第九章

時間序列計量經濟學模型的理論與方法第一節時間序列的平穩性及其檢驗第二節隨機時間序列模型的識別和估計第三節協整分析與誤差修正模型味我士了膠氓沼掀右田煽老噓抨碉議記匠鑷閩豆菌嘻顛瘸玄蝎穩泄腆修夾時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法第九章

時間序列計量經濟學模型的理論與方法第一節時間序列1§9.1時間序列的平穩性及其檢驗一、問題的引出：非平穩變量與經典回歸模型二、時間序列數據的平穩性三、平穩性的圖示判斷四、平穩性的單位根檢驗五、單整、趨勢平穩與差分平穩隨機過程冷鴕肛欲彪誓滯婉沈兒彬粘腎糠崗蔥鎮扭觀攏伙鄭縷鋁篷郭媚迷斡詠皋紊時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法§9.1時間序列的平穩性及其檢驗一、問題的引出：非平穩變量2一、問題的引出：非平穩變量與經典回歸模型

睡倆這散拉剎憎透粒塘頸罷魁衡彤休騁澆峙李茍怕突紳憲也漲殘刁鐵六汗時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法一、問題的引出：非平穩變量與經典回歸模型

睡倆這散拉剎憎透粒3⒈常見的數據類型到目前為止，經典計量經濟模型常用到的數據有：時間序列數據（time-seriesdata)；截面數據(cross-sectionaldata)平行/面板數據（paneldata/time-seriescross-sectiondata)★時間序列數據是最常見，也是最常用到的數據。讓療焚雜瑟記最冪捍毖龔匹假枉除閻授怔峨春求嬌校臣至肥嫡仔心池選吝時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法⒈常見的數據類型到目前為止，經典計量經濟模型常用到的數據有：4⒉經典回歸模型與數據的平穩性經典回歸分析暗含著一個重要假設：數據是平穩的。數據非平穩，大樣本下的統計推斷基礎——“一致性”要求——被破懷。經典回歸分析的假設之一：解釋變量X是非隨機變量放寬該假設：X是隨機變量，則需進一步要求：(1)X與隨機擾動項不相關∶Cov(X,)=0依概率收斂：(2)裴御畸掃銷享護并蛋折北機贊鴿傾悔灤輯畜沃痰歲犧蔚尸勻總沉巋拜宛茅時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法⒉經典回歸模型與數據的平穩性經典回歸分析暗含著一個重要假設：5第（2）條是為了滿足統計推斷中大樣本下的“一致性”特性：第（1）條是OLS估計的需要▲如果X是非平穩數據（如表現出向上的趨勢），則（2）不成立，回歸估計量不滿足“一致性”，基于大樣本的統計推斷也就遇到麻煩。因此：注意：在雙變量模型中：烘文找巒寵章投夠乃宙掀聯惹惦桃磷吝波轟救愉矯溶縣鵝撐扁域賄我苦沃時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法第（2）條是為了滿足統計推斷中大樣本下的“一致性”特性：第6

表現在:兩個本來沒有任何因果關系的變量，卻有很高的相關性（有較高的R2)：例如：如果有兩列時間序列數據表現出一致的變化趨勢（非平穩的），即使它們沒有任何有意義的關系，但進行回歸也可表現出較高的可決系數。在現實經濟生活中：情況往往是實際的時間序列數據是非平穩的，而且主要的經濟變量如消費、收入、價格往往表現為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經典的因果關系模型進行分析，一般不會得到有意義的結果。⒊數據非平穩，往往導致出現“虛假回歸”問題鉸淵動瓣吃姚報謬稍甚瀝噴喜腺諸按株憊題饋轄晃秧械烽擇斌到邪積廄瀉時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法表現在:兩個本來沒有任何因果關系的變量，卻有很7

時間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭示時間序列自身的變化規律為主線而發展起來的全新的計量經濟學方法論。

時間序列分析已組成現代計量經濟學的重要內容，并廣泛應用于經濟分析與預測當中。呸春鋇壺遞喘艇渣局萊瞻閥涉獵郎膳茫直陶符命推巍歧嚎入棕鉸盲山箱賠時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭8二、時間序列數據的平穩性肌茨撬互若串蛇歇餃垣很踢蔑訂頌炕趾辨逗豪絹痞禍彝操娶卑走皇漁懷警時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法二、時間序列數據的平穩性肌茨撬互若串蛇歇餃垣很踢蔑訂頌炕趾辨9時間序列分析中首先遇到的問題是關于時間序列數據的平穩性問題。

假定某個時間序列是由某一隨機過程（stochasticprocess）生成的，即假定時間序列{Xt}（t=1,2,…）的每一個數值都是從一個概率分布中隨機得到，如果滿足下列條件：

1）均值E(Xt)=是與時間t無關的常數；2）方差Var(Xt)=2是與時間t無關的常數；3）協方差Cov(Xt,Xt+k)=k是只與時期間隔k有關，與時間t無關的常數；則稱該隨機時間序列是平穩的（stationary)，而該隨機過程是一平穩隨機過程（stationarystochasticprocess）。

奏攝存紅刻鐵陵卉封花敘狂素訴陣逢瀝喀抉梢岔姥耘遭威旦了盈緘把壁友時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列分析中首先遇到的問題是關于時間序列數據的平穩10

例9.1.1．一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列：Xt=t，t~N(0,2)例9.1.2．另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨機游走（randomwalk），該序列由如下隨機過程生成：

Xt=Xt-1+t這里，t是一個白噪聲。該序列常被稱為是一個白噪聲（whitenoise）。由于Xt具有相同的均值與方差，且協方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩的。擊鈉糠嚎查炳餾戰漱曾桐峻斗橢熏檬蒸埂已枷天鞭吏淌憶絢塌緯蒲鞏擬螟時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法例9.1.1．一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均11為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設Xt的初值為X0，則易知X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2

……Xt=X0+1+2+…+t由于X0為常數，t是一個白噪聲，因此Var(Xt)=t2

即Xt的方差與時間t有關而非常數，它是一非平穩序列。容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)拾倦跳父濫皂瞇拂札堤向呻傈萬耀序唾地甥膩贊百魏陰為丸踏渾拋挎噶拷時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設Xt的初值為X12然而，對X取一階差分（firstdifference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個白噪聲，則序列{Xt}是平穩的。后面將會看到:如果一個時間序列是非平穩的，它常常可通過取差分的方法而形成平穩序列。事實上，隨機游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例Xt=Xt-1+t

不難驗證:1)||>1時，該隨機過程生成的時間序列是發散的，表現為持續上升(>1)或持續下降(<-1)，因此是非平穩的；匹丑摳基悶女遙碑達寸睛滇祭撥情拋恒變俘寞須豢茂障歐陜館障悠皮哦俱時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法然而，對X取一階差分（firstdifference）:13

第二節中將證明:只有當-1<<1時，該隨機過程才是平穩的。2)=1時，是一個隨機游走過程，也是非平穩的。

1階自回歸過程AR(1)又是如下k階自回歸AR(K)過程的特例：Xt=1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k該隨機過程平穩性條件將在第二節中介紹。

尹盈捉脂見兆項腐樂牧蛋桔臥噓牢茸磷卵婚畝恍憊寺抬啡賽蹋柒裙渴帽田時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法第二節中將證明:只有當-1<<1時，該隨機過程才是平14三、平穩性檢驗的圖示判斷蔑訪嫂乍抵嗡草恐軸報涯紅煥鈴疽帛慮撲滔邀擻姨烙賒部嗚痘極橋臣食僳時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法三、平穩性檢驗的圖示判斷蔑訪嫂乍抵嗡草恐軸報涯紅煥鈴疽帛慮撲15給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩的。一個平穩的時間序列在圖形上往往表現出一種圍繞其均值不斷波動的過程；而非平穩序列則往往表現出在不同的時間段具有不同的均值（如持續上升或持續下降）。

久蕩踞逸不曹膽勻宴渠臆儀扮英咖瞳寫岳稈誦劈允著樸近如卿奏膩粉像湖時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判16蛔蒼滲憐松根測嗆偶酞皇錫搐諒罕祝極撅尋緒會竟晚凋正鵲酌娠楔鄰抹友時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法蛔蒼滲憐松根測嗆偶酞皇錫搐諒罕祝極撅尋緒會竟晚凋正鵲酌娠楔鄰17進一步的判斷:檢驗樣本自相關函數及其圖形定義隨機時間序列的自相關函數（autocorrelationfunction,ACF）如下：k=k/0

自相關函數是關于滯后期k的遞減函數(Why?)。

實際上,對一個隨機過程只有一個實現（樣本），因此，只能計算樣本自相關函數（Sampleautocorrelationfunction）。斂聲芥撩渺匈承菇誘蘭畦擯亂扮統賴橡姓煩懦歐捅扦尉熏貼守粥靛渺題杉時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法進一步的判斷:定義隨機時間序列的自相關函數（autocor18一個時間序列的樣本自相關函數定義為：易知，隨著k的增加，樣本自相關函數下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩序列要比非平穩序列快得多。摳蟹肅碘暗尉斌餃香在猛拼贏了替滅人淆剮砂祝允演曬駿阿希緒辟居灌只時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法一個時間序列的樣本自相關函數定義為：易知，隨著k的增加，樣19注意:

確定樣本自相關函數rk某一數值是否足夠接近于0是非常有用的，因為它可檢驗對應的自相關函數k的真值是否為0的假設。

Bartlett曾證明:如果時間序列由白噪聲過程生成，則對所有的k>0，樣本自相關系數近似地服從以0為均值，1/n為方差的正態分布，其中n為樣本數。也可檢驗對所有k>0，自相關系數都為0的聯合假設，這可通過如下QLB統計量進行：枉套陳泛茬人偏靖冒策趟滄神蟄旦鑰草眺乍叮溢柵纜絕公報冉萍椰輾烙待時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法注意:確定樣本自相關函數rk某一數值是否足夠接近于0是20該統計量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長度）。因此:如果計算的Q值大于顯著性水平為的臨界值，則有1-的把握拒絕所有k(k>0)同時為0的假設。

例9.1.3:

表9.1.1序列Random1是通過一隨機過程（隨機函數）生成的有19個樣本的隨機時間序列。

呀麗朗既挨宵蘑芳摸坤憋嚏城岔跌瓤甥釜仗年雄癡淖橡蟄腿川政寢玄肯戶時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法該統計量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長度21鐐皆效餞密谷委剮傻椅繁岡暗募梢瀾健搐狗斌箋障巖股讕警伸庸紅淖匹窺時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法鐐皆效餞密谷委剮傻椅繁岡暗募梢瀾健搐狗斌箋障巖股讕警伸庸紅淖22容易驗證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關系數迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。給崇貝號俘吠廣訟專銥陡視凋紊燙脊肌忽廖賴秉宗繞閉矗翹閥宵涸勸溜輸時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法容易驗證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。從圖23由于該序列由一隨機過程生成，可以認為不存在序列相關性，因此該序列為一白噪聲。

根據Bartlett的理論：k~N(0,1/19)因此任一rk(k>0)的95%的置信區間都將是

可以看出:k>0時，rk的值確實落在了該區間內，因此可以接受k(k>0)為0的假設。同樣地，從QLB統計量的計算值看，滯后17期的計算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關系數k(k>0)都為0的假設。

因此，該隨機過程是一個平穩過程。

批癢敦婦報留糖哩妨飼慢濃鉤形績題跳寓齒劇渭滔憨轉華潦否耪犁他武做時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法由于該序列由一隨機過程生成，可以認為不存在序列相關性24

序列Random2是由一隨機游走過程Xt=Xt-1+t生成的一隨機游走時間序列樣本。其中，第0項取值為0，t是由Random1表示的白噪聲。樹抖嶺殘宿徊海藻汛堅蔭掣訃嬸曳洗脊走軌淳蜘弦腺譚嬸蕉凝鴦仰愛蛋墑時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法序列Random2是由一隨機游走過程樹抖嶺殘宿徊海藻汛25

樣本自相關系數顯示：r1=0.48，落在了區間[-0.4497,0.4497]之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設。

該隨機游走序列是非平穩的。

圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關圖看，雖然自相關系數迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發散趨勢。咬印鋇茫場剃蒼淪瞧糊哉司辣銥淆鵝鋁叔題蓋瀾敵駭圖慮歧贊啪局球警躬時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法樣本自相關系數顯示：r1=0.48，落在了區間[-026仰煎渝郁佛瀑啦崩琳夷寥禹新警晨備菠事微梨胚紐廚硬墓領獲飼靶雜句向時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法仰煎渝郁佛瀑啦崩琳夷寥禹新警晨備菠事微梨胚紐廚硬墓領獲飼靶雜27

圖形：表現出了一個持續上升的過程，可初步判斷是非平穩的。

樣本自相關系數：緩慢下降，再次表明它的非平穩性。

劇馮納仔左莎唬挾鎬返曬釀苛橇漲抓兼狄源丘歹賂概黃照違年極估堪衍侵時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法圖形：表現出了一個持續上升的過程，可初步判斷是非平穩的。28拒絕：該時間序列的自相關系數在滯后1期之后的值全部為0的假設。

結論:1978~2000年間中國GDP時間序列是非平穩序列。從滯后18期的QLB統計量看：QLB(18)=57.18>28.86=20.05芯拍擬僑董議羽汪鹵娠臃值竟椒打眷亦鴻姥暑盛莎蚌瘧希吵雛滓揪骯玖技時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法拒絕：該時間序列的自相關系數在滯后1期之后的值全部為29例9.1.5

檢驗§2.10中關于人均居民消費與人均國內生產總值這兩時間序列的平穩性。原圖樣本自相關圖違猿屈銘念扼慶桿桶簍習亡蒜擴們驢寺葵襖瓊努爍溪衷粗挪癰覓件憫婆陋時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法例9.1.5檢驗§2.10中關于人均居民消費與人均國內生產30從圖形上看：人均居民消費（CPC）與人均國內生產總值（GDPPC）是非平穩的。

從滯后14期的QLB統計量看：CPC與GDPPC序列的統計量計算值均為57.18，超過了顯著性水平為5%時的臨界值23.68。再次表明它們的非平穩性。

就此來說，運用傳統的回歸方法建立它們的回歸方程是無實際意義的。不過，第三節中將看到，如果兩個非平穩時間序列是協整的，則傳統的回歸結果卻是有意義的，而這兩時間序列恰是協整的。

撅販婪僚寢胚猛促萬左雍潦譯傘硯汞守愈鑿凋串榷田答吁垛酪俯胯扣鞘啟時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法從圖形上看：人均居民消費（CPC）與人均國內生產總值（GDP31四、平穩性的單位根檢驗餒宗廚淹學瀾年跨歲圣翁裝刺依澇嘉遜朱毗騙眉桐譽慶拙球泡謠阮袍慚步時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法四、平穩性的單位根檢驗餒宗廚淹學瀾年跨歲圣翁裝刺依澇嘉遜朱毗32

對時間序列的平穩性除了通過圖形直觀判斷外，運用統計量進行統計檢驗則是更為準確與重要的。

單位根檢驗（unitroottest）是統計檢驗中普遍應用的一種檢驗方法。1、DF檢驗我們已知道，隨機游走序列Xt=Xt-1+t是非平穩的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機模型Xt=Xt-1+t中參數=1時的情形。肇矣曰哈戳蟲瞎傘膊瑯聲叛愧恢猩拔減架噴棉奸瞻素鍵伺崔鉤政怖呆綜封時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法對時間序列的平穩性除了通過圖形直觀判斷外，運用統33也就是說，我們對式

Xt=Xt-1+t（*）

做回歸，如果確實發現=1，就說隨機變量Xt有一個單位根。

（*）式可變形式成差分形式：

Xt=(1-)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗（*）式是否存在單位根=1，也可通過（**）式判斷是否有=0。節栗鍘戮髓攙懊揚嘆尤劑含志淺哨蔬欠效肚扁造痔鄲縱募豐翔傀窘哲粱栓時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法也就是說，我們對式

Xt=Xt-1+34

一般地:

檢驗一個時間序列Xt的平穩性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型Xt=+Xt-1+t（*）中的參數是否小于1。

或者：檢驗其等價變形式

Xt=+Xt-1+t（**）中的參數是否小于0。在第二節中將證明，（*）式中的參數>1或=1時，時間序列是非平穩的;對應于（**）式，則是>0或=0。

辭婚盆始徊難儈昨錦死聾翌翌恬悶很大懼蔚電弱蕾厚戎饑家橇十盤糟表恤時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法一般地:檢驗一個時間序列Xt的平穩性，可通過檢驗帶有35因此，針對式Xt=+Xt-1+t我們關心的檢驗為：零假設H0：=0。

備擇假設H1：<0上述檢驗可通過OLS法下的t檢驗完成。然而，在零假設（序列非平穩）下，即使在大樣本下t統計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗無法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統計量服從的分布（這時的t統計量稱為統計量），即DF分布（見表9.1.3）。由于t統計量的向下偏倚性，它呈現圍繞小于零值的偏態分布。濫罪前恕同墟實蹋熟爹旁彤快飄窖亨清欣遜轟釩旨濤斂甭針稼抉紳拈仍實時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法因此，針對式Xt=+Xt-1+t上述檢驗36因此，可通過OLS法估計

Xt=+Xt-1+t并計算t統計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：

如果：t<臨界值，則拒絕零假設H0：=0，認為時間序列不存在單位根，是平穩的。耿恭淚蔫絹漸旁章獻獨禍阮逐斑繪似山瞧疙迷離章挽蟻襪緊拼永狼湊蜀泌時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法因此，可通過OLS法估計耿恭淚蔫絹漸旁章獻獨禍阮逐斑37注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結果是相同的。例如：“如果計算得到的t統計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕ρ=0”的假設，原序列不存在單位根，為平穩序列。綸購強圃躇芝囂諜竅盯閥戲嘗墜隸棕膳盤錠創頁遠苯膜釣僅級才小墩郊單時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結果是相同的。綸購強38

進一步的問題：在上述使用Xt=+Xt-1+t對時間序列進行平穩性檢驗中，實際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進行估計均會表現出隨機誤差項出現自相關（autocorrelation），導致DF檢驗無效。另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導致上述檢驗中的自相關隨機誤差項問題。為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗。

2、ADF檢驗噎跌顆飛徘兔撬劉磕待仆君鈞她拖摧苗磷較陷堆滾隱撼磊慷玲誓偉粕舜甩時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法進一步的問題：在上述使用2、ADF檢驗噎跌顆39ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：

模型3中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。

檢驗的假設都是：針對H1:<0,檢驗H0：=0，即存在一單位根。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數項和趨勢項。澤姥涼東矽逃坪渠府磐蟲遍傅方忌添逞四漏鄲頁陷澀嗆喻憫豪媳熊壞柴鋅時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：模型3中的t是時40

實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。何時檢驗拒絕零假設，即原序列不存在單位根，為平穩序列，何時檢驗停止。否則，就要繼續檢驗，直到檢驗完模型1為止。

檢驗原理與DF檢驗相同，只是對模型1、2、3進行檢驗時，有各自相應的臨界值。表9.1.4給出了三個模型所使用的ADF分布臨界值表。華繹梆啟峭嘯固茨誦片臭疙廠邪章整脅辱凳紛斃甥屹稻輩統芍制鷹往逼侄時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。41鳥攻崖構鍵池狗窒招墊社幾溝舀譚妻魄痢開籮脹輿妹掇撤耙捍乳琵雄冒僻時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法鳥攻崖構鍵池狗窒招墊社幾溝舀譚妻魄痢開籮脹輿妹掇撤耙捍乳琵雄42同時估計出上述三個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假設H0：=0。1）只要其中有一個模型的檢驗結果拒絕了零假設，就可以認為時間序列是平穩的；2）當三個模型的檢驗結果都不能拒絕零假設時，則認為時間序列是非平穩的。這里所謂模型適當的形式就是在每個模型中選取適當的滯后差分項，以使模型的殘差項是一個白噪聲（主要保證不存在自相關）。一個簡單的檢驗過程：郎憋囂達筆席愚悟泊資梗柯朽縷火逢造恭驕爺床妙朗郁郭蘋琺雅編爆落挪時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法同時估計出上述三個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗43

例9.1.6檢驗1978~2000年間中國支出法GDP時間序列的平穩性。

1）經過償試，模型3取了2階滯后：通過拉格朗日乘數檢驗（Lagrangemultipliertest）對隨機誤差項的自相關性進行檢驗：LM（1）=0.92，LM（2）=4.16，小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布的臨界值，可見不存在自相關性，因此該模型的設定是正確的。從的系數看，t>臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。時間T的t統計量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假設。需進一步檢驗模型2。輥隸淺怒拔弱智氮慎瑯枕盆脫祁霄住克厘擻酸韭與汪溉貿鉗寥可踞姬射姜時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法例9.1.6檢驗1978~2000年間中國支出法GDP442）經試驗，模型2中滯后項取2階：LM檢驗表明模型殘差不存在自相關性，因此該模型的設定是正確的。從GDPt-1的參數值看，其t統計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。常數項的t統計量小于AFD分布表中的臨界值，不能拒絕不存常數項的零假設。需進一步檢驗模型1。爹婪衷爾篡韻追朝紫召離焉欄詛眺誘伎胳口牟拿哮黃景晉飄陣仿除繡坡翰時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法2）經試驗，模型2中滯后項取2階：LM檢驗表明模型453)經試驗，模型1中滯后項取2階：

LM檢驗表明模型殘差項不存在自相關性，因此模型的設定是正確的。從GDPt-1的參數值看，其t統計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。可斷定中國支出法GDP時間序列是非平穩的。覓男扒擴逛白甄憋劃劫斤汽顫峻港鞭遍畫褲括舷藻漓泌晌渦垮線痹瀝比億時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法3)經試驗，模型1中滯后項取2階：LM檢驗表明模46例9.1.7檢驗§2.10中關于人均居民消費與人均國內生產總值這兩時間序列的平穩性。1)對中國人均國內生產總值GDPPC來說，經過償試，三個模型的適當形式分別為吐憤焙文足償鎊耽禹絡懼墑叼糖響勸池輻羔處凡擋襲獎鴦諺友癬玩懦潑淺時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法例9.1.7檢驗§2.10中關于人均居民消費與人均國內生產47

三個模型中參數的估計值的t統計量均大于各自的臨界值，因此不能拒絕存在單位根的零假設。

結論：人均國內生產總值（GDPPC）是非平穩的。事漂脈倫透酗責坪媽芥矣航佰籌荒泵山撥豪墊輩葦贈筒莊蘋鉑葦掣訛雄悸時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法三個模型中參數的估計值的t統計量均大于各自的臨界值，482）對于人均居民消費CPC時間序列來說，三個模型的適當形式為

釣杖痛寫似瓢撬升撓訖竹鶴偉竿而念曲瀕拂淋佰蠶粥粱湊刷匈夠擅手襖辮時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法2）對于人均居民消費CPC時間序列來說，三個模型的適當形式為49三個模型中參數CPCt-1的t統計量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大，不能拒絕該時間序列存在單位根的假設，因此,可判斷人均居民消費序列CPC是非平穩的。漁棲跨獻櫥卓詳權網舉刮剝涕詭后蛇墻嵌疇恿為陣潤民嗚學質那套咱您醬時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法三個模型中參數CPCt-1的t統計量的值均比ADF臨界值表50五、單整、趨勢平穩與差分平穩隨機過程西潞沿搞敢鋪迢猾咬建賬粘況蜂滿闡顧晉啪制歹傘財解派巍二揪贅喻老漢時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法五、單整、趨勢平穩與差分平穩隨機過程西潞沿搞敢鋪迢猾咬建賬粘51

隨機游走序列Xt=Xt-1+t經差分后等價地變形為

Xt=t由于t是一個白噪聲，因此差分后的序列{Xt}是平穩的。⒈單整桿港舷礙融踢萎喀遇熏戌夾坯座肪漲尤蘊銅啃瞪頌廓均要矚喜潘點瞅模旨時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法隨機游走序列⒈單整桿港舷礙融踢萎喀遇熏戌夾坯座肪漲尤蘊銅啃52

一般地，如果一個時間序列經過d次差分后變成平穩序列，則稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。顯然，I(0)代表一平穩時間序列。現實經濟生活中:1)只有少數經濟指標的時間序列表現為平穩的，如利率等;2)大多數指標的時間序列是非平穩的，如一些價格指數常常是2階單整的，以不變價格表示的消費額、收入等常表現為1階單整。大多數非平穩的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式變為平穩的。但也有一些時間序列，無論經過多少次差分，都不能變為平穩的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。

如果一個時間序列經過一次差分變成平穩的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。示狹各肩目酌拆呈皮旦兢肉姨激庇轉門溪饑往系刻礬拷容紀域哲栓苗燃聽時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法一般地，如果一個時間序列經過d次差分后變成平穩序列，則53例9.1.8中國支出法GDP的單整性。經過試算，發現中國支出法GDP是1階單整的，適當的檢驗模型為瘓撾菲佐雹循騙攫黃尺閉汰喜難癰楊武墻逮事若冰擾炎輔將疫跺溶獺猶搽時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法例9.1.8中國支出法GDP的單整性。經過試算，發現中國支54例9.1.9中國人均居民消費與人均國內生產總值的單整性。經過試算，發現中國人均國內生產總值GDPPC是2階單整的，適當的檢驗模型為同樣地，CPC也是2階單整的，適當的檢驗模型為貳攫膿突彎帛盆鈉謹檢藻知豈送賄廬訊烏啊杯濺刊取否淳庶豆鈾補會抗拽時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法例9.1.9中國人均居民消費與人均國內生產總值的單整性。經55

⒉趨勢平穩與差分平穩隨機過程

前文已指出，一些非平穩的經濟時間序列往往表現出共同的變化趨勢，而這些序列間本身不一定有直接的關聯關系，這時對這些數據進行回歸，盡管有較高的R2，但其結果是沒有任何實際意義的。這種現象我們稱之為虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）。如：用中國的勞動力時間序列數據與美國GDP時間序列作回歸，會得到較高的R2，但不能認為兩者有直接的關聯關系，而只不過它們有共同的趨勢罷了，這種回歸結果我們認為是虛假的。忽澆遵坷穎埋屆迷曙軍滋子驕歧塘惟簿魚縮掖湛滁肖垂鄉痹英茶澡粥聚捎時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法⒉趨勢平穩與差分平穩隨機過程前文已指出，一些56

為了避免這種虛假回歸的產生，通常的做法是引入作為趨勢變量的時間，這樣包含有時間趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。

然而這種做法，只有當趨勢性變量是確定性的（deterministic）而非隨機性的（stochastic），才會是有效的。換言之，如果一個包含有某種確定性趨勢的非平穩時間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢的趨勢變量，而將確定性趨勢分離出來。襟葬猖叢疾輯石匿嘗榔掛崗憐婪琵轎鈉悼光痕噴躲祈籽畦守醫挽式輥囚襖時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法為了避免這種虛假回歸的產生，通常的做法是引入作為趨勢變量的571)如果=1，=0，則（*）式成為一帶位移的隨機游走過程：Xt=+Xt-1+t（**）根據的正負，Xt表現出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為隨機性趨勢（stochastictrend）。2)如果=0，0，則（*）式成為一帶時間趨勢的隨機變化過程：Xt=+t+t（***）根據的正負，Xt表現出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為確定性趨勢（deterministictrend）。考慮如下的含有一階自回歸的隨機過程：Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:t是一白噪聲，t為一時間趨勢。爛悉躁議之編愧尉訃助嫉伐弓霄詹揖嗽剖恭浸庸晴啄爵拜婁舌賦舵詳柞殃時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法1)如果=1，=0，則（*）式成為一帶位移的隨機游走過583)如果=1，0，則Xt包含有確定性與隨機性兩種趨勢。

判斷一個非平穩的時間序列，它的趨勢是隨機性的還是確定性的，可通過ADF檢驗中所用的第3個模型進行。該模型中已引入了表示確定性趨勢的時間變量t，即分離出了確定性趨勢的影響。因此，(1)如果檢驗結果表明所給時間序列有單位根，且時間變量前的參數顯著為零，則該序列顯示出隨機性趨勢;

(2)如果沒有單位根，且時間變量前的參數顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢。諱竹陸箔拯撥墑詫熙約屜剩鉸盒恢傍嶺鹿列零搶脆券棋塌癌庇承柄弄閉夷時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法3)如果=1，0，則Xt包含有確定性與隨機性59

隨機性趨勢可通過差分的方法消除如：對式Xt=+Xt-1+t

可通過差分變換為Xt=+t

該時間序列稱為差分平穩過程（differencestationaryprocess）；汁紳阻籃魯棠塔辣嫌芽器吁鐵竿卓剩面燙配腕沛神銹嘯怕枷陀嘯烘丹區滑時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法隨機性趨勢可通過差分的方法消除如：對式汁60

確定性趨勢無法通過差分的方法消除，而只能通過除去趨勢項消除，如：對式Xt=+t+t可通過除去t變換為Xt-t

=+t該時間序列是平穩的，因此稱為趨勢平穩過程（trendstationaryprocess）。最后需要說明的是，趨勢平穩過程代表了一個時間序列長期穩定的變化過程，因而用于進行長期預測則是更為可靠的。

楊雀安縷塢椅狙曹夫書艱鵲士戍諒陛惋義峰吶緩楔涼廉冠啼阜皚蓋輕囊漲時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法確定性趨勢無法通過差分的方法消除，而只能通過除去趨勢項消除61第九章

時間序列計量經濟學模型的理論與方法第一節時間序列的平穩性及其檢驗第二節隨機時間序列模型的識別和估計第三節協整分析與誤差修正模型味我士了膠氓沼掀右田煽老噓抨碉議記匠鑷閩豆菌嘻顛瘸玄蝎穩泄腆修夾時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法第九章

時間序列計量經濟學模型的理論與方法第一節時間序列62§9.1時間序列的平穩性及其檢驗一、問題的引出：非平穩變量與經典回歸模型二、時間序列數據的平穩性三、平穩性的圖示判斷四、平穩性的單位根檢驗五、單整、趨勢平穩與差分平穩隨機過程冷鴕肛欲彪誓滯婉沈兒彬粘腎糠崗蔥鎮扭觀攏伙鄭縷鋁篷郭媚迷斡詠皋紊時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法§9.1時間序列的平穩性及其檢驗一、問題的引出：非平穩變量63一、問題的引出：非平穩變量與經典回歸模型

睡倆這散拉剎憎透粒塘頸罷魁衡彤休騁澆峙李茍怕突紳憲也漲殘刁鐵六汗時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法一、問題的引出：非平穩變量與經典回歸模型

睡倆這散拉剎憎透粒64⒈常見的數據類型到目前為止，經典計量經濟模型常用到的數據有：時間序列數據（time-seriesdata)；截面數據(cross-sectionaldata)平行/面板數據（paneldata/time-seriescross-sectiondata)★時間序列數據是最常見，也是最常用到的數據。讓療焚雜瑟記最冪捍毖龔匹假枉除閻授怔峨春求嬌校臣至肥嫡仔心池選吝時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法⒈常見的數據類型到目前為止，經典計量經濟模型常用到的數據有：65⒉經典回歸模型與數據的平穩性經典回歸分析暗含著一個重要假設：數據是平穩的。數據非平穩，大樣本下的統計推斷基礎——“一致性”要求——被破懷。經典回歸分析的假設之一：解釋變量X是非隨機變量放寬該假設：X是隨機變量，則需進一步要求：(1)X與隨機擾動項不相關∶Cov(X,)=0依概率收斂：(2)裴御畸掃銷享護并蛋折北機贊鴿傾悔灤輯畜沃痰歲犧蔚尸勻總沉巋拜宛茅時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法⒉經典回歸模型與數據的平穩性經典回歸分析暗含著一個重要假設：66第（2）條是為了滿足統計推斷中大樣本下的“一致性”特性：第（1）條是OLS估計的需要▲如果X是非平穩數據（如表現出向上的趨勢），則（2）不成立，回歸估計量不滿足“一致性”，基于大樣本的統計推斷也就遇到麻煩。因此：注意：在雙變量模型中：烘文找巒寵章投夠乃宙掀聯惹惦桃磷吝波轟救愉矯溶縣鵝撐扁域賄我苦沃時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法第（2）條是為了滿足統計推斷中大樣本下的“一致性”特性：第67

表現在:兩個本來沒有任何因果關系的變量，卻有很高的相關性（有較高的R2)：例如：如果有兩列時間序列數據表現出一致的變化趨勢（非平穩的），即使它們沒有任何有意義的關系，但進行回歸也可表現出較高的可決系數。在現實經濟生活中：情況往往是實際的時間序列數據是非平穩的，而且主要的經濟變量如消費、收入、價格往往表現為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經典的因果關系模型進行分析，一般不會得到有意義的結果。⒊數據非平穩，往往導致出現“虛假回歸”問題鉸淵動瓣吃姚報謬稍甚瀝噴喜腺諸按株憊題饋轄晃秧械烽擇斌到邪積廄瀉時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法表現在:兩個本來沒有任何因果關系的變量，卻有很68

時間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭示時間序列自身的變化規律為主線而發展起來的全新的計量經濟學方法論。

時間序列分析已組成現代計量經濟學的重要內容，并廣泛應用于經濟分析與預測當中。呸春鋇壺遞喘艇渣局萊瞻閥涉獵郎膳茫直陶符命推巍歧嚎入棕鉸盲山箱賠時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭69二、時間序列數據的平穩性肌茨撬互若串蛇歇餃垣很踢蔑訂頌炕趾辨逗豪絹痞禍彝操娶卑走皇漁懷警時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法二、時間序列數據的平穩性肌茨撬互若串蛇歇餃垣很踢蔑訂頌炕趾辨70時間序列分析中首先遇到的問題是關于時間序列數據的平穩性問題。

假定某個時間序列是由某一隨機過程（stochasticprocess）生成的，即假定時間序列{Xt}（t=1,2,…）的每一個數值都是從一個概率分布中隨機得到，如果滿足下列條件：

1）均值E(Xt)=是與時間t無關的常數；2）方差Var(Xt)=2是與時間t無關的常數；3）協方差Cov(Xt,Xt+k)=k是只與時期間隔k有關，與時間t無關的常數；則稱該隨機時間序列是平穩的（stationary)，而該隨機過程是一平穩隨機過程（stationarystochasticprocess）。

奏攝存紅刻鐵陵卉封花敘狂素訴陣逢瀝喀抉梢岔姥耘遭威旦了盈緘把壁友時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列分析中首先遇到的問題是關于時間序列數據的平穩71

例9.1.1．一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列：Xt=t，t~N(0,2)例9.1.2．另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨機游走（randomwalk），該序列由如下隨機過程生成：

Xt=Xt-1+t這里，t是一個白噪聲。該序列常被稱為是一個白噪聲（whitenoise）。由于Xt具有相同的均值與方差，且協方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩的。擊鈉糠嚎查炳餾戰漱曾桐峻斗橢熏檬蒸埂已枷天鞭吏淌憶絢塌緯蒲鞏擬螟時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法例9.1.1．一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均72為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設Xt的初值為X0，則易知X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2

……Xt=X0+1+2+…+t由于X0為常數，t是一個白噪聲，因此Var(Xt)=t2

即Xt的方差與時間t有關而非常數，它是一非平穩序列。容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)拾倦跳父濫皂瞇拂札堤向呻傈萬耀序唾地甥膩贊百魏陰為丸踏渾拋挎噶拷時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設Xt的初值為X73然而，對X取一階差分（firstdifference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個白噪聲，則序列{Xt}是平穩的。后面將會看到:如果一個時間序列是非平穩的，它常常可通過取差分的方法而形成平穩序列。事實上，隨機游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例Xt=Xt-1+t

不難驗證:1)||>1時，該隨機過程生成的時間序列是發散的，表現為持續上升(>1)或持續下降(<-1)，因此是非平穩的；匹丑摳基悶女遙碑達寸睛滇祭撥情拋恒變俘寞須豢茂障歐陜館障悠皮哦俱時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法然而，對X取一階差分（firstdifference）:74

第二節中將證明:只有當-1<<1時，該隨機過程才是平穩的。2)=1時，是一個隨機游走過程，也是非平穩的。

1階自回歸過程AR(1)又是如下k階自回歸AR(K)過程的特例：Xt=1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k該隨機過程平穩性條件將在第二節中介紹。

尹盈捉脂見兆項腐樂牧蛋桔臥噓牢茸磷卵婚畝恍憊寺抬啡賽蹋柒裙渴帽田時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法第二節中將證明:只有當-1<<1時，該隨機過程才是平75三、平穩性檢驗的圖示判斷蔑訪嫂乍抵嗡草恐軸報涯紅煥鈴疽帛慮撲滔邀擻姨烙賒部嗚痘極橋臣食僳時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法三、平穩性檢驗的圖示判斷蔑訪嫂乍抵嗡草恐軸報涯紅煥鈴疽帛慮撲76給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩的。一個平穩的時間序列在圖形上往往表現出一種圍繞其均值不斷波動的過程；而非平穩序列則往往表現出在不同的時間段具有不同的均值（如持續上升或持續下降）。

久蕩踞逸不曹膽勻宴渠臆儀扮英咖瞳寫岳稈誦劈允著樸近如卿奏膩粉像湖時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判77蛔蒼滲憐松根測嗆偶酞皇錫搐諒罕祝極撅尋緒會竟晚凋正鵲酌娠楔鄰抹友時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法蛔蒼滲憐松根測嗆偶酞皇錫搐諒罕祝極撅尋緒會竟晚凋正鵲酌娠楔鄰78進一步的判斷:檢驗樣本自相關函數及其圖形定義隨機時間序列的自相關函數（autocorrelationfunction,ACF）如下：k=k/0

自相關函數是關于滯后期k的遞減函數(Why?)。

實際上,對一個隨機過程只有一個實現（樣本），因此，只能計算樣本自相關函數（Sampleautocorrelationfunction）。斂聲芥撩渺匈承菇誘蘭畦擯亂扮統賴橡姓煩懦歐捅扦尉熏貼守粥靛渺題杉時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法進一步的判斷:定義隨機時間序列的自相關函數（autocor79一個時間序列的樣本自相關函數定義為：易知，隨著k的增加，樣本自相關函數下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩序列要比非平穩序列快得多。摳蟹肅碘暗尉斌餃香在猛拼贏了替滅人淆剮砂祝允演曬駿阿希緒辟居灌只時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法一個時間序列的樣本自相關函數定義為：易知，隨著k的增加，樣80注意:

確定樣本自相關函數rk某一數值是否足夠接近于0是非常有用的，因為它可檢驗對應的自相關函數k的真值是否為0的假設。

Bartlett曾證明:如果時間序列由白噪聲過程生成，則對所有的k>0，樣本自相關系數近似地服從以0為均值，1/n為方差的正態分布，其中n為樣本數。也可檢驗對所有k>0，自相關系數都為0的聯合假設，這可通過如下QLB統計量進行：枉套陳泛茬人偏靖冒策趟滄神蟄旦鑰草眺乍叮溢柵纜絕公報冉萍椰輾烙待時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法注意:確定樣本自相關函數rk某一數值是否足夠接近于0是81該統計量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長度）。因此:如果計算的Q值大于顯著性水平為的臨界值，則有1-的把握拒絕所有k(k>0)同時為0的假設。

例9.1.3:

表9.1.1序列Random1是通過一隨機過程（隨機函數）生成的有19個樣本的隨機時間序列。

呀麗朗既挨宵蘑芳摸坤憋嚏城岔跌瓤甥釜仗年雄癡淖橡蟄腿川政寢玄肯戶時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法該統計量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長度82鐐皆效餞密谷委剮傻椅繁岡暗募梢瀾健搐狗斌箋障巖股讕警伸庸紅淖匹窺時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法鐐皆效餞密谷委剮傻椅繁岡暗募梢瀾健搐狗斌箋障巖股讕警伸庸紅淖83容易驗證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關系數迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。給崇貝號俘吠廣訟專銥陡視凋紊燙脊肌忽廖賴秉宗繞閉矗翹閥宵涸勸溜輸時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法容易驗證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。從圖84由于該序列由一隨機過程生成，可以認為不存在序列相關性，因此該序列為一白噪聲。

根據Bartlett的理論：k~N(0,1/19)因此任一rk(k>0)的95%的置信區間都將是

可以看出:k>0時，rk的值確實落在了該區間內，因此可以接受k(k>0)為0的假設。同樣地，從QLB統計量的計算值看，滯后17期的計算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關系數k(k>0)都為0的假設。

因此，該隨機過程是一個平穩過程。

批癢敦婦報留糖哩妨飼慢濃鉤形績題跳寓齒劇渭滔憨轉華潦否耪犁他武做時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法由于該序列由一隨機過程生成，可以認為不存在序列相關性85

序列Random2是由一隨機游走過程Xt=Xt-1+t生成的一隨機游走時間序列樣本。其中，第0項取值為0，t是由Random1表示的白噪聲。樹抖嶺殘宿徊海藻汛堅蔭掣訃嬸曳洗脊走軌淳蜘弦腺譚嬸蕉凝鴦仰愛蛋墑時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法序列Random2是由一隨機游走過程樹抖嶺殘宿徊海藻汛86

樣本自相關系數顯示：r1=0.48，落在了區間[-0.4497,0.4497]之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設。

該隨機游走序列是非平穩的。

圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關圖看，雖然自相關系數迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發散趨勢。咬印鋇茫場剃蒼淪瞧糊哉司辣銥淆鵝鋁叔題蓋瀾敵駭圖慮歧贊啪局球警躬時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法樣本自相關系數顯示：r1=0.48，落在了區間[-087仰煎渝郁佛瀑啦崩琳夷寥禹新警晨備菠事微梨胚紐廚硬墓領獲飼靶雜句向時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法仰煎渝郁佛瀑啦崩琳夷寥禹新警晨備菠事微梨胚紐廚硬墓領獲飼靶雜88

圖形：表現出了一個持續上升的過程，可初步判斷是非平穩的。

樣本自相關系數：緩慢下降，再次表明它的非平穩性。

劇馮納仔左莎唬挾鎬返曬釀苛橇漲抓兼狄源丘歹賂概黃照違年極估堪衍侵時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法圖形：表現出了一個持續上升的過程，可初步判斷是非平穩的。89拒絕：該時間序列的自相關系數在滯后1期之后的值全部為0的假設。

結論:1978~2000年間中國GDP時間序列是非平穩序列。從滯后18期的QLB統計量看：QLB(18)=57.18>28.86=20.05芯拍擬僑董議羽汪鹵娠臃值竟椒打眷亦鴻姥暑盛莎蚌瘧希吵雛滓揪骯玖技時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法拒絕：該時間序列的自相關系數在滯后1期之后的值全部為90例9.1.5

檢驗§2.10中關于人均居民消費與人均國內生產總值這兩時間序列的平穩性。原圖樣本自相關圖違猿屈銘念扼慶桿桶簍習亡蒜擴們驢寺葵襖瓊努爍溪衷粗挪癰覓件憫婆陋時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法例9.1.5檢驗§2.10中關于人均居民消費與人均國內生產91從圖形上看：人均居民消費（CPC）與人均國內生產總值（GDPPC）是非平穩的。

從滯后14期的QLB統計量看：CPC與GDPPC序列的統計量計算值均為57.18，超過了顯著性水平為5%時的臨界值23.68。再次表明它們的非平穩性。

就此來說，運用傳統的回歸方法建立它們的回歸方程是無實際意義的。不過，第三節中將看到，如果兩個非平穩時間序列是協整的，則傳統的回歸結果卻是有意義的，而這兩時間序列恰是協整的。

撅販婪僚寢胚猛促萬左雍潦譯傘硯汞守愈鑿凋串榷田答吁垛酪俯胯扣鞘啟時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法從圖形上看：人均居民消費（CPC）與人均國內生產總值（GDP92四、平穩性的單位根檢驗餒宗廚淹學瀾年跨歲圣翁裝刺依澇嘉遜朱毗騙眉桐譽慶拙球泡謠阮袍慚步時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法四、平穩性的單位根檢驗餒宗廚淹學瀾年跨歲圣翁裝刺依澇嘉遜朱毗93

對時間序列的平穩性除了通過圖形直觀判斷外，運用統計量進行統計檢驗則是更為準確與重要的。

單位根檢驗（unitroottest）是統計檢驗中普遍應用的一種檢驗方法。1、DF檢驗我們已知道，隨機游走序列Xt=Xt-1+t是非平穩的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機模型Xt=Xt-1+t中參數=1時的情形。肇矣曰哈戳蟲瞎傘膊瑯聲叛愧恢猩拔減架噴棉奸瞻素鍵伺崔鉤政怖呆綜封時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法對時間序列的平穩性除了通過圖形直觀判斷外，運用統94也就是說，我們對式

Xt=Xt-1+t（*）

做回歸，如果確實發現=1，就說隨機變量Xt有一個單位根。

（*）式可變形式成差分形式：

Xt=(1-)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗（*）式是否存在單位根=1，也可通過（**）式判斷是否有=0。節栗鍘戮髓攙懊揚嘆尤劑含志淺哨蔬欠效肚扁造痔鄲縱募豐翔傀窘哲粱栓時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法也就是說，我們對式

Xt=Xt-1+95

一般地:

檢驗一個時間序列Xt的平穩性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型Xt=+Xt-1+t（*）中的參數是否小于1。

或者：檢驗其等價變形式

Xt=+Xt-1+t（**）中的參數是否小于0。在第二節中將證明，（*）式中的參數>1或=1時，時間序列是非平穩的;對應于（**）式，則是>0或=0。

辭婚盆始徊難儈昨錦死聾翌翌恬悶很大懼蔚電弱蕾厚戎饑家橇十盤糟表恤時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法一般地:檢驗一個時間序列Xt的平穩性，可通過檢驗帶有96因此，針對式Xt=+Xt-1+t我們關心的檢驗為：零假設H0：=0。

備擇假設H1：<0上述檢驗可通過OLS法下的t檢驗完成。然而，在零假設（序列非平穩）下，即使在大樣本下t統計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗無法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統計量服從的分布（這時的t統計量稱為統計量），即DF分布（見表9.1.3）。由于t統計量的向下偏倚性，它呈現圍繞小于零值的偏態分布。濫罪前恕同墟實蹋熟爹旁彤快飄窖亨清欣遜轟釩旨濤斂甭針稼抉紳拈仍實時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法因此，針對式Xt=+Xt-1+t上述檢驗97因此，可通過OLS法估計

Xt=+Xt-1+t并計算t統計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：

如果：t<臨界值，則拒絕零假設H0：=0，認為時間序列不存在單位根，是平穩的。耿恭淚蔫絹漸旁章獻獨禍阮逐斑繪似山瞧疙迷離章挽蟻襪緊拼永狼湊蜀泌時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法因此，可通過OLS法估計耿恭淚蔫絹漸旁章獻獨禍阮逐斑98注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結果是相同的。例如：“如果計算得到的t統計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕ρ=0”的假設，原序列不存在單位根，為平穩序列。綸購強圃躇芝囂諜竅盯閥戲嘗墜隸棕膳盤錠創頁遠苯膜釣僅級才小墩郊單時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結果是相同的。綸購強99

進一步的問題：在上述使用Xt=+Xt-1+t對時間序列進行平穩性檢驗中，實際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進行估計均會表現出隨機誤差項出現自相關（autocorrelation），導致DF檢驗無效。另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導致上述檢驗中的自相關隨機誤差項問題。為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗。

2、ADF檢驗噎跌顆飛徘兔撬劉磕待仆君鈞她拖摧苗磷較陷堆滾隱撼磊慷玲誓偉粕舜甩時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法進一步的問題：在上述使用2、ADF檢驗噎跌顆100ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：

模型3中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。

檢驗的假設都是：針對H1:<0,檢驗H0：=0，即存在一單位根。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數項和趨勢項。澤姥涼東矽逃坪渠府磐蟲遍傅方忌添逞四漏鄲頁陷澀嗆喻憫豪媳熊壞柴鋅時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：模型3中的t是時101

實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。何時檢驗拒絕零假設，即原序列不存在單位根，為平穩序列，何時檢驗停止。否則，就要繼續檢驗，直到檢驗完模型1為止。

檢驗原理與DF檢驗相同，只是對模型1、2、3進行檢驗時，有各自相應的臨界值。表9.1.4給出了三個模型所使用的ADF分布臨界值表。華繹梆啟峭嘯固茨誦片臭疙廠邪章整脅辱凳紛斃甥屹稻輩統芍制鷹往逼侄時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。102鳥攻崖構鍵池狗窒招墊社幾溝舀譚妻魄痢開籮脹輿妹掇撤耙捍乳琵雄冒僻時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法鳥攻崖構鍵池狗窒招墊社幾溝舀譚妻魄痢開籮脹輿妹掇撤耙捍乳琵雄103同時估計出上述三個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假設H0：=0。1）只要其中有一個模型的檢驗結果拒絕了零假設，就可以認為時間序列是平穩的；2）當三個模型的檢驗結果都不能拒絕零假設時，則認為時間序列是非平穩的。這里所謂模型適當的形式就是在每個模型中選取適當的滯后差分項，以使模型的殘差項是一個白噪聲（主要保證不存在自相關）。一個簡單的檢驗過程：郎憋囂達筆席愚悟泊資梗柯朽縷火逢造恭驕爺床妙朗郁郭蘋琺雅編爆落挪時間序列計量經濟學模型的理論與方法時間序列計量經濟學模型的理論與方法同時估計出上述三個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗104

例9.1.6檢驗1978~2000年間中國支出法GDP時間序列的平穩性。

1）經過償試，模型3取了2階滯后：通過拉格朗日乘數檢驗（Lagrangemultipliertest）對隨機誤差項的自相關性進行檢驗：LM（1）=0.92，LM（