位移原理，由（f）和（h）式可得到單元的虛功方程，即注意到虛位移是任意的，所以等式兩邊與相乘的項應該相等，即得這里我們假定單元的厚度t為常量。把（d）式及（4-16）式記(4-32)則有(4-33)

上式就是表征單元的節點力和節點位移之間關系的剛度方程，[k]e就是單元剛度矩陣。如果單元的材料是均質的，那么矩陣[D]中的元素就是常量，并且對于三角形常應變單元，[B]矩陣中的元素也是常量。當單元的厚度也是常量時，所以（4-32）式可以簡化為[k]e=[B]T[D][B]t

(4-34)記(4-32)則有(4-33)上式就是表征單二整體剛度矩陣

討論了單元的力學特性之后，就可轉入結構的整體分析。假設彈性體被劃分為N個單元和n個節點，對每個單元按前述方法進行分析計算，便可得到N組形如（4-33）式的方程。將這些方程集合起來，就可得到表征整個彈性體的平衡關系式。為此，我們先引入整個彈性體的節點位移列陣{}2n×1，它是由各節點位移按節點號碼以從小到大的順序排列組成，即其中子矩陣(j)(i=1,2,…,n)(k)是節點i的位移分量。二整體剛度矩陣討論了單元的力學特性之

繼而再引入整個彈性體的載荷列陣{R}2n×1，它是移置到節點上的等效節點載荷依節點號碼從小到大的順序排列組成，即(l)其中子矩陣(i=1,2,…,n)(m)是節點i上的等效節點載荷。繼而再引入整個彈性體的載荷列陣{R}2n×1(q)

同樣，將六階方陣[k]加以擴充，使之成為2n階的方陣(q)123421q圖4-5組裝總剛[k]的一般規則：1.當[krs]中r=s時，該點被哪幾個單元所共有，則總剛子矩陣[krs]就是這幾個單元的剛度矩陣子矩陣[krs]e的相加。2.

當[krs]中rs時，若rs邊是組合體的內邊，則總體剛度矩陣[krs]就是共用該邊的兩相鄰單元單剛子矩陣[krs]e的相加。3.當[krs]中r和s不同屬于任何單元時，則總體剛度矩陣[krs]=[0]。下面，我們考查一個組裝總剛的實例：1.整體剛度矩陣及載荷列陣的組集

根據疊加原理，整體結構的各個剛度矩陣的元素顯然是由有關單元的單元剛度矩陣的元素組集而成的，為了便于理解，現結合圖4-5說明組集過程。123421q圖4-5組裝總剛[k]的一般規則：

圖中有兩種編碼：一是節點總碼：1、2、3、4；二是節點局部碼，是每個單元的三個節點按逆時針方向的順序各自編碼為1，2，3。圖中兩個單元的局部碼與總碼的對應關系為：

單元1：1，2，3 1，2，3

單元2：1，2，33，4，1或：單元1：1，2，3 1，2，3

單元2：1，2，31，3，4單元e的剛度矩陣分塊形式為：圖中有兩種編碼：一是節點總碼：1、2、3、4整體剛度矩陣分塊形式為：其中每個子塊是按照節點總碼排列的。

通常，采用剛度集成法或直接剛度法來組集整體結構剛度矩陣。剛度集成法分兩步進行。

第一步，把單元剛度矩陣擴大成單元的貢獻矩陣，使單元剛度矩陣的四個子塊按總體編號排列，空白處作零子塊填充。

第二步，以單元2

為例，局部碼1，2，3

對應于總碼3，4，1，按照這個對應關系擴充后，可得出單元2的貢獻矩陣。整體剛度矩陣分塊形式為：其中每個子塊是按照節點總碼排列的。

總碼12341 2 3 4

3

1

2

局部碼用同樣的方法可得單元1的貢獻矩陣。

第二步，把各單元的貢獻矩陣對應行和列的子塊相疊加，即可得出整體結構的剛度矩陣，如（4-42）式。

在這里應該指出，整體剛度矩陣中每個子塊為階矩陣，所以若整體結構分為n個節點，則整體剛度矩陣的階數是。總碼1

總碼1234

123（4-42）

312局部碼

至于整體結構的節點載荷列陣的組集，只需將各單元的等效節點力列陣擴大成2n行的列陣，然后按各單元的節點位移分量的編號，對應相疊加即可總碼1三整體剛度矩陣的性質

由總剛度方程可知：

欲使彈性體的某一節點在坐標軸方向發生單位位移，而其它節點都保持為零的變形狀態，在各節點上所需要施加的節點力。⒈剛度矩陣[K]中每一列元素的物理意義為：三整體剛度矩陣的性質由總剛度方程可知：令節點1在坐標軸x方向的位移u1=1，而其余的節點位移v1=u2=v2=u3=v3=…=u2n

=v2n

=0，這樣就可得到節點載荷列陣等于[K]的第一列元素組成的列陣，即即表示：是在j節點有單位位移時，而在I節點所需施加的力。(s)令節點1在坐標軸x方向的位移u1=1，而⒉剛度矩陣[K]中主對角元素總是正的。

例如，剛度矩陣[K]中的元素k33是表示節點2在x方向產生單位位移，而其它位移均為零時，在節點2的x方向上必須施加的力，很顯然，力的方向應該與位移方向一致，故應為正號。⒊剛度矩陣[K]是一個對稱矩陣，即[Krs]=[Ksr]T。由（4-32）、（4-36）式得所以，可以只存儲上三角或下三角矩陣。(t)⒉剛度矩陣[K]中主對角元素總是正的。例如⒋剛度矩陣[K]是一個稀疏矩陣。如果遵守一定的節點編號規則，就可使矩陣的非零元素都集中在主對角線附近呈帶狀。

前面在討論總剛子矩陣的計算時曾指出，總剛中第r雙行的子矩陣[Krs]，有很多位置上的元素都等于零，只有當第二個下標s等于r或者s與r同屬于一個單元的節點號碼時才不為零，這就說明，在第r雙行中非零子矩陣的塊數，應該等于節點r周圍直接相鄰的節點數目加一。可見，[K]的元素一般都不是填滿的，而是呈稀疏狀（帶狀）。

以圖4-6a所示的單元網格為例，其整體剛度矩陣中的非零子塊（每個子塊為2行2列）的分布情況如圖4-6b所示。⒋剛度矩陣[K]是一個稀疏矩陣。如果遵守一圖4-6a圖4-6a圖4-6b半帶寬B=（相鄰節點號的最大差值D+1）*2圖4-6b半帶寬B=（相鄰節點號的最大差值D+1）*2

若第r雙行的第一個非零元素子矩陣是[Krl]，則從[Krl]到[Krr]共有（r-l+1）個子矩陣，于是[K]的第2r行從第一個非零元素到對角元共有2(r-l+1)個元素。顯然，帶狀剛度矩陣的帶寬取決于單元網格中相鄰節點號碼的最大差值D。我們把半個斜帶形區域中各行所具有的非零元素的最大個數叫做剛度矩陣的半帶寬（包括主對角元），用B表示，即B=2(D+1)。

通常的有限元程序，一般都利用剛度矩陣的對稱和稀疏帶狀的特點，在計算求解中，只存儲上半帶的元素，即所謂的半帶存儲。因此，在劃分完有限元網格進行節點編號時，要采用合理的編碼方式，使同一單元中相鄰兩節點的號碼差盡可能小，以便節省存儲空間、提高計算效率。若第r雙行的第一個非零元素子矩陣是[Krl⒌剛度矩陣[K]是一個奇異矩陣，在排除剛體位移后，它是正定陣。

彈性體在{R}的作用下處于平衡，{R}的分量應該滿足三個靜力平衡方程。這反映在整體剛度矩陣[K]中就意味著存在三個線性相關的行或列，所以[K]是個奇異陣，不存在逆矩陣。⒌剛度矩陣[K]是一個奇異矩陣，在排除剛體

在上節討論整體剛度矩陣時已經指出載荷列陣{R}是由彈性體的全部單元的等效節點力集合而成，而其中單元的等效節點力{R}e

則是由作用在單元上的集中力、表面力和體積力分別移置到節點上，再逐點加以合成求得。根據虛位移原理，等效節點力的大小，應按其所做的功與作用在單元上的三種力在任何虛位移上所做的功相等這一原則來確定。即

上式中等號的左邊表示單元的等效節點力{R}e

所做的虛功；等號右邊的第一項是集中力{G}所做的虛功、第二項的積分是沿著單元的邊界進行，表示面力{q}所做的虛功、第三項的積分則是遍及整個單元，表示體積力{p}所做的虛功；t為單元的厚度，假定為常量。(a)§4-5等效節點力載荷矩陣在上節討論整體剛度矩陣時已經指出載荷列陣{R一、體力的移置：y0xijm如果任意三角形單元ijk的重心c上受有自重則按剛體靜力等效原理可把W直接移置到i，j，m三個節點上而組成：如果單元的重心c受有慣性力Pu作用，且，則Pu移置到i，j，m節點上的等效結點力為：式中：——旋轉角速度

——是單元重心處x坐標。一、體力的移置：y0xijm如果任意三角形單元ijk的重二、面力的移置：y0xijm已知在ij邊受有面力q，則移置到i、j結點上的等效節點力為：y0xijm當某一邊上有三角形分布的面力時，可由剛體靜力等效直接寫出二、面力的移置：y0xijm已知在ij邊受有面力q，則移置到三、集中力的移置：如集中力G做用于其一邊界上如圖：先將G分解為，后，分別按線段的比例把和分別移置到i，j兩點上。即：

即按靜力平衡方法分配。0xijmy三、集中力的移置：如集中力G做用于其一邊界上如圖：即按靜力根據前面的討論，現以三角形常應變單元為例來說明應用有限元法求解彈性力學平面問題的具體步驟。①確定力學模型，根據工程實際情況確定問題的力學模型，并按一定比例繪制結構圖、注明尺寸、載荷和約束情況等。②將計算對象進行離散化，即彈性體劃分為許多三角形單元，并對節點進行編號。確定全部節點的坐標值，對單元進行編號，并列出各單元三個節點的節點號。③計算載荷的等效節點力（要求的輸入信息）。④由各單元的常數bi、ci、bj、cj、bm、cm

及行列式2

，計算單元剛度矩陣。⑤

組集整體剛度矩陣，即形成總剛的非零子矩陣。⑥處理約束，消除剛體位移。§4-6有限元分析的實施步驟根據前面的討論，現以三角形常應變單元為例來說明應用有限元⑦求解線性方程組，得到節點位移。⑧計算應力矩陣，求得單元應力，并根據需要計算主應力和主方向。⑨整理計算結果（后處理部分）。為了提高有限元分析計算的效率、達到一定的精度，應該注意以下幾個方面。

一.對稱性的利用在劃分單元之前，有必要先研究一下計算對象的對稱或反對稱的情況，以便確定是取整個物體，還是部分物體作為計算模型。⑦求解線性方程組，得到節點位移。例如，圖4-11(a)所示受純彎曲的梁，其結構對于x、y軸都是幾何對稱的，而所受的載荷則是對于y軸對稱，對于x軸反對稱。可知，梁的應力和變形也將具有同樣的對稱特性，所以只需取1/4梁進行計算即可。

取分離體如圖4-11(b)所示，對于其它部分結構對此分離體的影響，可以作相應的處理，即對處于y軸對稱面內各節點的x方向位移都設置為零，而對于在x軸反對稱面上的各節點的x方向位移也都設置為零。這些條件就等價于在圖4-11(b)中相應節點位置處施加約束，圖中o點y方向施加的約束是為了消除剛體位移。圖4-11例如，圖4-11(a)所示受純彎曲的梁，其結節點的布置是與單元的劃分互相聯系的。通常，集中載荷的作用點、分布載荷強度的突變點，分布載荷與自由邊界的分界點、支承點等都應該取為節點。并且，當物體是由不同的材料組成時，厚度不同或材料不同的部分，也應該劃分為不同的單元。

節點的多少及其分布的疏密程度（即單元的大小），一般要根據所要求的計算精度等方面來綜合考慮。從計算結果的精度上講，當然是單元越小越好，但計算所需要的時間也要大大增加。另外，在微機上進行有限元分析時，還要考慮計算機的容量。因此，在保證計算精度的前提下，應力求采用較少的單元。為了減少單元，在劃分單元時，對于應力變化梯度較大的部位單元可小一些，而在應力變化比較平緩的區域可以劃分得粗一些。二.節點的選擇及單元的劃分節點的布置是與單元的劃分互相聯系的。通常，集中載荷的作用(a)(b)圖4-12還有一點值得注意的是，單元各邊的長度不要相差太大，以免出現過大的計算誤差或出現病態矩陣。例如，圖4-12所示的(a)、(b)兩種單元劃分，雖然都是同樣的四個節點，但(a)的劃分方式顯然要比(b)的方式好。(a)在進行節點編號時，應該注意要盡量使同一單元的相鄰節點的號碼差盡可能地小，以便最大限度地縮小剛度矩陣的帶寬，節省存儲、提高計算效率。如前所述，平面問題的半帶寬為B=2(d+1)三.節點的編號若采取帶寬壓縮存儲，則整體剛度矩陣的存儲量N

最多為

N=2nB=4n(d+1)其中d為相鄰節點的最大差值，n為節點總數。在進行節點編號時，應該注意要盡量使同一單元的相鄰節點的號例如在圖3-13中，(a)與(b)的單元劃分相同，且節點總數都等于14，但兩者的節點編號方式卻完全不同。(a)是按長邊進行編號，d=7，N=488；而(b)是按短邊進行編號，d=2，N=168。顯然(b)的編號方式可比(a)的編號方式節省280個存儲單元。(a)(b)圖4-13例如在圖3-13中，(a)與(b)的單元劃分相同，且節點四.單元節點i、j、m的次序在前面章節中，我們曾指出，為了在計算中保證單元的面積不會出現負值，節點i、j、m的編號次序必須是逆時針方向。事實上，節點i、j、m的編號次序是可以任意安排的，只要在計算剛度矩陣的各元素時，對取絕對值，即可得到正確的計算結果。在實際計算時，應該注意所選有限元分析軟件的使用要求。五.邊界條件的處理及整體剛度矩陣的修正在前面討論整體剛度矩陣時，已經提到，整體剛度矩陣的奇異性可以采用提高考慮邊界約束條件的方法來排除彈性體的剛體位移，以達到求解的目的。四.單元節點i、j、m的次序在前面章節中，我們曾指出，一般情況下，求解的問題，其邊界往往已有一點的位移約束條件，本身已排除了剛體運動的可能性。否則的話，就必須適當指定某些節點的位移值，以避免出現剛體位移。這里介紹兩種比較簡單的引入已知節點位移的方法，這兩種方法都可保持原[K]矩陣的稀疏、帶狀和對稱等特性。下面我們來實際考察一個只有四個方程的簡單例子。

1.劃0置1法。保持方程組為2n×2n系統，僅對[K]和{R}進行修正。例如，若指定節點i在方向y的位移為vi

，則令[K]中的元素k2i,2i

為1，而第2i行和第2i列的其余元素都為零。{R}中的第2i個元素則用位移vi的已知值代入，{R}中的其它各行元素均減去已知節點位移的指定值和原來[K]中該行的相應列元素的乘積。一般情況下，求解的問題，其邊界往往已有一點的位移約束條件假定該系統中節點位移u1

和u2分別被指定為當引入這些節點的已知位移之后，方程(a)就變成然后，就用這組維數不變的方程來求解所有的節點位移。顯然，其解答仍為原方程(a)的解答。u1=1

，u2=2假定該系統中節點位移u1和u2分別被指定為當引入這些節點的

⒉乘大數法。將[K]中與指定的節點位移有關的主對角元素乘上一個大數，如1015，同時將{R}中的對應元素換成指定的節點位移值與該大數的乘積。實際上，這種方法就是使[K]中相應行的修正項遠大于非修正項。若把此方法用于上面的例子，則方程(a)就變成事實上，該方程組的第一個方程為⒉乘大數法。將[K]中與指定的節點位移有關的主對角元素例

圖4-16所示為一平面應力問題離散化以后的結構圖，其中圖（a）為離散化后的總體結構，圖（b）為單元1，2，3，4的結構，圖（c）為單元3的結構。用有限元法計算節點位移、單元應變及單元應力（為簡便起見，取泊松比，單元厚度t=1）。xy1234651234a3ijmaaa1,2,4ijm

圖4-16計算實例2的結構圖§4-7計算實例例圖4-16所示為一平面應力問題離散化以后的首先求確定各單元剛度所需的系數 及面積A，對于單元1，2，4有：解：對于單元3有:首先求確定各單元剛度所需的系數

其次，求出各單元的單元剛度矩陣。對于1，2，4單元，其單元剛度矩陣為：ijmijm其次，求出各單元的單元剛度矩陣。對于1，2，

各單元的節點編號與總體結構的總編號之間的對應關系見表4-2。

對于單元3，其單元剛度矩陣為：ijmijm各單元的節點編號與總體結構的總編號之間的對應

各單元節點號與總體節點號對應表單元號1 2 3 4

節點號節點總編號

I12 2 3

j 2 4 5 5m3 5 3 6表4-2 節點號

將各單元剛度矩陣按節點總數及相應的節點號關系擴充成12*12矩陣,分別如下:

將各單元剛度矩陣按節點總數及相應的節點號關系有限元方法課件-第四章-平面三角形單元有限元方法課件-第四章-平面三角形單元有限元方法課件-第四章-平面三角形單元將擴充后的各單元剛度矩陣相加,得總體剛度矩陣K，即：將擴充后的各單元剛度矩陣相加,得總體剛度矩陣K，即：所以結構總方程為：其中考慮到邊界條件：所以結構總方程為：其中考慮到邊界條件：用對角元乘大數法消除奇異性后的結構總體方程為：用對角元乘大數法消除奇異性后的結構總體方程為：由以上方程解得的各節點的位移為：由以上方程解得的各節點的位移為：

然后將相應的節點位移代入公式，可分別求得各單元的應變和應力。

對于單元1：然后將相應的節點位移代入公式，可分別求得各單

對于單元2：

對于單元3：

對于單元4：

本章內容結束本章內容結束第四章平面三角形單元第四章§4–1有限元法的基本思想

§4–2三角形常應變單元

§4–3形函數的性質

§4–4剛度矩陣

§4–5等效節點力載荷列陣

§4–6有限元分析的實施步驟

§4–7計算實例第四章平面三角形單元§4–1有限元法的基本思想第四章一、有限元法的基本思想

假想的把一連續體分割成數目有限的小體（單元），彼此間只在數目有限的指定點（結點）出相互連結，組成一個單元的集合體以代替原來的連續體，再在結點上引進等效力以代替實際作用于單元上的外力。選擇一個簡單的函數來近似地表示位移分量的分布規律，建立位移和節點力之間的關系。

有限元法的實質是：把有無限個自由度的連續體，理想化為只有有限個自由度的單元集合體，使問題簡化為適合于數值解法的結構型問題。§4-1有限元法的基本思想一、有限元法的基本思想假想的把一連續體分割成數目有限二、經典解與有限元解的區別：

微分

數目增到∞建立一個描述連續體經

典

解

法——（解析法）

大小趨于

0

性質的偏微分方程

有限單元離散化集合總體分析解有限元法——連續體——單元——代替原連續體（近似法）

（單元分析）線性方程組二、經典解與有限元解的區別：微分xy為平面應力問題，由于結構的對稱性可取結構的1/4來研究，故所取的力學模型三、有限元法算題的基本步驟1.力學模型的選取（平面問題，平面應變問題，平面應力問題，軸對稱問題，空間問題，板，梁，桿或組合體等，對稱或反對稱等）例如：xy為平面應力問題，由于結構的對稱性可取結構的1/4來研究，

根據題目的要求，可選擇適當的單元把結構離散化。對于平面問題可用三角元，四邊元等。2.單元的選取、結構的離散化例如：2.單元的選取、結構的離散化例如：結構離散化后，要用單元內結點的位移通過插值來獲得單元內各點的位移。在有限元法中，通常都是假定單元的位移模式是多項式，一般來說，單元位移多項式的項數應與單元的自由度數相等。它的階數至少包含常數項和一次項。至于高次項要選取多少項，則應視單元的類型而定。3.選擇單元的位移模式（4-1）——單元內任一點的位移列陣；——單元的結點位移列陣；——單元的形函數矩陣；（它的元素是任一點位置坐標的函數）3.選擇單元的位移模式（4-1）——單元內任一點的位移4.單元的力學特性分析

把（4-1）式代入幾何方程可推導出用單元結點位移表示的單元應變表達式：（4-2）式中：——單元內任一點應變列陣；——單元的應變矩陣；（它的元素仍為位置坐標的函數）

再把（4-２）式代入物理方程，可導出用單元結點位移列陣表示的單元應力表達式：（4-3）4.單元的力學特性分析把（4-1）式代入最后利用彈性體的虛功方程建立單元結點力陣與結點位移列陣之間的關系，即形成單元的剛度方程式： 式中：——單元內任一點的應力列陣；——單元的彈性矩陣，（它與材料的特性有關）式中：——單元剛度矩陣（4-4）（4-5）式中：——單元內任一點的應力列陣；——單元的彈性矩陣，（它與考慮整體結構的約束情況，修改整體剛度方程之后，（4-6）式就變成以結點位移為未知數的代數方程組。解此方程組可求出結點位移。

用直接剛度法將單剛

組集成總綱

，并將

組集成總載荷列陣

，形成總體結構的剛度方程：（4-6）解出整體結構的結點位移列陣

后，再根據單元結點的編號找出對應于單元的位移列陣

，將

代入（4-3）式就可求出各單元的應力分量值。5.建立整體結構的剛度方程6.求解修改后的整體結構剛度方程7.由單元的結點位移列陣計算單元應力（4-6）5.建立整體結構的剛度方程6.求解修改后

求解出整體結構的位移和應力后，可有選擇地整理輸出某些關鍵點的位移值和應力值，特別要輸出結構的變形圖、應力圖、應變圖、結構仿真變形過程動畫圖及整體結構的彎矩、剪力圖等等。8.計算結果輸出8.計算結果輸出一、離散化

在運用有限單元法分析彈性力學平面問題時，第一步就是要對彈性體進行離散化，把一個連續的彈性體變換為一個離散的結構物。對于平面問題，三角形單元是最簡單、也是最常用的單元，在平面應力問題中，單元為三角形板，而在平面應變問題中，則是三棱柱。

假設采用三角形單元，把彈性體劃分為有限個互不重疊的三角形。這些三角形在其頂點（即節點）處互相連接，組成一個單元集合體，以替代原來的彈性體。同時，將所有作用在單元上的載荷（包括集中載荷、表面載荷和體積載荷），都按虛功等效的原則移置到節點上，成為等效節點載荷。由此便得到了平面問題的有限元計算模型，如圖4-1所示。

§4-2三角形常應變單元一、離散化在運用有限單元法分析彈性力學平面

圖4-1彈性體和有限元計算模型

圖4-2平面三角形單元

二、位移

首先，我們來分析一下三角形單元的力學特性，即建立以單元節點位移表示單元內各點位移的關系式。設單元e的節點編號為i、j、m，如圖4-2所示。由彈性力學平面問題可知，每個節點在其單元平面內的位移可以有兩個分量，所以整個三角形單元將有六個節點位移分量，即六個自由度。用列陣可表示為：其中的子矩陣（i，j，m輪換）(a)式中

ui、vi

是節點i在x軸和y軸方向的位移。(4-7)二、位移首先，我們來分析一下三角形單元

從彈性力學平面問題的解析解法中可知，如果彈性體內的位移分量函數已知，則應變分量和應力分量也就確定了。但是，如果只知道彈性體中某幾個點的位移分量的值，那么就不能直接求得應變分量和應力分量。因此，在進行有限元分析時，必須先假定一個位移模式。由于在彈性體內，各點的位移變化情況非常復雜，很難在整個彈性體內選取一個恰當的位移函數來表示位移的復雜變化，但是如果將整個區域分割成許多小單元，那么在每個單元的局部范圍內就可以采用比較簡單的函數來近似地表示單元的真實位移，將各單元的位移式連接

在有限單元法中，雖然是用離散化模型來代替原來的連續體，但每一個單元體仍是一個彈性體，所以在其內部依然是符合彈性力學基本假設的，彈性力學的基本方程在每個單元內部同樣適用。從彈性力學平面問題的解析解法中可知，如果彈性起來，便可近似地表示整個區域的真實位移函數。這種化繁為簡、聯合局部逼近整體的思想，正是有限單元法的絕妙之處。

基于上述思想，我們可以選擇一個單元位移模式，單元內各點的位移可按此位移模式由單元節點位移通過插值而獲得。線性函數是一種最簡單的單元位移模式，故設(b)式中1、2、…6是待定常數。因三角形單元共有六個自由度，且位移函數u、v在三個節點處的數值應該等于這些點處的位移分量的數值。假設節點i、j、m的坐標分別為（xi,

yi

）、（xj,

yj

）、（xm,

ym

），代入(b)式，得：起來，便可近似地表示整個區域的真實位移函數。這種化繁為簡、聯(c)由(c)式左邊的三個方程可以求得(d)其中(4-8)

從解析幾何可知，式中的

就是三角形i、j、m的面積。為保證求得的面積為正值，節點i、j、m的編排次序必須是逆時針方向，如圖4-2所示。(c)由(c)式左邊的三個方程可以求得(d)其中(4

圖4-2平面三角形單元將(d)式代入(b)式的第一式，經整理后得到(e)

將(d)式代入(b)式的第一式，經整理后得到其中同理可得若令這樣，位移模式(e)和(f)就可以寫為（i,j,m輪換）(4-10)（i,j,m輪換）(4-9)(f)其中同理可得若令這樣，位移模式(e)和(f)就可以寫

式中I是二階單位矩陣；Ni、Nj、Nm是坐標的函數，它們反映了單元的位移狀態，所以一般稱之為形狀函數，簡稱形函數。矩陣[N]叫做形函數矩陣。三節點三角形單元的形函數是坐標的線性函數。單元中任一條直線發生位移后仍為一條直線，即只要兩單元在公共節點處保持位移相等。則公共邊線變形后仍為密合。(4-11)也可寫成矩陣形式(4-12)式中I是二階單位矩陣；Ni、Nj三、應變有了單元的位移模式，就可以利用平面問題的幾何方程求得應變分量。將(e)、(f)兩式代入上式，即得：(g)(e)(f)三、應變有了單元的位移模式，就可以利用平面問題的幾何可簡寫成

其中[B]矩陣叫做單元應變矩陣，可寫成分塊形式而子矩陣由于和bi

、bj

、bm

、ci

、cj

、cm

等都是常量，所以矩陣[B]中的諸元素都是常量，因而單元中各點的應變分量也都是常量，通常稱這種單元為常應變單元。（i,j,m輪換）(4-15)(4-14)(4-13)可簡寫成

其中[B]矩陣叫做單元應變矩陣，可寫成分塊形四、應力

求得應變之后，再將（4-13）式代入物理方程，便可推導出以節點位移表示的應力。即(4-16)(h)(4-17)令則四、應力求得應變之后，再將（4-13其中[S]叫做應力矩陣，若寫成分塊形式，有對于平面應力問題，彈性矩陣[D]為(4-18)(i)所以，[S]的子矩陣可記為（i,j,m輪換）(4-19)其中[S]叫做應力矩陣，若寫成分塊形式，有對于平面應力問題

對于平面應變問題，只要將(i)式中的E換成E/1-2

，換成

/1-，即得到其彈性矩陣(j)（i,j,m輪換）(4-20)對于平面應變問題，只要將(i)式中的E換注意到（4-7）式，則有(4-21)

由（4-19）、（4-20）式不難看出，[S]中的諸元素都是常量，所以每個單元中的應力分量也是常量。

可見，對于常應變單元，由于所選取的位移模式是線性的，因而其相鄰單元將具有不同的應力和應變，即在單元的公共邊界上應力和應變的值將會有突變，但位移卻是連續的。注意到（4-7）式，則有(4-21)由（4-在上節中，提出了形函數的概念，即其中（i,j,m輪換）現在我們來討論一下形函數所具有的一些性質。根據行列式的性質：行列式的任一行（或列）的元素與其相應的代數余子式的乘積之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素與其他行（或列）對應元素的代數余子式乘積之和為零，并注意到（4-9）式中的常數ai

、bi

、ci

，aj

、bj

、§4-3形函數的性質在上節中，提出了形函數的概念，即其中（i,j,m輪換cj

和am

、bm

、cm

分別是行列式的第一行、第二行和第三行各元素的代數余子式，我們有⒈形函數在各單元節點上的值，具有“本點是1、它點為零”的性質，即在節點i上，在節點j、m上，(a)(b)(c)cj和am、bm、cm分別是行列式的第一行、第二行和類似地有(d)⒉在單元的任一節點上，三個形函數之和等于1，即(e)類似地有(d)⒉在單元的任一節點上，三個形函數之和等于1，簡記為(4-22)這說明，三個形函數中只有二個是獨立的。

⒊三角形單元任意一條邊上的形函數，僅與該邊的兩端節點坐標有關、而與其它節點坐標無關。例如，在ij邊上，有(4-23)簡記為(4-22)這說明，三個形函數中只有二個是獨立的。

⒊

例如，對圖4-3所示的單元ijm和ijn

，具有公共邊ij。這樣，不論按哪個單元來計算，根據（4-11）式，公共邊ij上的位移均由下式表示圖4-3由(4-23)式可知，在ij邊上式中Ni

,Nj

的表達形式如（4-23）式所示。(i)

利用形函數的這一性質可以證明，相鄰單元的位移分別進行線性插值之后，在其公共邊上將是連續的。例如，對圖4-3所示的單元這樣，不論按哪個單元由此可見，在公共邊上的位移u、v

將完全由公共邊上的兩個節點i、j

的位移所確定，因而相鄰單元的位移是保持連續的。為了在以后討論問題中能夠比較方便地確定單元中任意一點處的形函數數值，這里引入面積坐標的概念。

在圖4-4所示的三角形單元ijm中，任意一點P(x,y)的位置可以用以下三個比值來確定圖4-4

式中為三角形單元ijm的面積，i

、j

、m

分別是三角形Pjm、Pmi、Pij的面積。這三個比值就叫做P點的面積坐標。(4-24)由此可見，在公共邊上的位移在圖4-4所示的三顯然這三個面積坐標并不是完全獨立的，由于所以有：而三角形pjm的面積為：故有：顯然這三個面積坐標并不是完全獨立的，由于所以有：而三角形pj類似地有(4-25)(4-26)

由此可見，前述的三角形常應變單元中的形函數Ni

、Nj

、Nm就是面積坐標Li

、Lj

、Lm。

根據面積坐標的定義，我們不難發現，在平行jm邊的直線上的所有各點，都有相同的坐標Li

，并且該坐標就等于“該直線至jm邊的距離”與“節點i至jm邊的距離”之比，圖4-4中給出了Li

的一些等值線。類似地有(4-25)(4-26)由此可見，前容易看出，單元三個節點的面積坐標分別為節點i：

Li

=1Lj=0Lm

=0節點j：

Li

=0Lj=1Lm

=0

節點m：

Li

=0Lj=0Lm

=1不難驗證，面積坐標與直角坐標之間存在以下變換關系：(4-27)容易看出，單元三個節點的面積坐標分別為節點i：當面積坐標的函數對直角坐標求導時，可利用下列公式：(4-28)當面積坐標的函數對直角坐標求導時，可利用下列公式：(4-28一.單元剛度矩陣

為了推導單元的節點力和節點位移之間的關系，可應用虛位移原理對圖4-2中的單元e進行分析。單元e是在等效節點力的作用下處于平衡的，而這種節點力可采用列陣表示為(a)假設在單元e中發生有虛位移，則相應的三個節點i、j、m

的虛位移為且假設單元內各點的虛位移為{f*}，并具有與真實位移相同的位移模式。§4-4剛度矩陣一.單元剛度矩陣為了推導單元的節點力和節點故有(c)參照（4-13）式，單元內的虛應變{

*}為于是，作用在單元體上的外力在虛位移上所做的功可寫為(d)(f)而單元內的應力在虛應變上所做的功為(g)故有(c)參照（4-13）式，單元內的虛應變{*}為于是這里我們假定單元的厚度t為常量。把（d）式及（4-16）式代入上式，并將虛位移提到積分號的前面，則有根據虛位移原理，由（f）和（h）式可得到單元的虛功方程，即注意到虛位移是任意的，所以等式兩邊與相乘的項應該相等，即得這里我們假定單元的厚度t為常量。把（d）式及（4-16）式記(4-32)則有(4-33)

上式就是表征單元的節點力和節點位移之間關系的剛度方程，[k]e就是單元剛度矩陣。如果單元的材料是均質的，那么矩陣[D]中的元素就是常量，并且對于三角形常應變單元，[B]矩陣中的元素也是常量。當單元的厚度也是常量時，所以（4-32）式可以簡化為[k]e=[B]T[D][B]t

(4-34)記(4-32)則有(4-33)上式就是表征單二整體剛度矩陣

討論了單元的力學特性之后，就可轉入結構的整體分析。假設彈性體被劃分為N個單元和n個節點，對每個單元按前述方法進行分析計算，便可得到N組形如（4-33）式的方程。將這些方程集合起來，就可得到表征整個彈性體的平衡關系式。為此，我們先引入整個彈性體的節點位移列陣{}2n×1，它是由各節點位移按節點號碼以從小到大的順序排列組成，即其中子矩陣(j)(i=1,2,…,n)(k)是節點i的位移分量。二整體剛度矩陣討論了單元的力學特性之

繼而再引入整個彈性體的載荷列陣{R}2n×1，它是移置到節點上的等效節點載荷依節點號碼從小到大的順序排列組成，即(l)其中子矩陣(i=1,2,…,n)(m)是節點i上的等效節點載荷。繼而再引入整個彈性體的載荷列陣{R}2n×1(q)

同樣，將六階方陣[k]加以擴充，使之成為2n階的方陣(q)123421q圖4-5組裝總剛[k]的一般規則：1.當[krs]中r=s時，該點被哪幾個單元所共有，則總剛子矩陣[krs]就是這幾個單元的剛度矩陣子矩陣[krs]e的相加。2.

當[krs]中rs時，若rs邊是組合體的內邊，則總體剛度矩陣[krs]就是共用該邊的兩相鄰單元單剛子矩陣[krs]e的相加。3.當[krs]中r和s不同屬于任何單元時，則總體剛度矩陣[krs]=[0]。下面，我們考查一個組裝總剛的實例：1.整體剛度矩陣及載荷列陣的組集

根據疊加原理，整體結構的各個剛度矩陣的元素顯然是由有關單元的單元剛度矩陣的元素組集而成的，為了便于理解，現結合圖4-5說明組集過程。123421q圖4-5組裝總剛[k]的一般規則：

圖中有兩種編碼：一是節點總碼：1、2、3、4；二是節點局部碼，是每個單元的三個節點按逆時針方向的順序各自編碼為1，2，3。圖中兩個單元的局部碼與總碼的對應關系為：

單元1：1，2，3 1，2，3

單元2：1，2，33，4，1或：單元1：1，2，3 1，2，3

單元2：1，2，31，3，4單元e的剛度矩陣分塊形式為：圖中有兩種編碼：一是節點總碼：1、2、3、4整體剛度矩陣分塊形式為：其中每個子塊是按照節點總碼排列的。