1、 定積分 定積分0 定積分概念與性質0 定積分概念與性質分割分割取近似取近似求和取極限2.變速直線運動的路程求和取極限2.變速直線運動的路程（1）分割 （1）分割 （2）取近似（2）取近似共同特性分割，取近似，求和，取極限(3)求和 （4）取極限共同特性分割，取近似，求和，取極限(3)求和 （4）取極限二.定積分的定義1.定義二.定積分的定義1.定義定積分概念與性質-課件定積分概念與性質-課件曲邊梯形的面積變速運動的路程定理1. 設f(x)在區間a,b上有界,且有有限個第一類間斷點,則f(x)在a,b上可積.注(1)定積分是一個數值與被積函數有關。(2)定積分的值與區間的分法無關,2.定積分存

2、在的充分條件(3)定積分的值只與區間長度有關，與 的取法無關曲邊梯形的面積變速運動的路程定理1. 設f(x)在區間a3.定積分的幾何意義3.定積分的幾何意義例1 利用定積分的定義計算例1 利用定積分的定義計算定積分概念與性質-課件三.定積分的性質三.定積分的性質對于c在區間 a,b之內或之外, 結論同樣成立對于c在區間定積分概念與性質-課件幾何解釋：在a,b上至少存在一點,使曲邊梯形的面積等于以 為高的一個矩形面積 幾何解釋：定積分概念與性質-課件 定積分與原函數的關系一.變上限的定積分及其導數 定積分與原函數的關系一.變上限的定積分及其導數定積分概念與性質-課件定積分概念與性質-課件定理表明

3、:(1)連續函數一定存在原函數(2) 把定積分與原函數之間建立起聯系二.牛頓-萊布尼茲公式定理表明:二.牛頓-萊布尼茲公式定積分概念與性質-課件定積分概念與性質-課件第四節 定積分的換元積分法與分布積分法一.定積分的換元積分法注意:換元的同時一定要換限第四節 定積分的換元積分法與分布積分法一.定積分的換元積分定積分概念與性質-課件定積分概念與性質-課件定積分概念與性質-課件定積分概念與性質-課件定積分概念與性質-課件定積分概念與性質-課件定積分概念與性質-課件定積分概念與性質-課件定積分概念與性質-課件二.定積分的分布積分法二.定積分的分布積分法定積分概念與性質-課件定積分概念與性質-課件定積

4、分概念與性質-課件定積分概念與性質-課件 定積分應用定積分的微元分析法用定積分表示的量U必須具備三個特征 :一 . 能用定積分表示的量所必須具備的特征(3) 部分量 的近似值可表示為二 .微元分析法則U相應地分成許多部分量;用定積分表示量U的基本步驟:(1) U是與一個變量x的變化區間a,b有關的量;(2) U 對于區間a,b具有可加性.即如果把區a,b 分成許多部分區間, 定積分應用定積分的微元分析法用定積分表示的量U必須具備三個根據問題的具體情況,選取一個變量(2) 在區間a,b內任取一個小區間 ,求出相應于這個小區間的部分量 的近似值.在 處的值 與 的乘積,就把 稱為量U的微元且記作

5、,即如果 能近似地表示為a,b上的一個連續函數例如x為積分變量,并確定其變化區間a,b;根據問題的具體情況,選取一個變量(2) 在區間a,b內任(3) 以所求量U的微元 為被積表達式,在區間a,b上作定積分,得 平面圖形的面積一 直角坐標情形1 . 曲邊梯形當f(x)在a,b上連續時, 由曲線y=f(x)和x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形面積就是(3) 以所求量U的微元 為被積表達式,在區間a2. 一般圖形以及兩條直線x=a,x=b之間的圖形的面積微元為如果函數 在a,b上連續,且 則介于兩條曲線2. 一般圖形以及兩條直線x=a,x=b之間的圖形的面積微元 注意:根據具體的圖形特點,也可以

6、選擇作為積分變量或者利用圖形的對稱性簡化計算.例1 求橢圓的面積(如圖).解 由對稱性,橢圓的面積其中為橢圓在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx則圖形的面積為 注意:根據具體的圖形特點,也可以選擇作為積分變量或者利用圖則例2 求由所圍圖形面積.解 兩拋物線的交點為(0,0)及(1,1).取x為積分變量,其變化區間為0,1.由前面討論可知:(1,1)oyx則例2 求由所圍圖形面積.解 兩拋物線的交點為(0,0)例3 求由所圍圖形面積.解 兩曲線的交點為(2,-2)及(8,4).根據此圖形特點,可以選擇y作為積分變量,其變化區間為-2,4.yx(2,-2)(8,4)圖形的面積微元為:從而可得

7、圖形面積例3 求由所圍圖形面積.解 兩曲線的交點為(2,-2)及(二. 極坐標情形1. 曲邊扇形其中r()在 ,上連續,且r()0.相應于, +d的面積微元為則圖形面積為o r=r()設圖形由曲線r=r()及射線=, =所圍成.取為積分變量,其變化區間為 ,二. 極坐標情形1. 曲邊扇形其中r()在 ,上2. 一般圖形及射線=, =所圍圖形的面積微元為 則面積為o相應于從 0到2的一段弧與極軸所圍圖形的面積. 解 如圖,可視為=0, = 2及r=a 圍成的曲邊扇形.則其面積為o 由曲線 例4 求阿基米德螺線r=a(a0)上2. 一般圖形及射線=, =所圍圖形的面積微元為 NoM例5 求r=1與

8、r=1+cos所圍公共面積.解 如圖,曲線交點為由對稱性則而NoM例5 求r=1與r=1+cos所圍公共面積.解 三. 參數方程情形 當曲邊梯形的曲邊為參數方x=(t),y=(t) ,且()=a, ()=b,在,上(t)有連續導數, (t)連續,則曲邊梯形面積面積為在例1中,若采用橢圓的參數方程則三. 參數方程情形 當曲邊梯形的曲邊為參數方x=( 立體的體積一. 平行截面面積已知的立體體積點x且垂直于x 軸的截面面積.如圖,體積微元為dV=A(x)dx, 則體積為 例1 如圖,從圓柱體上截下一塊楔形體,abx求其體積. 取x為積分變量,其變化范圍為a,b. 設立體介于x=a,x=b之間,A(x

9、)表示過 立體的體積一. 平行截面面積已知的立體體積點x且垂直于x則邊長分別為y和ytan .因此如圖,過x的截面是直角三角形,解-RRyxoxy則邊長分別為y和ytan .因此如圖,過x的截面是直角三角xyoRh高為h的正劈錐體的體積.底邊長為2y,高為h.因此 則過x的截面是等腰三角形, 解 如圖, 例2 求以圓為底,平行且等于底圓直徑的線段為頂,xyoRh高為h的正劈錐體的體積.底邊長為2y,高為h.因此稱為旋轉體.則如前所述,可求得截面面積二. 旋轉體的體積則 平面圖形繞同平面內一條直線旋轉一周而成的立體設旋轉體由圖1的曲邊梯形繞x軸形成.yxaby=f(x)ox圖1稱為旋轉體.則如前

10、所述,可求得截面面積二. 旋轉體的體積則 同理,如旋轉體由圖2的曲邊梯形繞y軸形成.ycoxdx=(y) 例3 求如圖直角三角形繞x軸旋轉而成的圓錐體的體積. 解 可求得過點O及P(h,r)的直線方程為由公式得yoxP(h,r)則體積為圖2圖3 同理,如旋轉體由圖2的曲邊梯形繞y軸形成.y例4 求星形線繞x軸旋轉而成的立體體積解 由對稱性及公式aaxy例4 求星形線繞x軸旋轉而成的立體體積解 由對稱性及公式 例5 求圓心在(b,0),半徑為a(ba)的圓繞y軸旋轉而成的環狀體的體積. yxoba解 圓的方程為,則所求體積可視為曲邊梯形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積之差.分別與直線y=-a,y=a

11、及y軸所圍成的則 例5 求圓心在(b,0),半徑為a(ba例 證明：由平面圖形 繞 軸旋轉所成的旋轉體的體積為柱殼法就是把旋轉體看成是以y 軸為中心軸的一系列圓柱形薄殼組成的，即為圓柱薄殼當dx很小時，此小柱體的高看作f（x），以此柱殼的體積作為體積元素，例 證明：由平面圖形 在區間 上柱殼體的體積元素為 平面曲線的弧長光滑曲線可應用定積分求弧長. 若函數y=f(x)的導函數在區間a,b上連續,則稱曲線y=f(x)為區間a,b上的光滑曲線,在區間 上柱殼體的一.直角坐標情形設光滑曲線方程:可用相應的切線段近似代替.即則弧長微元(弧微分)故弧長為oyxdyabdxy=f(x)取x為積分變量,變化

12、區間為a,b.a,b內任意小區間x, x +d x的一段弧長一.直角坐標情形設光滑曲線方程:可用相應的切線段近似代替.即 例1 求曲線相應于x從a到b的一段弧長.解 例1 求曲線相應于x從a到b的一段弧長.解例2 求的全弧長.解 y=y(x)的定義域為,故弧長為:二. 參數方程情形設光滑曲線方程:弧長微元則如前所述,例2 求的全弧長.解 y=y(x)的定義域為,故弧長為:例4 求星形線的弧長.解 由對稱性及公式例4 求星形線的弧長.解 由對稱性及公式例4 求阿基米德螺線r=a(a0)上相應于從0到2的一段弧長.解三. 極坐標情形設曲線方程:r=r() (). 化為參數方程:則例4 求阿基米德螺

13、線r=a(a0)上解三. 極坐標情定積分的物理應用一. 變力沿直線作功若物體在常力F作用下沿F方向移動s距離,.由x=a移到x=b,可用微元法解決做功問題.dW=F(x)dx則F(x)abxx+dx則W=Fs 若物體在變力F(x)作用下沿力的方向 取x為積分變量,變化區間為a,b.相應于任意小區間x,x+dx的功的微元定積分的物理應用一. 變力沿直線作功若物體在常力F作用下沿 例1 設9.8牛頓的力能使彈簧伸長1厘米,解從而由公式(焦耳) 例2 形如圓錐臺的水桶內盛滿了水(如圖), 解 設想將水分成許多薄層,問將全部水吸出需作多少功?(水比重為9800牛頓/立方米)0yx13(3,2)xx+d

14、x求伸長10厘米需作多少功?所以k=980.F=9.8牛頓,而x=0.01米時,已知 F=kx,F=980 x.吸出各層水所作的功的總和即為所求. 例1 設9.8牛頓的力能使彈簧伸長1厘米, 取x為積分變量,變化區間為則 例3 一桶水重10kg,由一條線密度0.1kg/m的0yx13(3,2)xx+dx因此功的微元吸出這層水的位移近似于x.的薄層水近似于圓柱,0,2.相應于任意小區間x,x+dx繩子系著,將它從20m深的井里提上來需作多少功? 取x為積分變量,變化區間為則 解 將水桶從井里提上來所作的功為 將繩子從井里提上來所作的功,則所作的總功為xo20 xx+dx即變力沿直線作的功為 解

15、將水桶從井里提上來所作的功為 將二. 靜液壓力 設有一面積為A的平板,水平放置在液體下深度h處,則平板一側所受壓力為 N=hA. (為液體比重)則平板一側所受壓力須用微元法解決. 取x為積分變量,變化區間為a,b.oxyabxx+dxy=f(x)近似于水深x處水平放置的長方形窄條所受的壓力.相應于x,x+dx的窄條所受到的壓力 如果平板垂直放置在液體下,以如圖曲邊梯形為例:二. 靜液壓力 設有一面積為A的平板,水平放則壓力微元為dN= xydx= xf(x)dx因此整個平板所受壓力為 例4 一個橫放的半徑為R的圓柱形油桶內有半桶油(比重),求一個端面所受的壓力.解 由對稱性從而轉化為上述曲邊梯形情形,即oxyabxx+dxy=f(x)xyo則壓力微元為dN= xydx= xf(x)dx因此整個平例5 求如圖的等腰梯形水閘門一側所受的壓力.解 由對稱性也可轉化為曲邊梯形情形,曲邊為則壓力為三. 引力由萬有引力定律,兩質點之間的引力為若要計算細棒對質點的引力,須用微元法解決.2o2xy(2,1)例5 求如圖的等腰梯形水閘門一側所受的壓力.解 由對稱性 例6 設有質量為M,長度為l的均勻細桿,任意小段x,x+dx近似于質點,且質量為則引力微元為oxx+dxxal另有一質量為m的質點位于同一直線上,且到桿的近段距離為a,求桿對質點的引力. 取x為積分變量,變化區間為