遼東學院教案紙第6.5.1第6.5.1頁§5子空間的運算教學目的通過2學時的講授，使學生理解子空間交、和的定義與性質，基本掌握子空間直和的刻畫定理及初步應用.教學內容為了進一步把握向量空間的結構，本節學習向量空間的子空間的交與和兩種運算，以及子空間和的重要特況：直和.5.1交與和命題6.5.1設W1,w2都是數域F上向量空間V的子空間，則w1nW2也是V的子空間，叫做w1與w2的交.證 因為。￡w1nW2,所以 w1nW2W0.設a, BewInw2,則a, Bewi, i=1,2.因為w,是子空間，所以a+BEw.；kaEw.,Vkef；i=1,2.于是a+BEw1nw2,kaew1nw2,vkef.因此，w1nw2是V的子空間.口由集合的交的定義可得出，子空間的交適合下列運算規則：1）交換律w1nw2=w2nw1；2）結合律（w1nw2）nw3=w1n（w2nw3）.由結合律，我們得到多個子空間的交：wIwIAIw=rw,

1 2 t ii=1且由歸納法易見，1tw也是V的子空間.ii=1注類似命題6.5.1的證明可得，設I是任一指標集，若ViEI,wi是V的子空間，則Iwi=i^ewi,VieJ也是V的子空間.iwI向量空間V的兩個子空間w1與w2的并集一般不是V的子空間.例如，在V3中，取％,w2是通過原點的兩個不同的平面，它們都是V3的子空間.w1uw2對加法一般不封閉，因此w1uw2不是V3的子空間.若我們想構造一個包含w1uw2的子空間，則這個子空間應當包含w1中的任一向量Q1與w2中的任一向量a2的和a1+a2.由此受到啟發.我們來證明命題6.5.2設卬1,w2是數域F上向量空間V的兩個子空間，則集合{a+a|aeW,aew} （1）是V的一個子空間，叫做w1和w2的和，記作w1+w2.1122證把集合⑴記作w.顯然0Ew（因為e=e+e）.在w中任取兩個向量a,b,可設a=a1+a2, P=\+P2,其中a『B1ew15a2,B2ew2,則Ua+p=（a+p）+（a+p）.由于w、，w2是V的子空間，所以a1+B1Ew.a2+B2Ew2,從而a+Bew.遼東學院教案紙第6.5.2第6.5.2頁類似可證任取k￡F,a=a1+a2gW,%gW1,%gW2,則kaeW.因此W是丫的一個子空間. 口對于W1中任一向量a1，有a1=a1+e.因此w1cW1+W2.同理，W2cW1+W2.從而W1uW2cW1+W2.所以W1+W2是包含W1uW2的子空間.設U是V的子空間，且W1uW2cU,則對于任意a.￡Wi,i=1,2,有a.￡U.從而a1+a2￡U.由此看出W1+W2cU.這表明W.t+W2是V中含W1uw,2的最小的子空間.由命題6.5.2知道W1+W2={a+aaeV,aeV}. (2)從(2)式容易看出，子空間的和適合下列運算規則： 1211221)交換律W1+W2=W2+W12)結合律(W1+W2)+W3=W1+(W2+W3).由結合律，我們可以定義t(t三2)個子空間的和：W1+W2+A+Wt=方Wi,i=1用歸納法易證，^W仍是V的子空間，并且ii=1TOC\o"1-5"\h\zW1+W2+AWt={a+a+A+a|a.eW.,i=1,A,t}. (3)命題6.5.3設a1,A%與01,A,ps是數域F上向量空間V的兩個向量組，,則L(a1,A,a)+L(01,A,0t)=LG1,A,a,01,A0t). (4)證從(2)式得出與 ‘ ； ' ‘LQ,AaJ+L(01,A,0t)=vk1a1+A+kraJ+G101+A+1r0t)k.,l.eF,=LG1,A0r,01,A0t). 口在V3中，設W1是過原點O的一個平面，W2是過O的另一個平面，它們相交于一條直線L.則W1,W2，L都是V3的子空間，并且W1nW2=L.由于V3中每個向量a可以表示成W1中一個向量與W2中一個向量的和(注意表法不唯一)，所以W1+W2=V3.由于dimW1=dimW2=2,dimL=1,dimV3=3,因此在本例中，有dimW+dimW=dimW+W)+dimWIW).這個公式對于任一向量空間的任意兩個有限維■子空間都成立，向有定理6.5.1(維數公式)若W1,W2是數域F上向量空間V的兩個有限維子空間，則W1nW2與W1+W2也都是有限維的，并且dimW+dimW=dimW+W)+dimWIW). (5)證因為w1是有限維的，而w1nW2是w1的子空間，所以w1n寸也是有限維的".設w1,w2的維數分別是n1, n2, W1n W2的維數是m.取W1n W2的一個基a1,A ,am ,并將它分別擴充成W1的一個基a1,A,a,01,A,0_,擴充成W2的一個基a1,A,a,y1,A,y_.據(4)式，我們有 1m1 勺一m 1m1 n2_mW,+W=L(a,A,a,0,A,0 )+L(a,A,a,y,A,y)遼東學院教案紙第6.5.3第6.5.3頁二L(a1,A,a,P1,A,P_,y1,A,y_) (6)于是W1+W2是有限維的.若能證明a1,A,am,P；A,P…,，Ayn_m線性無關，則它就是W1+W2的一個基，從而有dim(W1+W2)=m+(n[-m)+(n2—m)=n1+n2—m=dimW.1+dimW2—dim(W.1nw2),即維數公式成立.于是，設kF1+A+km0m+P1P1+A+PnrmPn1_m+印1+A+%2.Nn2.m=6，則a=k1。]+A+ka+p]P]+A+pPTOC\o"1-5"\h\z=_qy_A_qy? (7) 111 n2_mn2_m由(7)的第一個等式知道aeW1，由第二個等式知道aeW2.于是a￡W1nw2.因此a可由a1,A,a線性表出，令a=la+A+1a. (8)由⑺的第二式以及(8)式得 mmla+A+1a+qy+A+qy=0.因為a1,A,am,y1,Ay…線性無關：所以?? n2一mn2一ml=A=l=q=A=q=0.從而a=e.再由(7)的第一式便得到 m1Lka+A+ka+pP+A+pP=0.因為0,A,am,BQ,P二線性無關:所以1 "「""「"kI=A=k=p1=A=p. =0,這證明了0,A,a,PQ,P,y1,Amy 線性無關:m口推論615.1設W：W2是數域F上向量空間丫的兩個有限維子空間，則dim(W1+W2)=dimW1+dimW2=0W1nW2=0,這里0表示V的零子空間.下面舉一個例子說明在Fn中如何具體求兩個子空間的和與交的基及維數.例1設V=F4,W1=L(a1,a2,a3),W2=L(01,B2),其中%=(1,2,1,0),a2=(—1,1,1,1),a3=(0,3,2,1),81=(2,—1,0,1),B2=(1,—1,3,7).分別求W1與W2的和與交的基及維數.解因為W1+W2=L(a1,a2,a3)+L(81,82)=L(a1,a2,a3,81,82),所以向量組a1,a2,a3,81,82的一個極大線性無關組所含向量的個數是W1+W2的維數.按照第三章的方法，把a1,a2,a3,81,82寫成列向量，構成矩陣A，對A作一系列初等行變換，化成階梯形矩陣：'1_102 1、'1010_1、21 3_1_101104A=.(9)1120 300013、0111 7,、00000,由此得出a,,a.,81是W+W.的一個基，故dim(W,+WJ=3.同時也知道，8.可經aja.,遼東學院教案紙課程：高等代數 第6.5.4頁B1線性表示，其系數應當是線性方程組%iai+%2%+%3B1=B2的解，且從上述A及其化簡得到的階梯形矩陣的第1,2,4,5列可以看出，此方程組的解是(-1,4,3).因而B廣-%+4%+381,故3B1-BfW1nW2.又由維數公式易得dim(W1nW2)=2+2—3=1.所以a1-4a2=(5,—2,—3,—4)是w1nw2的一個基.5.2直和考察推論6.5.1成立的情形，下面引入定義1設W1,W2是數域F上向量空間V的子空間.若和W1+W2中每個向量a都能唯一地表示為a=a1+a2,afW1,a2eW2, (10)則稱W1+W2為直和，記作W1十W2.定理6.5.2設W1,W2是數域F上向量空間V的子空間，則下列陳述彼此等價：1)和W1+W2是直和；2)和W1+W2中零向量的表法唯一，即若a1+a2=。，a1eW1,a2eW2,則a1=a2=。；3)W1nW2=0.證1)n2)顯然.n3)設va￡W1nW2,則零向量可表為0=a+(—a),a￡W1,—a￡W2.故由2)得a=0.因此w1nW2=0.n1)任取a￡W1+W2,假設a有兩種表法：a=a1+a2,a1eW1,a產W2a=B1+B2,B1￡w1,B2￡W2則a1—B1=B2-afW1nw2.因為W1nW2=0,所以a1=B1,a2=B2.因此，和w1+W2是直和. 口定理6.5.3設W1,W2是數域F上向量空間V的兩個有限維子空間，則下列陳述彼此等價：1)和W1+W2是直和；2)dim(W1+W2)=dimW1+dimW2；3)W1的一個基與W2的一個基合并起來是W1+W2的一個基.證由定理6.5.2和推論6.5.1立即得到1)02).3)n2)是顯然的.現在證2)n3)：設a1,A,as是W1的一個基，P1,A,pr是W2的一個基，則W1+W2=L(a1,A,a)+L(p1,A,p)=L(《A,a,p1,A,p) 1 '因為dim(W1+W2)=dimW1+dimW2=s+rr，所以向量組a1,A,ar,p1,A,p的秩等于s+r，從而是線性無關的，因此它是W1+W2的一個基. 口1slr推論6.5.2設V是數域F上的有限維向量空間，U是V的一個子空間，則存在V的一個子空間W,使得遼東學院教案紙第6.5.5第6.5.5頁丫=U十W.證因為丫是有限維的，所以子空間U是有限維的.若U=0,則W=V.若UW0,取U的一個基a1,A,a,把它擴充成V的一個基1s ai，A，%，％人，a屋令W=L(a,A,a)，貝Us+1 nU+W=L(a,A,a)+L(a,A,a)=L(a,A,a,a,A,a)=V由于u的一個基與w的一個基合并起來是nU+w的一個基：+1因此和U+W是直和.故V=U十W. □定義2設V是數域F上的向量空間，U是V的一個子空間，若存在V的一個子空間W,使得V=U十W，則稱W是U在V里的補空間.這時U也稱為W在V里的補空間.從推論6.5.2知道，若V是有限維的，則它的每一個子空間都有補空間.注意，一個子空間的補空間未必唯一.例如，在V3中，設W是過原點0的一個平面，則任意一條經過點0但不在W上的直線都是W的補空間.顯然，子空間U在V里的補空間的概念與子集U在V里的補集的概念是不同的概念，請不要混淆.例2設V=Mn(F)，其中F是數域.用W1表示F上所有n階對稱矩陣組成的子空間，用W2表示所有n階反對稱矩陣組成的子空間，證明V=W]十W2.證先證V=W1+W2.W1+W2cV是顯然的.注意到vA￡V=Mn(F)，有A+A'A-Af易驗證 gW, gW.因此A￡W1+W.故VcW1+W..因此V=W+W.2 1 2 2 12 12 12又任取B￡W1nw2,則B/=B，并且B'=—B.于是B=—B，從而2B=0.故B=0.于是w1nW2=0.所以V=WW2.□子空間直和的概念可以推廣到s(s三2)個子空間的情形.定義3設W』W2,…，Ws都是數域F上向量空間V的子空間，若和W1+W2+…+Ws中每個向量a可唯一地表示成 、 Sa=a+a+A+a,agWG=1,2,A,s),則稱這個和為直和，記作ww2十…十ws或^^w,.i=1定理6.5.4設W1,W2,…，Ws是數域F上向量空間V的子空間，則下列命題彼此等價:1)和WjW2，…，Ws是直和；2)和fWi中零向量的表法唯一；i=13)WinfW.=0,i=1,2，…,s.j豐i證1)n2)顯然.

遼東學院教案紙第6.5.6第6.5.6頁2)n3) 任取a￡WjnEWj,則一a￡W,且a￡Ej豐i j豐i是a=Ea.，其中a￡W..因此零向量可以表成j豐i0=(-a)+a=(-a)+Eaj

j豐i故由2)得一a=0,所以a=0.于是winEw.=0.j豐i3)nl)任取a￡］Ew，假設a有兩種表法：ii