1、2023年高考數學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點，直線（是坐標原點）交的右支于點，若，且，則的離心率是（ ）ABCD2已知雙曲線C：（）的左、右焦點分別為，過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點.若，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）ABCD3上世紀末河南出土

2、的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術及先進的數學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數據（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續減小，其正切值及對應的年代如下表：黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是( )A公

3、元前2000年到公元元年B公元前4000年到公元前2000年C公元前6000年到公元前4000年D早于公元前6000年4直線x-3y+3=0經過橢圓x2a2+y2bA3-1B3-12C5已知（i為虛數單位，），則ab等于（ ）A2B-2CD6已知集合，若AB，則實數的取值范圍是（ ）ABCD7體育教師指導4個學生訓練轉身動作，預備時，4個學生全部面朝正南方向站成一排.訓練時，每次都讓3個學生“向后轉”，若4個學生全部轉到面朝正北方向，則至少需要“向后轉”的次數是（ ）A3B4C5D68德國數學家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關于的級數展開式,該公式于明朝初年傳入我國

4、.在我國科技水平業已落后的情況下,我國數學家天文學家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數學研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內的三個公式,同時求得了展開三角函數和反三角函數的6個新級數公式,著有割圓密率捷法一書,為我國用級數計算開創了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關于的級數展開式”計算的近似值(其中P表示的近似值),若輸入,則輸出的結果是( )ABCD9已知角的終邊經過點，則的值是A1或B或C1或D或10函數在上的最大值和最小值分別為（ ）A，-2B，-9C-2，-9D2，-211如圖，在中，是上一點，若，則實數的值為（ ）ABCD1

5、2秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州（現四川省安岳縣）人，他在所著的數書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入的值為2，則輸出的值為ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知向量=（1，2），=（-3，1），則=_14某中學高一年級有學生1200人，高二年級有學生900人，高三年級有學生1500人，現按年級用分層抽樣的方法從這三個年級的學生中抽取一個容量為720的樣本進行某項研究，則應從高三年級學生中抽取_人15一個袋中裝著標有數字1，2，3，4，5的小球各2個，從中任意摸取3個小球，每個

6、小球被取出的可能性相等，則取出的3個小球中數字最大的為4的概率是_16設等比數列的前項和為，若，則_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在正四棱錐中，點、分別在線段、上，（1）若，求證：；（2）若二面角的大小為，求線段的長18（12分）如圖，在矩形中，點分別是線段的中點，分別將沿折起，沿折起，使得重合于點，連結.（）求證：平面平面；（）求直線與平面所成角的正弦值.19（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為（為參數），圓的方程為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求和的極坐標方程；（2）過且傾斜角為的直線與交于點，與交于

7、另一點，若，求的取值范圍.20（12分）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，直線和直線的極坐標方程分別是（）和（），其中（）.（1）寫出曲線的直角坐標方程；（2）設直線和直線分別與曲線交于除極點的另外點，求的面積最小值.21（12分）隨著互聯網金融的不斷發展，很多互聯網公司推出余額增值服務產品和活期資金管理服務產品，如螞蟻金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財富通”，京東旗下“京東小金庫”.為了調查廣大市民理財產品的選擇情況，隨機抽取1200名使用理財產品的市民，按照使用理財產品的情況統計得到如下頻數分布表：分組頻數（單位：名）使用“余額寶”使用“財富通”使用“京東

8、小金庫”30使用其他理財產品50合計1200已知這1200名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財富通”的人多160名.（1）求頻數分布表中，的值；（2）已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為，“財富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財產品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人，然后從這7人中隨機選取2人，假設這2人中每個人理財的資金有10000元，這2名市民2018年理財的利息總和為，求的分布列及數學期望.注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利息，理財產品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財產品，一年可以獲得3元利息.22（10

9、分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若，求的面積的最大值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】如圖，設雙曲線的右焦點為，連接并延長交右支于，連接，設，利用雙曲線的幾何性質可以得到，結合、可求離心率.【詳解】如圖，設雙曲線的右焦點為，連接，連接并延長交右支于.因為，故四邊形為平行四邊形，故.又雙曲線為中心對稱圖形，故.設，則，故，故.因為為直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構造關于

10、的方程，本題屬于難題.2D【解析】設，利用余弦定理，結合雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】設，由雙曲線的定義可知：因此再由雙曲線的定義可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此雙曲線的漸近線方程為：.故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應用，考查了余弦定理的應用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數學運算能力.3D【解析】先理解題意，然后根據題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，即可得到正確選項【詳解】解：由題意，可設冬至日光與垂直線夾角為，春秋分日光與垂直線夾角為，則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形

11、：則，估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年故選：【點睛】本題考查利用三角函數解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉化思想，數學建模思想，以及數學運算能力，屬中檔題4A【解析】由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F，得到左焦點為再由FC=2CA，求得A3【詳解】由題意，直線x-3y+3=0經過橢圓的左焦點F，令所以c=3，即橢圓的左焦點為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1)，所以，OF=因為FC=2CA，所以FA=3又由點A在橢圓上，得3a由，可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)

12、，常見有兩種方法：求出a,c ，代入公式e=ca；只需要根據一個條件得到關于a,b,c的齊次式，轉化為a,c的齊次式，然后轉化為關于e的方程，即可得5A【解析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的條件列式求解【詳解】，得，故選：【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數相等的條件，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，是基礎題6D【解析】先化簡，再根據，且AB求解.【詳解】因為，又因為，且AB，所以.故選：D【點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.7B【解析】通過列舉法，列舉出同學的朝向，然后即可求出需要向后轉的次數.【詳解】“正面朝南”“正面朝

13、北”分別用“”“”表示，利用列舉法，可得下表，原始狀態第1次“向后轉”第2次“向后轉”第3次“向后轉”第4次“向后轉”可知需要的次數為4次.故選：B.【點睛】本題考查的是求最小推理次數，一般這類題型構造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎題.8B【解析】執行給定的程序框圖，輸入，逐次循環，找到計算的規律，即可求解.【詳解】由題意，執行給定的程序框圖，輸入，可得：第1次循環：；第2次循環：；第3次循環：；第10次循環：，此時滿足判定條件，輸出結果，故選：B.【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，得到程序框圖的計算功能是解答的關鍵，著重考查了分

14、析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.9B【解析】根據三角函數的定義求得后可得結論【詳解】由題意得點與原點間的距離當時，當時，綜上可得的值是或故選B【點睛】利用三角函數的定義求一個角的三角函數值時需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r，然后再根據三角函數的定義求解即可10B【解析】由函數解析式中含絕對值，所以去絕對值并畫出函數圖象，結合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意，作出函數的圖象如下所示；由函數圖像可知，當時，有最大值，當時，有最小值.故選：B.【點睛】本題考查了絕對值函數圖象的畫法，由函數圖象求函數的最值，屬于基礎題.11C【解

15、析】由題意，可根據向量運算法則得到（1m），從而由向量分解的唯一性得出關于t的方程，求出t的值.【詳解】由題意及圖，又，所以，（1m），又t，所以，解得m，t，故選C【點睛】本題考查平面向量基本定理，根據分解的唯一性得到所求參數的方程是解答本題的關鍵，本題屬于基礎題.12C【解析】由題意，模擬程序的運行，依次寫出每次循環得到的，的值，當時，不滿足條件，跳出循環，輸出的值【詳解】解：初始值，程序運行過程如下表所示：，跳出循環，輸出的值為其中得故選：【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖的應用，正確依次寫出每次循環得到，的值是解題的關鍵，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

16、13-6【解析】由可求，然后根據向量數量積的坐標表示可求 .【詳解】=（1，2），=（-3，1），=（-4，-1），則 =1（-4）+2（-1）=-6故答案為-6【點睛】本題主要考查了向量數量積的坐標表示，屬于基礎試題141【解析】先求得高三學生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學生占的比例為，所以應從高三年級學生中抽取的人數為.【點睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.15【解析】由題，得滿足題目要求的情況有，有一個數字4，另外兩個數字從1，2，3里面選和有兩個數字

17、4，另外一個數字從1，2，3里面選，由此即可得到本題答案.【詳解】滿足題目要求的情況可以分成2大類：有一個數字4，另外兩個數字從1，2，3里面選，一共有種情況；有兩個數字4，另外一個數字從1，2，3里面選，一共有種情況，又從中任意摸取3個小球，有種情況，所以取出的3個小球中數字最大的為4的概率.故答案為：【點睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問題，考查學生分析問題和解決問題的能力.16【解析】由題意，設等比數列的公比為，根據已知條件，列出方程組，求得的值，利用求和公式，即可求解【詳解】由題意，設等比數列的公比為，因為，即，解得，所以.【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式，及前n項和公式的

18、應用，其中解答中根據等比數列的通項公式，正確求解首項和公比是解答本題的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析；（2）【解析】試題分析：由于圖形是正四棱錐，因此設AC、BD交點為O，則以OA為x軸正方向，以OB為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標系，可用空間向量法解決問題（1）只要證明0即可證明垂直；（2）設，得M(，0，1)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量為，利用法向量夾角與二面角相等或互補可求得試題解析: (1)連結AC、BD交于點O，以OA為x軸正方向，以OB為y軸正方向，OP

19、為z軸正方向建立空間直角坐標系因為PAAB，則A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)由，得N，由，得M，所以，(1，1，0)因為0，所以MNAD(2) 解：因為M在PA上，可設，得M(，0，1)所以(，1，1)，(0，2，0)設平面MBD的法向量(x，y，z)，由，得其中一組解為x1，y0，z，所以可取(1，0，)因為平面ABD的法向量為(0，0，1)，所以cos，即，解得，從而M，N，所以MN 考點：用空間向量法證垂直、求二面角18（）詳見解析；（）.【解析】（）根據，可得平面，故而平面平面（）過作于，則可證平面，故為所求角，在中利用余弦定理計算，再計算【詳解

20、】解：（）因為，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面；（）過作于，則由平面，且平面知，所以平面，從而是直線與平面所成角.因為， 所以，從而.【點睛】本題考查了面面垂直的判定，考查直線與平面所成角的計算，屬于中檔題19（1）；（2）【解析】（1）直接利用轉換公式，把參數方程，直角坐標方程與極坐標方程進行轉化；（2）利用極坐標方程將轉化為三角函數求解即可.【詳解】（1）因為，所以的普通方程為，又，的極坐標方程為，的方程即為，對應極坐標方程為.（2）由己知設，則，所以，又，當，即時，取得最小值；當，即時，取得最大值.所以，的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了直角坐標方程，參數方程與極坐標方程的互化，三角函數的值域求解等知識，考查了學生的運算求解能力.20（1）；（2）16.