試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆湖北省黃岡市高三上學期9月調研考試數學試題一、單選題1．若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解對數不等式確定集合，解分式不等式確定集合，然后由交集的定義計算．【詳解】由題意，，，或，即或，所以．故選：B．2．設，，則是的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】構造函數，其中，利用導數分析函數的單調性，結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】構造函數，其中，則，由，可得；由，可得.所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，若，則，即，所以，，若，則，則，所以，，所以，是的必要不充分條件.故選：B.3．在中，，D為邊上一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據余弦定理計算長度，進而可判斷三角形為直角三角形，利用勾股定理即可求解長度.【詳解】由以及余弦定理得,進而可得,所以為直角三角形，故,故選：A4．已知有兩個不同零點a，b，則下列結論成立的是（

）A．最小值為2 B．最小值為2C．最小值為4 D．最小值為1【答案】C【分析】結合的單調性可得，且，進而利用基本不等式的性質對選項逐一分析，即可得到答案.【詳解】有兩個不同的零點，當時，單調遞減；當時，單調遞增；，即，不妨設，則，解得，，當且僅當，即時，等號成立，顯然由可知等號不成立，故A錯誤；，當且僅當，即時，等號成立，顯然由可知等號不成立，故B錯誤；，當且僅當，即時，等號成立，顯然由可知等號成立，故C正確；，當且僅當，即時，等號成立，顯然由可知等號不成立，故D錯誤；故選：C.5．已知等比數列的前n項和為，若，則（

）A．32 B．28 C．48 D．60【答案】D【分析】根據等比數列前n項和為的特征即可按比例求解.【詳解】由可知公比，所以，因此，故選：D6．已知，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對進行變形，構造函數，利用導數研究函數的單調性得，再構造函數，利用導數研究函數的單調性，進而得到，即可得解．【詳解】，，，令，則，令，則，當時，，∴在上單調遞減，∴，即，∴，即；令，∴，令，則，當時，，∴在上單調遞減，∴，即，∴，即，綜上可知：．故選：A．7．已知函數，是的一個極值點，是與其相鄰的一個零點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題中條件求出的值，結合的取值范圍可求得的值，可得出函數的解析式，然后代值計算可得的值.【詳解】由題意可知，函數的最小正周期為，，，因為是的一個極值點，則，則，因為，，則，因此，.故選：D.8．已知數列滿足，則（

）A．231 B．234 C．279 D．276【答案】B【分析】根據奇數項和偶數項的特征，根據分組求和得，進而根據奇數項的特點即可求解.【詳解】由可知：當為偶數時，當為奇數時，所以，即，由此解得，所以，故選：B二、多選題9．下列區間中能使函數單調遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用導數的正負與函數單調性的關系及復合函數的單調性的解決辦法即可求解.【詳解】由，得，解得或，所以函數的定義域為.令，則，由，得，令即，解得，或，當或時，；所以在和上單調遞增；所以在定義域內是單調遞增函數,所以函數在和上單調遞增.故選：BD.10．下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對于A，采用降冪公式，結合特殊角三角函數，可得答案；對于B，根據特殊角三角函數，結合正切的和角公式，可得答案；對于C，根據輔助角公式，結合特殊角三角函數，可得答案；對于D，根據積化和差公式，結合特殊角三角函數，可得答案.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確；故選：ABD.11．在平面四邊形中，，若點E為線段上的動點，則的值可能為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】BC【分析】由數量積的定義及性質，得出，，由余弦定理求得BD，進一步根據幾何關系得為正三角形，.即可以D為原點，DC為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標系，利用向量坐標法可表示出，，討論值域即可【詳解】由題，，又，則，則，為正三角形，，故以D為原點，DC為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，設，則，則，則當時，取最小值；當時，取最大值3，故.故選：BC12．已知函數對于任意的，均滿足，其中是的導函數，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】構造函數，其中，利用導數分析函數的單調性，結合單調性可判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】令，其中，則，當時，，則，當時，，則，所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，對于A選項，因為，則，即，所以，，A對；對于B選項，，因為，則，即，所以，，即，B對；對于CD選項，，因為，則，即，所以，，即，C對D錯.故選：ABC.三、填空題13．已知向量，滿足，且向量與的夾角為，則__________.【答案】【分析】直接利用向量的模的運算法則，結合向量的數量積求解即可．【詳解】解：因為向量，滿足，且向量與的夾角為，所以．故答案為：．14．等差數列的前n項和為，公差是函數的極值點，則__________．【答案】21【分析】求導得函數的極值點，進而可求解公差，利用公式即可求解.【詳解】由得，令或，由，進而，所以，故答案為：2115．已知函數，則不等式的解集為______________．【答案】【分析】先根據函數特點構造，得到其奇偶性和單調性，再對不等式變形得到，根據單調性得到，解不等式求出答案.【詳解】令，定義域為R，且，所以為奇函數，變形為，即，其，當且僅當，即時，等號成立，所以在R上單調遞增，所以，解得：，所以解集為.故答案為：16．對任意的，不等式恒成立，則a的范圍為__________．【答案】【詳解】解：由題意可知,設，則問題轉化為在上成立，因為=,令，則，所以在上單調遞增，因為當趨于時，趨于，因為在上單調遞增，在上單調遞減，由指數函數和反例函數的圖象可知與在上只有一個交點，即在上只有一個根.所以，使，即有，當時，，即，單調遞減；當時，，即，單調遞增；所以====.所以成立，即，因為，所以.所以，當且僅當，即時，等號成立.所以，所以，即.故答案為：.【點睛】本題考查了轉化思想，利用導數確定函數的單調性和求最值，屬于難題.四、解答題17．設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c已知向量，且．(1)求角B的大小；(2)若，求的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用數量積的坐標表示，結合正弦定理邊化角即可計算作答.（2）由（1）的結論，利用正弦定理結合三角恒等變換及正弦函數的性質求解作答.【詳解】(1)在中，因，，，則有，由正弦定理得：，而，因此，即，，所以.(2)由（1）知，，而，由正弦定理得：，即，而，則，其中銳角由確定，而，有，則當且僅當，即時，取最大值1，，所以的最大值為.18．已知數列各項均為正數且滿足，數列滿足，且．(1)求的通項公式；(2)若，求的前n項和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由化簡可得到的通項公式，將左右兩邊同除以可得是等差數列，即可得到的通項公式；（2）分別求出的前n項和，然后用分組求和法直接求出【詳解】(1)由可得，，，左右兩邊同除以，得，所以數列是公差為1的等差數列，，，；(2)設的前n項和為，的前n項和為由（1）可得的前n項和，的前n項和①所以②②①得所以，因為，所以的前n項和19．已知函數．(1)記，若對定義域內任意的x，恒成立，求實數a的范圍；(2)試討論函數的單調性．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）求導得因式分解，根據對數函數的性質，分類討論的最值即可求解，（2）分類討論導函數的正負即可得函數的單調性.【詳解】(1)顯然，即，對恒成立，當時，；當時，．綜上，．(2)由（1）知①當時，，當時，單調遞增，當時，，單調遞減，即當時在上遞減，上遞增

②當時，當時，由（1）知在單調遞增

當時，當時，，當時,故當和時，，當時，,因此在上單調遞減，在上單調遞增

當時，當時，，當時,故當和時，，當時，,在上遞減，上遞增20．如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設污水凈化管道（三條邊，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點，分別落在線段上，已知米，米，記.(1)試將污水凈化管道的總長度（即的周長）表示為的函數，并求出定義域；(2)問取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的總長度.【答案】（1），；（2）或時，L取得最大值為米．.【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數解析式，并注明θ的范圍．（2）設sinθ+cosθ=t，根據函數L=在[，]上是單調減函數，可求得L的最大值．所以當時，即

或

時，L取得最大值為米．【詳解】由題意可得，，，由于

，，所以，，，即，設，則，由于，由于在上是單調減函數，當時，即或時，L取得最大值為米．【點睛】三角函數值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函數式變換成的形式求值域3.通過換元，轉化成其他類型函數求值域21．已知函數(1)求在處的切線方程；(2)求在上的最小值（參考數據：）【答案】(1)；(2)1.【分析】（1）求出函數的導數，再利用導數的幾何意義求解作答.（2）利用導數探討函數的單調性，再求出其最小值作答.【詳解】(1)函數求導得：，而，，由，得，所以在處的切線方程為.(2)，由（1）知，令，，當時，，當時，，則函數，即在上遞增，在上遞減，則有，即當時，，而，使，當時，，當時，，因此當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，令，當時，求導得，即函數在上單調遞增，則，即，，于是得，而，則，所以在上的最小值是1.【點睛】結論點睛：函數y=f(x)是區間D上的可導函數，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.22．已知數列為數列的前n項和，且．(1)求數列的通項公式；(2)求證：；(3)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用得到，變形后求出通項公式；（2）構造，利用導函數得到其單調性，得到，再令，則證明出結論；（3）先不