第四講幾種數學觀下的數學教學第四講幾種數學觀下的數學教學

選擇什么教學方式是由師生(主要是教師)所信奉的數學觀支配的。所以對“數學是什么”、“數學學習是什么”、“數學是如何習得的”、“數學學習學什么”、“數學教學教什么”的不同認識，支配教師采用不同的教學方式，學生采用不同的學習方法。

如果認為“數學是一堆絕對真理的總集”，“學生的頭腦是貯存知識的倉庫”，“數學學習就是往學生的頭腦里不斷地增加定理的數日，是反復刺激的鏡面反映，是學生對老師授予的知識的被動接受”，“學習數學主要在于背誦”，教師只注重學生得到數學知識的數量，只想把大量的數學結論盡快高密度地傳授給學生，就會實施猛增亂補的教學法。

1猛增亂補的教學法1猛增亂補的教學法一是盡量縮短學生思考理解數學知識的時間，不考慮學生能否接受，不研究學生認知結構的合理性與組織性，不調動學生的學習主動性，只是自己單邊的教學活動，使學生處于被動地接受狀態。

如極限概念的教學猛增亂補的教學法的表現一是盡量縮短學生思考理解數學知識的時間，不考慮學

二是講課中有意忽略知識產生的過程，講概念不去建立概念與概念之間的聯系，只講概念的表達式，對概念的形成過程，定理的發現過程，證明與解題的探索過程一帶而過(甚至省略)，不講解(或不注重)知識與知識之間的邏輯關系，不引導學生進行類比和歸納，只把結論直接給學生。

猛增亂補的教學法的表現猛增亂補的教學法的表現

三是把教學的重點放在解題上，但也是只講算法不講算理，不引導學生通過歸納、分析、綜合去理解解題思路，抓住解題實質，一味生搬算法，硬套公式。

猛增亂補的教學法的表現猛增亂補的教學法的表現

四是給學生灌輸“數學解題的方法就是死記硬背公式、定理和法則，然后直接導用”、“學習的目的就是記憶‘標準答案’”。

猛增亂補的教學法的表現猛增亂補的教學法的表現

五是通過重復刺激和反復訓練的方法以達到熟練掌握的程度，毫不顧忌腦力承受能力的極限，加班加點把學生困在過度訓練的題海戰中。

猛增亂補的教學法的表現猛增亂補的教學法的表現1缺乏理解、僵化、無序的一大堆零散的數學結論。

2死記硬背的學習方法，思路單一狹窄的思維方法，缺乏可利用性、可辨別性和穩定性的數學認知結構。這種認知結構不具有抽象、概括、聯想、遷移、邏輯推理和證明的功能，一些須逆向思維與發散思維的問題則無能力解決。

3缺乏數學語言的表達能力，缺乏學習的主動性、獨立性和批判性。猛增亂補的教學法的結果1缺乏理解、僵化、無序的一大堆零散的數學結論。

4熟記了公式定理卻不會推導證明，學了的結論到用時卻調不出來。

5超過腦力承受極限的題海戰，使學生過度疲勞，缺乏充足的睡眠和休息，造成思維混亂，反應遲鈍，導致本已掌握的知識與方法也錯誤應用。猛增亂補的教學法的結果猛增亂補的教學法的結果

如果認為“數學是一種處理數量問題的工具，是有益于生計的問題解決的一招一式的技術”，“數學學習是各種算法和技術的機械記憶和應用”，則教師就會采用認套題型的教學。2認套題型的教學法2認套題型的教學法

1只注重實際應用操作程序的教學，注重技法訓練和方法培訓，削弱基本概念的教學，不進行抽象概括能力的培養，不注重推理論證訓練。

2只注重可以直接應用于日常生活的數學，削弱抽象數學的教學。認套題型教學觀的表現1只注重實際應用操作程序的教學，注重技法訓練和

3不把精力放在完善學生的認知結構上，不講解題的思路和方法是怎樣得來的，而是把更多的注意力放在題型上，有的重點高中重點班級甚至不講教材，完全搞題型教學，搞全面網盡的題型訓練，講課就是講題型和難題，一節課講十幾個題型，筆記十幾頁，要求學生記下來。認套題型教學觀的表現3不把精力放在完善學生的認知結構上，不講解題的

4新課剛授完(或根本不講基礎知識)就要求學生解難題，由于學生缺基礎而無法理解，難題解不了，只有用強行記憶來彌補，學生被迫進行機械學習。

5大量搜集題型和難題，要求學生加班加點地做類型題和難題，用題海戰達到學生對各種題型的熟悉套用。認套題型教學觀的表現4新課剛授完(或根本不講基礎知識)就要求學生

1具有表面性、形式化特點的零散的數學方法。

2“識別類型，死套方法，強化練習”的學習方式，對解題步驟的機械記憶和程式化步驟的模仿的解題方法。

認套題型的教學觀的結果1具有表面性、形式化特點的零散的數學方法。認套

3僵化機械的數學認知結構。這種認知結構，缺乏理性思維、抽象概括、推理論證、信息解讀等功能。思維方式機械、解題能力差。只能解做過的類型題和難題，對沒做過、沒見過，或稍作一點改變的題就無法解或錯解。認套題型的教學觀的結果3僵化機械的數學認知結構。這種認知結構，缺乏

4由于教師包辦代替了學生的數學學習思維過程，使學生長期滯留在經驗型的直觀感悟上，抽象邏輯思維能力差，超越不了直觀經驗和具體計算，不能上升到理性認識。

5對教師極大的依賴性，無創新意識與思維探究能力。認套題型的教學觀的結果4由于教師包辦代替了學生的數學學習思維過程，如果認為“數學是通過對概念的分析、生成和組織，對命題的嚴密邏輯推理而形成的互相聯系的系統化的有機整體。反映的是概念命題的客觀邏輯結構”，“數學是用數學經驗規則組成的體系，其組織的活力依賴于各部分之間的聯系，結構決定體系的功能”，“數學認知結構的形成過程是學生對數學知識的邏輯結構進行加工的心理活動過程”，“構建概念體系和命題體系是促進學生建立完善認知結構的有效途徑”，“數學學習實質上是學習者的生理——心理系統對數學知識系統的(部分)納入”。3結構教學法如果認為“數學是通過對概念的分析、生成和組織，對“數學學習是注重知識內在關聯的系統化的學習，在知識的實質性關聯中加深理解，把握知識的來龍去脈，只有這樣才能形成良好的數學認知結構”，“知識結構不僅是知識的固著點，也是從不同側面認識事物的一條途徑，學生頭腦積累的知識只有做到條件化、成熟化、結構化，才會有效地同化，鞏固和遷移，才能成功地解決問題”，“學生從已知的整體知識中掌握分化的部分，比從已知的分化的部分中掌握整體的難度要低一些”，則教師就會施行結構教學法。3結構教學法“數學學習是注重知識內在關聯的系統化的學習，在知識1注重對概念進行分析、抽象、概括的生成組成過程的教學，注重命題的邏輯推理證明，對學生進行抽象、概括能力和邏輯思維能力的訓練。

2注重知識點之間的實質性聯系，講清來龍去脈，知識結構的建構方式，過程和結構圖式；從知識結構的總體上把握概念、定理、公式、方法和技巧。結構教學法的表現1注重對概念進行分析、抽象、概括的生成組成過程3注重核心概念的概念體系與命題體系的構建過程，并揭示蘊涵于核心概念的概念體系、命題體系深層的數學思想方法。

4教授如何進行數學知識的理解，如何進行意義學習，如何構建良好的認知結構方法。

5解題教學的重點放在如何分析題意尋找解題的思想、思路和方法上，放在數學問題的類比、概括與歸納上，放在具體問題具體分析的解題方法的引導上。

6注重演繹推理能力的訓練。結構教學法的表現3注重核心概念的概念體系與命題體系的構建過程，

1有活力的條件化、結構化的數學知識、概念體系和命題體系。

2蘊涵于表層知識之中的數學思想方法。

3具有起固定作用的核心數學觀念的數學認知結構。這種認知結構具有較高的信息解讀能力，抽象、概括、類比、歸納、邏輯推理、論證等理性思維能力和思維探究能力。結構教學法的結果1有活力的條件化、結構化的數學知識、概念體系和4意義學習的學習方法，從總體上記憶、理解和把握數學知識的邏輯結構的方法、具體問題具體分析的解題方法。

5主干知識突出，既包括理論知識，又包括經驗知識和數學前提性知識，脈絡簡明的“認知地圖”。

6較強的數學語言表達與轉換的能力，不孤立地看待問題，努力尋求綜合地看待事物的習慣。7．學習的有用功率高，不打疲勞戰，減輕了腦力的過重負擔。結構教學法的結果4意義學習的學習方法，從總體上記憶、理解和把握如果認為“數學知識是無法傳遞的，傳遞的只是信息”，“信息必須被置于洞察、解釋并與頭腦認知結構中現有知識發生聯系的位置(即生長點)，通過新舊知識經驗的互動，才能被理解而成為自己的知識”，“數學學習是學生自覺主動在心理上建造一個認知對象的‘建筑物’，其建筑材料，除了有關新知識的少量信息來源于外部，多數信息來源于心理內部——已有的知識、經驗、方法和觀念。建造的過程除最初少量外部活動外，主要的是內部的心理活動，是一系列思維活動的內部操作，是內部心理上的思維創造過程”，則教師就會采用建構主義的教學法。4建構主義的教學法如果認為“數學知識是無法傳遞的，傳遞的只是信息”1把重心放在如何調動學生主動性、如何教學生學會數學學習的方法上。培養學生的數學理解能力，自學能力，反思能力，思維自我調節與監控能力。

2注重對學生數學認知結構現有狀況和進行當前數學學習的認知心理活動進行分析，對新舊知識的結合點進行研究。建構主義教學法的表現1把重心放在如何調動學生主動性、如何教學生學會數

3不僅要以學生原有認知結構為出發點，而且以擴展和完善認知結構為歸宿。

4既教學生如何進行數學認知，如何建構良好的數學認知結構，又教學生如何對自己的認知進行認知(即元認知)，還教不同學段的不同學習方法如何進行轉化。建構主義教學法的表現3不僅要以學生原有認知結構為出發點，而且以擴展5教給學生“積極前進、循環上升”的學習觀，在前進中鞏固知識，用循環來鞏固知識，加深認識，用循環來系統化知識，提高質量，解決問題。剖析、批判、摒棄“前不清，后不接”，在每個知識小點上反復講、重復練，層層夯實。

6引導學生進行反思性學習，優化認識結構。建構主義教學法的表現5教給學生“積極前進、循環上升”的學習觀，在前進

1符合數學學習特殊的認識規律的學習方法。

2良好的數學認知結構，深刻的理解能力，較強的數學自學能力，反思能力，解題能力，思維探究能力。

3融會貫通數學知識體系與扎實的數學雙基。

4數學學習的主動性、獨立性、數學思維的深刻性，批判性，靈活性。

5高效率的學習效果，超前學習的歡樂。概言之，學生得到的是一個睿智的頭腦和一把開啟數學寶藏的金鑰匙。建構主義教學法的結果1符合數學學習特殊的認識規律的學習方法。建構主義教如果認為：“數學是一種探索精神，是一個動態的過程，是一個思維的試驗過程，是數學真理的抽象概括過程”，“數學是通過對簡單事實的把握，建立思維體系，通過推理得出結果”，“數學是創建并運用公理化方法，通過嚴密的邏輯推理論證，把零散的數學經驗規則匯集、發展，構建成系統化的邏輯體系”，“數學是通過建構模式來刻畫自然規律和社會規律的，是一種模式的建構活動，而且模式本身就是研究的對象，是理想化的量化模式的建構與研究”。5數學思維教學法如果認為：“數學是一種探索精神，是一個動態的過程“數學對人類的貢獻不僅僅在于產生了一些有用的美妙的定理，更重要的是它孕育了這種數學的理性精神”，“數學教育是孕育成熟理性的最佳載體，數學教學應該是數學理性精神的再根植”，“數學學習是一種理性的認識過程，起決定性作用的是理性因素”，“數學公理化和形式化有助于理性思維的培養”，“學習數學就是學習公理化、形式化、數學化，培養數學意識”，則教師就會實施跨學科的數學思維教學法。5數學思維教學法“數學對人類的貢獻不僅僅在于產生了一些有用的美妙1注重對學生進行創新意識與創新能力的培養，遵循教學、學習、研究(發現)同步協調原則，研究數學思維的規律。2課堂教學中，既關注數學本身的邏輯體系，又適當地從實踐中抽象出數學問題，把實際問題數學化，進行邏輯建構，教會學生用數學的方式去思考去探索，使學生經歷‘再建模’的過程，培養學生的概括、歸納能力。數學思維教學法的表現1注重對學生進行創新意識與創新能力的培養，遵循3講授數學思維方法。4在數學知識教學中結合教師本人的體驗用自己的思維方式合乎邏輯地層示從已有知識至待學知識的發展過程。讓學生在學習中既掌握數學知識，形成數學技能，又學習和體驗數學研究方法。數學思維教學法的表現3講授數學思維方法。數學思維教學法的表現

5課堂教學中，充分暴露數學思維過程，努力挖掘蘊涵于表層知識之中的理性精神，促進學生對深層知識的領悟，分清主干知識與枝節知識的源與流的關系、縱向與橫向的關系，主動構建連通性高的認知結構。數學思維教學法的表現數學思維教學法的表現6介紹創建思維體系進行創造的方法和思維體系產生的創新成果，培養創新意識，培養學生對數學學習的興趣，啟迪學生的思維，引導學生形成發展數學研究探索能力、發現和批判能力、評價能力，使學生學會靈活運用多種思維方法去創新。7解題教學中，引進開放題教學，注重變式教學和解題多樣化的教學。數學思維教學法的表現6介紹創建思維體系進行創造的方法和思維體系產生8營造民主、寬松、和諧、平等、自由的課堂氣氛，設計具有難度、具有挑戰性、質疑精神的活動，運用民主討論法，給學生提供提問、表達、思考、傾聽、合作、交流和運用創造性問題解決智慧技能、解決非常規性問題的機會。9指導學生重視休息和保證睡眠充足，消除腦力疲勞，為潛意識活動的開展創造條件，并注意覺察并抓住自己的靈感。數學思維教學法的表現8營造民主、寬松、和諧、平等、自由的課堂氣氛，

1條件化、結構化的有活力的數學知識系統，有層次、有條理、不割裂的知識網絡結構。2認知策略與解題策略，數學研究方法，意義學習與發現學習的方法。3元認知的體驗、意識與能力。4優化的認知結構與優化認知結構的能力。數學思維教學法的結果1條件化、結構化的有活力的數學知識系統，有層次5善于學習數學的自學能力，敏銳的觀察力，深刻的理解力，透徹的分析能力，高度的概括能力，嚴密的邏輯推理能力。6對數學的濃厚興趣，探索創新的意識，具體問題具體分析的解題方法，豐富的有創造性的解題經驗，獨立解決非常規性問題的智慧與技能。數學思維教學法的結果5善于學習數學的自學能力，敏銳的觀察力，深刻的7理性精神，創造性思維策略，問題轉化策略與建模能力。8善于用腦的能力。9高效率的數學學習效果，登上天梯再攀高峰的雄心壯志，抓住靈感時的驚喜。概言之，學生從這種教學中得到的是點石成金的手指頭。數學思維教學法的結果7理性精神，創造性思維策略，問題轉化策略與建模

第一、二種數學觀的形成，一方面是沒有對數學學習特殊的認知規律進行研究，從一般教育學的結論直接演繹得來，另一方面是從行為主義、實用主義和中國傳統文化中獲得更多的