1、圓的對(duì)稱性(垂徑定理)課件圓的對(duì)稱性(垂徑定理)課件3.2 圓的對(duì)稱性？復(fù)習(xí)提問(wèn)：1、什么是軸對(duì)稱圖形？我們?cè)谥本€形中學(xué)過(guò)哪些軸對(duì)稱圖形？ 如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形。如線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形圓是軸對(duì)稱圖形嗎？ 如果是,它的對(duì)稱軸是什么?你能找到多少條對(duì)稱軸？你是用什么方法解決上述問(wèn)題的?3.2 圓的對(duì)稱性？復(fù)習(xí)提問(wèn)：1、什么是軸對(duì)稱圖形？我們圓是軸對(duì)稱圖形. 圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線,它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸.O可利用折疊的方法即可解決上述問(wèn)題.3.2 圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形. 圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過(guò)圓心

2、的直線,OACBNMD圓是軸對(duì)稱圖形， 經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。OACBNMD圓是軸對(duì)稱圖形， 經(jīng)過(guò)圓心的每一OACBNMD或： 任意一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸。 任意一條直徑都是圓的對(duì)稱軸（ ）OACBNMD或： 任意一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)練習(xí)1.判斷題(1)直徑是弦 . (2)過(guò)圓心的線段是直徑.(3)半圓是弧 . (4)兩個(gè)半圓是等弧.(5)面積不等的兩圓不是等圓.(6)長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧.ACEFGH弧長(zhǎng) FE = 3.84 cm弧長(zhǎng) HG = 3.84 cm（）（）（）（）（）（）練習(xí)1.判斷題ACEFGH弧長(zhǎng) FE = 3.84 cm弧長(zhǎng)看一看B.OCA

3、EDO.CAEBDAEBEAEBE看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBEAM=BM,垂徑定理AB是O的一條弦.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說(shuō)說(shuō)你的想法和理由.作直徑CD,使CDAB,垂足為M.O下圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,其對(duì)稱軸是什么?ABCDMAmB由 CD是直徑 CDAB可推得AC=BC,AD=BD.題設(shè)結(jié)論AM=BM,垂徑定理AB是O的一條弦.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些如圖,小明的理由是:連接OA,OB,OABCDM則OA=OB.在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，RtOAMRtOBM.AM=BM.點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱.O關(guān)于直徑CD對(duì)稱,當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)

4、折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,AC和BC重合,AD和BD重合.AC =BC,AD =BD.垂徑定理如圖,小明的理由是:連接OA,OB,OABCDM則OA=垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.題設(shè)結(jié)論（1）直徑（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧（5）平分弦所對(duì)的劣弧垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦垂徑定理三種語(yǔ)言定理: 垂直于弦的直徑平分弦, 并且平分弦所對(duì)的兩條弧.老師提示:垂徑定理是圓中一個(gè)重要的結(jié)論,三種語(yǔ)言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.OABCDMCDAB,如圖 CD是直徑,AM=BM, AC =BC, AD=BD.垂徑定理三種語(yǔ)言定理:

5、 垂直于弦的直徑平分弦,老師提示:在下列圖形中，你能否利用垂徑定理找到相等的線段或相等的圓弧在下列圖形中，你能否利用垂徑定理找到相等的線段或相等的圓弧 如圖，已知在O中，弦AB的長(zhǎng)為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求O的半徑。E.ABO解：連結(jié)OA. 過(guò)O作OEAB，垂足為E，則OE3厘米，AEBE。AB8厘米 AE4厘米 在Rt AOE中，根據(jù)勾股定理有OA5厘米 O的半徑為5厘米練習(xí) 如圖，已知在O中，弦AB的長(zhǎng)為8厘米，圓心 課題：垂直于弦的直徑(2)垂徑定理的推論 課題：垂直于弦的直徑(2)垂徑定理的推論MOACBN直線MN過(guò)圓心 AC=BCMNAB弧AM=弧BM 弧AN=弧BN探

6、索一：結(jié)論：MOACBN直線MN過(guò)圓心 AC=BCMNAB弧A推論1. (1)平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論1. (1)平分弦（不是直徑OABMN一個(gè)圓的任意兩條直徑總是互相平分，但是它們不一定互相垂直。因此這里的弦如果是直徑，結(jié)論就不一定成立。推論1. (1)平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。CDOABMN一個(gè)圓的任意兩條直徑總是互相平分，但是它們不一定互MOACBN MNAB AC=BC直線MN過(guò)圓心O弧AM=弧BM弧AN=弧BN探索二：MOACBN MNAB AC=BC直線MN過(guò)圓心推論1:(2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦所

7、對(duì)的兩條弧;推論1:(2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦所MOACBN MNAB AC=BC 弧AM=弧BM直線MN過(guò)圓心O弧AN=弧BN探索三：MOACBN MNAB AC=BC 推論1:(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論1:(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦CDABMTEFGHNP錯(cuò)在哪里？等分弧時(shí)一定要作弧所夾弦的垂直平分線。作AB的垂直平分線CD。作ATBT的垂直 平分線EFGHCDABMTEFGHNP錯(cuò)在哪里？等分弧時(shí)一定要作弧所夾弦的你可以寫出相應(yīng)的命題嗎?如圖,在下列五個(gè)條件中:只要具備其中兩個(gè)條件,就可推出其余三個(gè)結(jié)論.OAB

8、CDM CD是直徑, AM=BM, CDAB,AC = BC, AD = BD.垂徑定理的逆定理你可以寫出相應(yīng)的命題嗎?如圖,在下列五個(gè)條件中:只要具備其中垂徑定理及逆定理OABCDM條件結(jié)論命 題垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對(duì)的兩條弧.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦和所對(duì)的另一條弧.平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)

9、過(guò)圓心,并且垂直平分弦. CD是直徑, AM=BM, CDAB,AC=BC,AD=BD.垂徑定理及逆定理OABCDM條件結(jié)論命 垂徑定理的推論2 如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?老師提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況:OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等.MM垂徑定理的推論2 如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的已知：O中弦ABCD.求證：ACBD.MCDABON講解如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等.證明：作直徑MNAB. ABCD，MNCD. 則AMBM，CMDM （垂直平分弦的

10、直徑平分弦所對(duì)的弦）AMCM BM DMACBD 圓的兩條平行弦所夾的弧相等已知：O中弦ABCD.MCDABON講解如果圓的兩推論2.圓的兩條平行弦所夾的弧相等。推論2.圓的兩條平行弦所夾的弧相等。挑戰(zhàn)自我畫一畫如圖,M為O內(nèi)的一點(diǎn),利用尺規(guī)作一條弦AB,使AB過(guò)點(diǎn)M.并且AM=BM.OM挑戰(zhàn)自我畫一畫如圖,M為O內(nèi)的一點(diǎn),利用尺規(guī)作一條弦AB,CDABE例：平分已知弧AB已知：弧AB作法： 連結(jié)AB.作AB的垂直平分線 CD，交弧AB于點(diǎn)E.點(diǎn)E就是所求弧AB的中點(diǎn)。求作：弧AB的中點(diǎn)挑戰(zhàn)自我畫一畫CDABE例：平分已知弧AB已知：弧AB作法： 連結(jié)ABCDABEFG變式一： 求弧AB的四等

11、分點(diǎn)。 mnCDABEFG變式一： 求弧AB的四等分點(diǎn)。 mnCABE變式二：你能確定 弧AB的圓心嗎？mnDCABEmnOCABE變式二：你能確定 弧AB的圓你能破鏡重圓嗎？ABACmnO 作弦ABAC及它們的垂直平分線mn，交于O點(diǎn)；以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓。你能破鏡重圓嗎？ABACmnO 作弦ABAC及它們破鏡重圓ABCmnO 弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 作圖依據(jù)：破鏡重圓ABCmnO 弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦判斷垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧( )弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線,垂直于弦,并且經(jīng)過(guò)圓心 ( )圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分 (

12、 )平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧 ( )圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（ ）挑戰(zhàn)自我 填一填判斷垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧( （6）平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧。（7）平分弦的直線，必定過(guò)圓心。（8）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這 條直線垂直這條弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)挑戰(zhàn)自我 填一填（6）平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧。（7）平分弦的直線，(9)弦的垂直平分線一定是圓的直徑.平分弧的直線，平分這條弧所對(duì)的弦. 弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分.ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E挑戰(zhàn)自我 填一填(9)弦的垂

13、直平分線一定是圓的直徑.平分弧的直線，平分這條2.已知：如圖,O 中,弦ABCD,ABCD,直徑MNAB,垂足為E,交弦CD于點(diǎn)F.圖中相等的線段有 : .圖中相等的劣弧有: .挑戰(zhàn)自我 填一填2.已知：如圖,O 中,弦ABCD,ABCD,挑戰(zhàn)自我3、已知：如圖，O 中， AB為 弦，C 為 弧AB 的中點(diǎn)，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求O 的半徑OA.挑戰(zhàn)自我 做一做3、已知：如圖，O 中， AB為 弦，C 為 挑戰(zhàn)自我 4.如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的長(zhǎng).ABCD0EFGHMN挑戰(zhàn)自我做一做4.如圖,圓

14、O與矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,5. 已知：AB和CD是O內(nèi)的兩條平行弦，AB=6cm，CD=8cm，O的半徑為5cm，（1）請(qǐng)根據(jù)題意畫出符合條件的圖形（2）求出AB、與CD間的距離。（1）（2）挑戰(zhàn)自我 做一做5. 已知：AB和CD是O內(nèi)的兩條平行弦，AB=6cm，C解：（1）OAB+ AOC=90AC=CB，OC 是半徑（已知）OCAB(如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑垂直這條弧所對(duì)的弦）ADO=90 OAB=90-35=55ABCDO如圖，在扇形OAB中，C是AB的中點(diǎn)，OC交AB于點(diǎn)D AOC=35 ,AD=16cm求（1） OAB的度數(shù)（2）AB的長(zhǎng)挑戰(zhàn)自我 做一做

15、AB解：（1）OAB+ AOC=90AC=CB，OC 是半解：（2）(如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑平分這條弧所對(duì)的弦)AC=CB，CD經(jīng)過(guò)圓心O（已知）DB=AD=16cmAB=2AD=32cmABCDO如圖，在扇形OAB中，C是AB的中點(diǎn)，OC交AB于點(diǎn)D AOC=35 ,AD=16cm求（1） OAB的度數(shù)（2）AB的長(zhǎng)挑戰(zhàn)自我 做一做解：（2）(如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑平分這條弧所對(duì)的小結(jié): 解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO小結(jié): 解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的

16、垂已知：AB是O直徑，CD是弦，AECD，BFCD求證：ECDF.AOBECDF挑戰(zhàn)自我再上新臺(tái)階已知：AB是O直徑，CD是弦，AECD，BFCD.AO回味引伸 垂徑定理及其推論1的實(shí)質(zhì)是把(1)直線MN過(guò)圓心; (2)直線MN垂直AB; (3)直線MN平分AB; (4)直線MN平分弧AMB; (5)直線MN平分弧ANB 中的兩個(gè)條件進(jìn)行了四種組合,分別推出了其余的三個(gè) 結(jié)論.這樣的組合還有六種，由于時(shí)間有限,課堂上未作 進(jìn)一步的推導(dǎo),同學(xué)們課下不妨試一試. 回味引伸課堂小結(jié)： 本節(jié)課探索發(fā)現(xiàn)了垂徑定理的推論1和推論2,并且運(yùn)用推論1等分弧。 要分清推論1的題設(shè)和結(jié)論,即已知什么條件,可推出什么結(jié)論. 這是正確理解應(yīng)用推論1的關(guān)鍵; 例3是基本幾何作圖,會(huì)通過(guò)作弧所夾弦的垂直平分線來(lái)等分弧.能夠體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在這里的運(yùn)用.課堂小結(jié)：圓的相關(guān)概念圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱弧(arc).直徑將圓分成兩部分,每一部分都叫做半圓(如弧 ).連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦(chord)(如弦AB).O經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑