代數學

印度與阿拉伯數學代數學印度與阿拉伯數學印度與阿拉伯數學4.1印度數學1921—1922年間．印度河流域莫亨佐·達羅、哈拉帕等古代城市遺址的考古挖掘，揭示了一個悠久的文明，史稱“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”．這一文明的創造者是印度土著居民達羅毗荼人，其歷史可以追溯到公元前3000年左右．

如果說希臘數學與其哲學密切相關，那么古代印度數學則更多地受到其宗教的影響．雅利安人建立的婆羅門教(公元4世紀后改革為印度教)，以及稍后(公元前6世紀)興起的佛教、耆那教等，形成了古代印度數學發展的濃厚的宗教氛圍．印度數學的發展可以劃分為3個重要時期，首先是雅利安人入侵以前的達羅毗荼人時期(約公元前3000一前1400)，史稱河谷文化；隨后是吠陀時期(約公元前10世紀一前3世紀)；其次是悉檀多時期(5世紀一12世紀)．印度與阿拉伯數學4.1印度數學1924.1.1古代《繩法經》印度數學最早有可考文字記錄的是吠陀時代，其數學材料混雜在婆羅門教的經典《吠陀》當中，年代很不確定．吠陀即梵文veda，原意為知識、光明。《吠陀》內容包括對諸神的頌歌、巫術的咒語和祭祀的法規等，這些材料最初由祭司們口頭傳誦，后來記錄在棕櫚葉或樹皮上．這些《吠陀》中關于廟宇、祭壇的設計與測量的部分《測繩的法規》(Sulvasūtrus)，即《繩法經》，大約為公元前8世紀至公元前2世紀的作品．其中有一些幾何內容和建筑中的代數計算問題．如勾股定理、矩形對角線的性質等。給出了圓周率、根號2的近似值。耆那教的經典由宗教原理、數學原理、算術和天文等幾部分構成。其中出現了許多計算公式，如圓的周長、弧長等。4.1.1古代《繩法經》印度數學最早有可考4.1.2“巴克沙利手稿”關于公元前2世紀至公元后3世紀的印度數學；可參考資料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地區一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村莊，發現了這一時期的書寫在樺樹皮上的所謂“巴克沙利手稿”．其數學內容十分豐富，涉及到分數、平方根、數列、收支與利潤計算、比例算法、級數求和、代數方程等，其代數方程包括一次方程、聯立方程組、二次方程．特別值得注意的是手稿中使用了一些數學符號:（1）減號：“12-7”記成“127+”．（2）零號：用點表示0，后來逐漸演變為圓圈。4.1.2“巴克沙利手稿”關于公元前2世紀巴克沙利手稿中出現了完整的十進制數碼：有一塊公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地區的瓜廖爾(GwMior)城而以瓜廖爾石碑著稱，上面已記有明白無疑的數“0”．瓜廖爾數系為：用圓圈符號“0”表示零，可以說是印度數學的一大發明．在數學上，“0”的意義是多方面的，它既表示“無”的概念，又表示位值記數中的空位，而且是數域中的一個基本元素，可以與其他數一起運算．巴克沙利手稿中出現了完整的十進制數碼：有一印度數碼在公元8世紀傳入阿拉伯國家，后又通過阿拉伯人傳至歐洲．零號的傳播則要晚，不過至遲在13世紀初，斐波那契《算經》中已有包括零號在內的完整印度數碼的介紹．印度數碼和十進位值制記數法被歐洲人普遍接受之后，在歐洲近代科學的進步中扮演了重要的角色．4.1.3“悉檀多時期的印度數學”悉檀多(梵文siddhanta，原為佛教因明術語，可意譯為“宗”，或“體系”)時代是印度數學的繁榮鼎盛時期，其數學內容主要是算術與代數，出現了一些著名的數學家，如阿利耶波多(AryabhataⅠ，476一約550)、婆羅摩笈多(Brahmagupta，598—665)、馬哈維拉(Mahavira，9世紀)和婆什迦羅(BhaskaraⅡ，1114一約1185)等．印度數碼在公元8世紀傳入阿拉伯國家，后又通（一）阿耶波多阿耶波多是現今所知有確切生年的最早的印度數學家，他只有一本天文數學著作《阿耶波多歷數書》(499)傳世．該書最突出的地方在于對希臘三角學的改進和一次不定方程的解法。阿耶波多把半弦與全弦所對弧的一半相對應(見圖)，成為今天的習慣，同時他以半徑的

作為度量弧的單位，實際是弧度制度量的開始．他還給出了第一象限內間隔為3o45’的正弦差值表．阿耶波多最大貢獻是建立了丟番圖方程求解的所謂“庫塔卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法，采用輾轉相除法的演算程序，接近于連分數算法．（一）阿耶波多阿耶波多是現今所知有確切生年的(二)婆羅摩笈多婆羅摩笈多的兩部天文著作《婆羅摩修正體系》(628)和《肯德卡迪亞格》(約665)，都含有大量的數學內容，其代數成就十分可貴．●比較完整地敘述了零的運算法則●利用二次插值法構造了間隔為15°的正弦函數表●獲得了邊長為的四邊形的面積公式（有誤）：實際上這一公式只適用于圓內接四邊形，婆羅摩笈多未意識到這一點，后來馬哈維拉，由這一公式出發將三角形視為有一邊為零的四邊形，得到了海倫公式。(二)婆羅摩笈多婆羅摩笈多的兩部天文著作《婆(三)馬哈維拉7世紀以后，印度數學出現了沉寂，到9世紀才又呈現出繁榮．如果說7世紀以前印度的數學成就總是與天文學交織在一起，那么9世紀以后發生了改變．耆那教徒馬哈維拉的《計算方法綱要》(TheGanita-Sāra-Sangraha)可以說是一部系統的數學專著，全書有9個部分：(1)算術術語，(2)算術運算，(3)分數運算，(4)各種計算問題，(5)三率法(即比例)問題，(6)混合運算，(7)面積計算，(8)土方工程計算，(9)測影計算．●給出了一般性的組合數公式●給出橢圓周長近似公式：(三)馬哈維拉7世紀以后，印度數學出現了沉(四)婆什迦羅

婆什迦羅是印度古代和中世紀最偉大的數學家和天文學家，長期在烏賈因負責天文臺工作．他有兩本代表印度古代數學最高水平的著作《莉拉沃蒂》(Līlāvatī)和《算法本源》，天文著作有《天球》和《天文系統之冠》．《莉拉沃蒂》共有13章：第1章給出算學中的名詞術語；第2章是關于整數、分數的運算，包括加、減、乘、除、平方、開平方、立方、開立方等；第3章論各種計算法則和技巧；第4章關于利率等方面的應用題；第5章數列計算問題，主要是等差數列和等比數列；第6章關于平面圖形的度量計算；第7至10章關于立體幾何的度量計算；第11章為測量問題；第12章是代數問題，包括不定方程；第13章是一些組合問題．●能夠熟地使用諸如和差與半角等三角公式●能夠認識并廣泛使用無理數(四)婆什迦羅婆什迦羅是印度4.2阿拉伯數學“阿拉伯數學”并非單指阿拉伯國家的數學，而是指8—15世紀阿拉伯帝國統治下整個中亞和西亞地區的數學，包括希臘人、波斯人和基督徒等所寫的阿拉伯文數學著作．

在世界文明史上，阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度甚至中國的文化，最終為近代歐洲的文藝復興準備學術前提方面作出了巨大貢獻．他們掀起了著名的翻譯運動：在曼蘇爾哈里發時期，婆羅摩笈多等印度天算家的著作在766年左右已傳入巴格達，并譯成阿拉伯文；8世紀末到9世紀初的蘭希哈里發時期，包括《幾何原本》和《大匯編》在內的希臘天文數學經典先后被譯成阿拉伯文；9世紀最著名翻譯家伊本·科拉(TabitibnQorra，836—901)翻譯了歐幾里得、阿波羅尼奧斯、阿基米德、托勒玫、狄奧多修斯等人的著作；到10世紀丟番圖、海倫等人著作也被譯成阿拉伯文。4.2阿拉伯數學“阿拉伯數學”并非單指阿4.2.1阿拉伯的代數(一)花拉子米(代數學)

阿拉伯數學的突出成就首先表現在代數學方面．花拉子米(MohammedibnMūsā-Khowarizmi，約783--850)是中世紀對歐洲數學影響最大的阿拉伯數學家，他的《還原與對消計算概要》(約820年前后)一書在12世紀被譯成拉丁文，在歐洲產生巨大影響．阿拉伯語“al-jabr”，意為還原移項；“wa’l-muqabala”即對消之意．傳入歐洲后，到14世紀“al-jabr”演變為拉丁語“algebra”，也就成了今天的英文“algebra”(代數)，因此花拉子米的上述著作通常就稱為《代數學》．書中用代數方式處理了線性方程組與二次方程，第一次給出了一元二次方程的一般代數解法及幾何證明，同時又引進了移項、同類項合并等代數運算等等，這一切為作為“解方程的科學”的代數學開拓了道路．4.2.1阿拉伯的代數(一)花拉子米(代數學)

《代數學》約1140年被英國人羅伯特(RobertofChester)譯成拉丁文，作為標準的數學課本在歐洲使用了數百年，引導了16世紀意大利代數方程求解方面的突破.《代數學》分六章敘述6種類型的一、二次方程求解問題．▲第1章討論“平方等于根”的方程，即型方程；▲第2章討論“平方等于數”的方程，即型方程；▲第3章討論“根等于數”的方程，即一次方程；▲第4、5、6章是關于三項二次方程求解問題，分別討論三種類型的二次方程：

都給出了相應的求根公式．《代數學》約1140年被英國人羅伯特(Robert花拉子米還指出，任何二次方程都可以通過“還原”與“對消”(即移項與合并同類項)的步驟化成他所討論的六種類型方程．由此可見，《代數學》關于方程的討論已超越傳統的算術方式，具有明顯的代數特征。

花拉子米的另一本書《印度計算法》(Algoritmidenumeroindorum)也是數學史上十分有價值的數學著作，其中系統介紹了印度數碼和十進制記數法，以及相應的計算方法．該書書名全譯應為“花拉子米的印度計算法”，其中Algoritmi是花拉子米的拉丁譯名，現代術語“算法”(Algorithm)即源于此．正是花拉子米的這本書使它們在阿拉伯世界流行起來，更值得稱道的是，它后來被譯成拉丁文在歐洲傳播，所以歐洲一直稱這種數碼為阿拉伯數碼．花拉子米還指出，任何二次方程都可以通過“還原（三）奧馬·海亞姆與三次方程波斯人奧馬·海亞姆(OmarKhayyam，1048?—1131)是11世紀最著名且最富成就的數學家、天文學家和詩人。他在代數學方面的成就集中反映于他的《還原與對消問題的論證》(簡稱《代數學》)一書中，其中有開平方、開立方算法，但該書對代數學發展最杰出的貢獻是用圓錐曲線解三次方程．奧馬·海亞姆首先將不高于三次的代數方程分為25類(系數為正數)，找到14類三次方程，對每類三次方程給出相應一種幾何解法。例如解，首先將其化為(這里，按照希臘人的數學傳統，是線段，正方形，為長方體)。（三）奧馬·海亞姆與三次方程波斯人奧馬·海亞方程的解就是拋物線與半圓交點橫坐標x．他首先畫出正焦弦為c的拋物線，再畫出直徑為d的半圓過它們的交點作垂線PS，則QS長度就是方程的解．這一創造，使代數與幾何的聯系更加密切．方程4.2.2阿拉伯的三角學與幾何學由于數理天文學的需要，阿拉伯人繼承并推進了希臘的三角術，其學術主要來源于印度的《蘇利耶歷數全書》等天文歷表，以及希臘托勒玫的《大匯編》、梅尼勞斯的《球面論》(Sphaerica)等古典著作．對希臘三角學加以系統化的工作是由9世紀天文學家阿爾·巴塔尼(al-Battani，858?--929)作出的，而且他也是中世紀對歐洲影響最大的天文學家．其《天文論著》(又名《星的科學》)被普拉托譯成拉丁文后，在歐洲廣為流傳，哥白尼、第谷、開普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果．4.2.2阿拉伯的三角學與幾何學由于數理天文在該書中阿爾·巴塔尼創立了系統的三角學術語，如正弦、余弦、正切、余切．他稱正弦為jiva，拉丁語譯作sinus，后來演變為英語sine；稱正切為umbraversa，意即反陰影；余切為umbrarecta，意即直陰影．后來演變拉丁語分別為tangent和cotangent，首見于丹麥數學家芬克(1561—1656)的《圓的幾何》(1583)一書中．而正割、余割是阿拉伯另一天文學家艾布·瓦法(Abu'l-Wafa，940—997?)最先引入的．在該書中阿爾·巴塔尼創立了系統的三角學術語，

艾布·瓦法和比魯尼等人進一步豐富了三角學公式．艾布·瓦法曾在巴格達天文臺工作，其重要的天文學著作《天文學大全》繼承并發展了托勒玫的《大匯編》。其中除一些精細的三角函數表外，還證明了與兩角和、差、倍角和半角的正弦公式等價的關于弦的一些定理，證明了平面和球面三角形的正弦定理．比魯尼曾經得到馬蒙(Ma'mun)哈里發的支持，在烏爾根奇建造天文臺并從事天文觀測，是一位有146多部著作的多產學者，其《馬蘇德規律》一書，在三角學方面有一些創造性的工作．他給出一種測量地球半徑的方法。

比魯尼曾經得到馬蒙(Ma'mun)哈里發的比魯尼還證明了正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式，后來阿爾·卡西利用這些公式計算了sinl’的值．如果說希臘以來，三角術僅是天文學的附屬的話，那么這種情況在納西爾·丁那里發生了一些改變．他的天文學著作《伊兒汗天文表》(1271)是歷法史上的重要著作，其中測算出歲差51〞／每年，其《天文寶庫》則對托勒玫的宇宙體系加以評注，并提出新的宇宙模型。他的《論完全四邊形》是一部脫離天文學的系統的三角學專著．該書系統闡述了平面三角學，明確給出正弦定