1、第八章假設(shè)檢驗在假設(shè)檢驗問題中，若檢驗結(jié)果是接受原假設(shè)，則檢驗可能犯哪一類錯誤？若檢驗結(jié)果是拒絕原假設(shè)，則又可能犯哪一類錯誤？解 根據(jù)定義，在假設(shè)檢驗問題中，若檢驗結(jié)果是接受原假設(shè)，則檢驗可能犯第二類錯誤；若檢驗結(jié)果是拒絕原假設(shè)，則又可能犯第一類錯誤.2. 設(shè)來自總體X N (,1) 的樣本 ( X1 , X 2 , X16 ) 的觀測值為 (x1, x2 , x16 ) ，若檢驗問題H0： =2 ，H1： 2的拒絕域為 W x2.5 ，求檢驗犯第一類錯誤的概率 .解 因樣本 (X1,X2, ,X16) 來自于總體 X N(,1) ，故在 H0 ：= 2 成立的條件下，樣本均值 X N( ,1

2、) ，則所求為16P (拒絕 H0| H0為真 )P X 2.5 1P X2.5 1( 2.52)1/41(2)10.97720.0228習(xí)題 8.21已知某磚廠生產(chǎn)的磚的抗斷強度服從正態(tài)分布N（ 32.5 ， 1.12 ），現(xiàn)隨機抽取6 塊，測得抗斷強度（單位：公斤厘米2）如下：32.56 ， 29.66， 31.64 ， 30.00， 31.87 ， 31.03試問這批磚的平均抗斷強度是否為32.50（顯著性水平= 0.10）？解 檢驗的假設(shè)為H 0 :32.50,H 1 :32.50此為雙側(cè) U 檢驗 , 檢驗統(tǒng)計量為UX32.501.1/6查標準正態(tài)分布表, 得臨界值uu0.051.6

3、452故拒絕域為Wu uu1.6452又由題設(shè)可算得 x31.13 ,故 U 的樣本觀測值為3 1.1 332. 51. 645u1 /63. 031.所以拒絕 H 0 , 即不能認為平均抗斷強度為32.50.2某種元件，要求其使用壽命不得低于1000 小時，現(xiàn)從一批這種元件中隨機抽取25個，測得其壽命平均值為950 小時，已知該種元件壽命服從標準差為= 100 的正態(tài)分布 可否據(jù)此判定這批元件不合格（顯著性水平= 0.05 ）？解 檢驗的假設(shè)為H 0 :1000,H 1 :1000此為單側(cè) U 檢驗 ,檢驗統(tǒng)計量為UX1000/n查標準正態(tài)分布表, 得臨界值uu0.051.645故拒絕域為W

4、 U U1.645又由題已知 x950 , 故檢驗統(tǒng)計量U 的樣本觀測值為95010002.51.645U25100 /所以拒絕 H 0 , 即應(yīng)判定這批元件不合格 .3在正常情況下工廠生產(chǎn)的某種型號的無縫鋼管的內(nèi)徑服從正態(tài)分布N（ 54，0.75 2 ），從某日生產(chǎn)的鋼管中抽出10 根，測得內(nèi)徑（單位：cm）如下：53.8 ， 54.0 ，55.1 ， 52.1 ， 54.2 ， 54.2 ， 55.0 ， 55.8 ，55.1 ， 55.3如果標準差不變，該日生產(chǎn)的鋼管的平均內(nèi)徑與正常生產(chǎn)時是否有顯著差異（= 0.05 ）？解 檢驗的假設(shè)為H0:54,H1:54此為雙側(cè) U 檢驗 ,檢驗統(tǒng)

5、計量為U查標準正態(tài)分布表, 得臨界值X54/nuu0.0251.962故拒絕域為W Uu U1.962又由題設(shè)可算得x54.5 , 故 U 的樣本觀測值為U54.5542.11 1.960.75/10所以接受 H 0 ,即可以認為該日生產(chǎn)的鋼管的平均內(nèi)徑與正常生產(chǎn)時無顯著差異.4某人從一房地產(chǎn)商處購買了一套據(jù)稱是120 平方米的住房，并請人對房子的建筑面積（單位：平方米）進行了5 次獨立測量，得數(shù)據(jù)如下：119.2 ， 118.5 ，119.7 ， 119.4 ，120.0設(shè)測量值近似地服從正態(tài)分布，可否據(jù)此判定該套住房 “缺斤短兩”（ 顯著性水平= 0.05）？解 檢驗的假設(shè)為H 0 :12

6、0, ， H1 :120 .此為單側(cè) T 檢驗 .,檢驗統(tǒng)計量為TX120S /n查 t 分布表 ,得臨界值t( n 1)t0.05 (4) 2.13故拒絕域為WTt (n1) T2.13又由題設(shè)可算得 x 119.4 , s = 0.57,故檢驗統(tǒng)計量T 的樣本觀測值為119.41202.13t2.350.57 /5所以拒絕 H 0 , 即認為該住房面積不夠120 平方米 .5已知制藥廠一自動生產(chǎn)線生產(chǎn)的一種藥片中有效成分的含量（單位：mg）服從正態(tài)分布，按照標準，該藥片中有效成分的含量不應(yīng)低于100 某日廠質(zhì)檢科從自動生產(chǎn)線生產(chǎn)的藥片中抽查了40 片，測得其中有效成分的平均含量為98 ，樣

7、本標準差為 5.8 廠質(zhì)檢科是否可以據(jù)此以0.05的顯著性水平判定生產(chǎn)線該日生產(chǎn)的藥片質(zhì)量未達標？若將顯著性水平改為 0.01結(jié)論如何？解 檢驗的假設(shè)為H 0 :100,H 1 :100.此為單側(cè) T 檢驗 , 檢驗統(tǒng)計量為TX100S /n查 t 分布表 , 得臨界值t ( n1)t0.05 (39)1.68故拒絕域為WTt(n1) T1.68又由題設(shè)可算得x119.4, s = 5.8, 故檢驗統(tǒng)計量T 的樣本觀測值為U981002.181.685.8 /40所以顯著水平為0.05 時 ,拒絕 H 0 ,即應(yīng)判定生產(chǎn)線該日生產(chǎn)的藥片質(zhì)量未達標.同理 , 當顯著水平為 0.01 時 ,查 t

8、 分布表 ,得臨界值t (n1)t0.01 (39)2.43檢驗統(tǒng)計量T 的樣本觀測值為98100U2.18 2.435.8 /40所以顯著水平為0.01 時，接受 H 0 ，即尚不能判定生產(chǎn)線該日的藥片質(zhì)量未達標.6某車間生產(chǎn)鋼絲，生產(chǎn)一向比較穩(wěn)定，且其產(chǎn)品的折斷力（單位：kg）服從正態(tài)分布今從產(chǎn)品中隨機抽出10 根檢查折斷力，得數(shù)據(jù)如下：578 ， 572 ， 570，568 ， 572， 570 ，570， 572， 596 ， 584問：是否可以相信該車間的鋼絲折斷力的方差為64（顯著性水平= 0.05）？解 檢驗的假設(shè)為H0 :264,H 1 :264雙側(cè)2 檢驗，檢驗統(tǒng)計量為2(n

9、 1)S264查自由度為 n - 1 = 9 的2 分布表，得得臨界值2(n1)22.7 ，2( n 1)2(9) 19.0210.975 (9)0.02522拒絕域為W 22 (n 1)或22 ( n 1)122又由題設(shè)可得 S 2 = 75.73,檢驗統(tǒng)計量的樣本觀測值為(10 1) 75.73 10.6564因為2.7219.2所以接受 H 0 ，即可以認為該車間的鋼絲折斷力的方差為64.7一自動車床加工零件的長度（單位：mm）服從正態(tài)分布N（，2 ），原來加工精度02 = 0.18 ， 經(jīng)過一段時間加工后，為檢驗該車床加工精度而隨機抽取了31 個零件，測得數(shù)據(jù)如下：零件長10.110.

10、310.611.211.511.812.0頻 數(shù)13710631問：該車床的加工精度是否有所降低（顯著性水平= 0.05 ）？解 檢驗的假設(shè)為H 0 :20.18, H1 : 20.18單側(cè)2 檢驗，檢驗統(tǒng)計量為(n 1)S20.18查自由度為n-1 = 30 的2 分布表，得臨界值(n1)0.205 (30)43.77拒絕域為W22 (n 1)又檢驗統(tǒng)計量的樣本觀測值為2(311)0.266744.4543.770.18所以拒絕 H 0 ，即判定加工精度有所降低.習(xí)題 8.31裝配某種零部件可以采用兩種不同的生產(chǎn)工序，經(jīng)驗表明，用這兩種工序裝配零部件所需的時間（單位：分鐘）分別服從標準差為1

11、2,23 的正態(tài)分布。現(xiàn)對兩種工序裝配零部件所需的時間進行了抽樣檢查，兩種工序每裝配10 個零部件平均所需的時間分別為 5 和 7 分鐘。在0.10 的顯著水平下，檢驗兩種工序的效率是否有顯著差異？解 檢驗的假設(shè)為H0:12,H1:12雙側(cè) U 檢驗，檢驗統(tǒng)計量為XYU212mn拒絕域為W| U | u2查表得臨界值uu0.051.6452這里22232, m n 10，且 x5,y 7, 則可得統(tǒng)計量的觀測值12 ,25721.645| u | |22321010拒絕 H 0 ，即認為兩種工序的效率有顯著差異.2設(shè)甲、乙兩個品牌的同類保健藥品中有效成分A 的每瓶含量分別為X N (1 ，30

12、2 ) 和 Y N ( 2 ，432 ) 現(xiàn)分別抽得甲牌藥品10 瓶、乙牌藥品14 瓶，測得其有效成分A 的平均含量分別為x = 310 、 y = 283 ，是否可據(jù)此認為甲牌藥品的有效成分含量較高（= 0.10 ）？解 檢驗的假設(shè)為H0:12,H1:12單側(cè) U 檢驗，檢驗統(tǒng)計量為UXY212mn拒絕域為W Uu 查表得臨界值uu0.11.28這里2302,22x 310,y 283, ，從而1243 , m 10, n 14 ，又根據(jù)題目已知統(tǒng)計量的觀測值310283U1.81 1.283024321014所以拒絕 H 0 ，即可以認為甲牌藥品的有效成分含量較高.3設(shè)甲、乙兩機床加工的同

13、一種零件的尺寸（單位：mm）均服從正態(tài)分布現(xiàn)分別抽得甲、乙兩機床加工的零件的尺寸數(shù)據(jù)如下：甲： 31.2， 30.8， 31.2， 30.3， 31.9， 31.5乙： 30.3， 32.1， 29.8， 31.7， 29.9， 29.0， 31.9 ， 32.4問：甲、乙兩機床的加工精度是否有顯著差異（顯著性水平= 0.1）？解 檢驗的假設(shè)為2222H0: 12,H1:12雙側(cè) F 檢驗，檢驗統(tǒng)計量為S2F1S22拒絕域為W F f (m 1,n 1) 或 Ff (m 1,n 1)122查 F 分布表，得臨界值f (m1,n1)= f 0.95 (5,7)10.20 ，1f(m1,n1) =

14、 f 0.05 (5,7)3.972又 F 的觀測值0.31 0.18 0.201.69所以拒絕 H 0 ，應(yīng)判定兩機床的加工精度是有顯著差異.4為了解各系學(xué)生素質(zhì)教育的效果，學(xué)校抽測了甲、 乙兩系各20 名學(xué)生測試結(jié)果是：甲系平均分x= 75、標準差s1 = 15，乙系平均分y= 79、標準差s2= 23 試據(jù)此判斷甲、乙兩系學(xué)生素質(zhì)教育效果有無顯著差異（顯著性水平= 0.1 ）？解 因為二總體方差均未知，故先檢驗假設(shè)H0:12,H1:12雙側(cè) T 檢驗，檢驗統(tǒng)計量為TXY11SWmn其中 S(m 1)S12(n1)S22.Wmn 2拒絕域為W Tt(mn 2)2查 t 分布表，得臨界值tt

15、0.051.68602又根據(jù)題目已知數(shù)據(jù)可計算得x75,y79,Sw19.4165，從而 T 的觀測值為75790.6515 1.6860T19.4165112020所以接受 H 0 ，即可以認為兩系學(xué)生素質(zhì)教育效果無差異顯著.綜合練習(xí)八一、填空題1假設(shè)檢驗可能犯兩類錯誤：第一類錯誤是( 拒真錯誤) ，第二類錯誤是(納偽錯誤 )2假設(shè)檢驗的顯著性水平是指檢驗犯 (第一類) 錯誤的概率的上限3設(shè)總體 X N（， 4），（x1， x2 ， ， xn）為其一組樣本觀測值，則檢驗問題H0 ：=30 ，H1： 30的檢驗統(tǒng)計量為(UX30= 0.01 ，則此檢驗的拒絕2)；若檢驗的顯著性水平n域為(Wu

16、2.57)4設(shè)總體 X N（，2 ），（ x1 ， x2 ， ， x9）為其一組樣本觀測值，則檢驗問題H0 ：22，H1：2 2的檢驗統(tǒng)計量為 (2(n1)S2= 0.1，則此檢驗的拒)；若檢驗的顯著性水平2絕域為 (W23.490) ；若據(jù)樣本觀測值已算得樣本方差s2= 1.4 ，則應(yīng)(接受)H0 二、選擇題1在假設(shè)檢驗中H 0 、H 1 分別表示原假設(shè)與備擇假設(shè)，通常所稱的“犯第二類錯誤”是指(c) (a)H 0 真而接受H1；(b) H1 不真而接受 H 1；(c)H 1 真而接受H 0；(d) H 0 不真而接受 H12設(shè)（ X1 ，X2， ， Xn）是來自正態(tài)分布N（，2 ）的樣本，

17、其中參數(shù)和未知，記X1=nnnX i ， T 2 =( X i X )2i 1i 1則對假設(shè) H 0 ：= 0 作檢驗所使用的檢驗統(tǒng)計量為（(d)）（ a）n X；(b)n 1 X；TT(c)n(n 1) X(d)n( n 1) XT 2；T3假設(shè)檢驗中，當原假設(shè)H 0 在顯著性水平0.05 下被接受時，若將顯著性水平變更為0.01 ，則 (（ a） )(a)H 0 必定仍被接受；(b)H 0 必定被拒絕；(c)H 0 可能被接受亦可能被拒絕；(d)無法判定 H0 是否被接受4設(shè)總體 X N（，2 ） （、2均未知），（ X1，X2 ， ，Xn）為其樣本，則檢驗問題H0：10 ，H1：10的檢

18、驗統(tǒng)計量是(a)(a)(c)10 S n10 n；X(b)Sn；X(d)n；5設(shè)總體 X N（，2 ） （、2 均未知），（ X1 ，X2 ， ，Xn）為其樣本，則檢驗問題H 0 ：22，H1 ：2200的檢驗統(tǒng)計量為2 (n1) S20.1 則檢驗的拒絕域為 （ b） ）=，若取顯著性水平為20(a)202.9 (n)；( b)202.9 (n1)；(c)202.1 (n)；(d)202.1 ( n1)三、解答題1.設(shè)某味精廠生產(chǎn)的味精在手工包裝時的每袋重量X N (15,0.05) 。技術(shù)革新后，改用機器包裝， 現(xiàn)抽查 8 個樣品測得重量 （單位： 克）為：14.7， 15.1，14.8

19、，15，15.3， 14.9，15.2 ， 14.6.已知方差不變，問機器包裝的味精每袋平均重量是否仍為15( 顯著水平0.05) ？解 檢驗的假設(shè)為H0:15,H1:15此為雙側(cè) U 檢驗 , 檢驗統(tǒng)計量為X15U0.05 / 8查標準正態(tài)分布表, 得臨界值uu0.0251.962故拒絕域為Wu uu 1.962又由題設(shè)可算得 x14.95 ,故 U 的樣本觀測值為u | 1 4. 9 5 1| 50.4 1.960.05/8所以接受 H 0 ，即可以認為平均重量仍為15.2.已知某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命(單位：小時 ) X N (, 2002 ) ，根據(jù)經(jīng)驗，原來燈泡的平均使用壽命不超過1

20、500 小時 .現(xiàn)測試了25 只采用新工藝生產(chǎn)的燈泡的使用壽命，得其平均值為1575 小時 .問新工藝是否提高了燈泡的使用壽命?（0.05）解 檢驗的假設(shè)為H 0 :1500, H 1 :1500.此為單側(cè) U 檢驗 ,檢驗統(tǒng)計量為X1500U200 /25查標準正態(tài)分布表, 得臨界值uu0.051.645故拒絕域為W uu0.05 u1.645又由題已知x1575 , 故檢驗統(tǒng)計量U 的樣本觀測值為15751500u1.875 1.645200 /25所以拒絕 H 0 ，即可認為新工藝提高了燈泡的使用壽命。某超市為了增加銷售額，對營銷方式、管理人員等進行了一系列調(diào)整，調(diào)整后隨機抽查了 9 天

21、的日銷售額（單位：萬元） ，結(jié)果如下：56.4， 54.2， 50.6，53.7， 55.9， 48.3 ，57.4， 58.7， 55.3根據(jù)統(tǒng)計， 調(diào)整前的日平均銷售額為51.2 萬元 . 假定日銷售額服從正態(tài)分布，試問調(diào)整措施的效果是否顯著（0.05）.解此問題為為檢驗問題H 0 :51.2, H 1 :51.2.檢驗統(tǒng)計量為X51.2TS /9查 t 分布表，得臨界值t (8)t0.05 (8)1.8595故拒絕域為W tu t1. 8 5 9 5 0.05又計算可得x54.5, s3.29于是可得 T 的樣本觀測值為54.551.2t31.85953.29 / 3故拒絕 H 0 ，即

22、可以判定調(diào)整措施的效果是顯著的。4. 電工器材廠生產(chǎn)一批保險絲，取 10 根測得其熔化時間 （ min）為 42, 65, 75, 78, 59, 57,68, 54, 55, 71. 問是否可以認為整批保險絲的熔化時間的方差小于等于80 ? (=0.05 ，熔化時間為正態(tài)變量 )解 要檢驗的假設(shè)為H 0：280；H1：280 .2單側(cè)檢驗，檢驗統(tǒng)計量為(n 1)S2 80查自由度為 n-1 = 9 的2分布表，得臨界值(n1)0.205 (9)16.919拒絕域為W 22 ( n 1)又檢驗統(tǒng)計量的樣本觀測值為2(101)121.816.91913.780故接受 H 0 ，即可以認為這批保險絲的熔化時間的方差小于等于80.*5. 假設(shè) A 廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命（單位：小時）X N(1,95 2 ) ， B 廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命 Y N (2 ,120 2 ) .在兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取了100只和 75 只樣本，測得燈泡的平均使用壽命分別為1180 小時和1220 小時 .問在顯著水平0.05下，這兩個工廠生產(chǎn)的燈泡的平均使用壽命有無顯著差異？解 要檢驗的假設(shè)為H0: 12,H1: 12雙側(cè) U 檢驗，檢驗統(tǒng)計量為UXY212mn拒絕域為W| U |u 2查表得臨界值uu0.0251.962這里2952,