1、絕密 啟用前2019年普通高等學校招生全國統一考試數學(全國卷,文)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.(2019全國,文1)設z=3-i1+2i,則|z|= A.2B.3C.2D.1解析z=3-z=(3|z|=15故選C.答案C2.(2019全國,文2)已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7,則BUA=()A.1,6B.1,7C.6,7D.1,6,7解析由已知得UA=1,6,7,BUA=6,7.故選C.答案C3.(2019全國,文3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20

2、.3,則()A.abcB.acbC.cabD.bca解析因為a=log20.220=1,又00.20.30.201,即c(0,1),所以ac1,f答案D6.(2019全國,文6)某學校為了解1 000名新生的身體素質,將這些學生編號為1,2,1 000,從這些新生中用系統抽樣方法等距抽取100名學生進行體質測驗.若46號學生被抽到,則下面4名學生中被抽到的是()A.8號學生B.200號學生C.616號學生D.815號學生解析由已知得將1 000名新生分為100個組,每組10名學生,用系統抽樣46號學生被抽到,則第一組應為6號學生,所以每組抽取的學生號構成等差數列an,所以an=10n-4,nN

3、*,若10n-4=8,則n=1.2,不合題意;若10n-4=200,則n=20.4,不合題意;若10n-4=616,則n=62,符合題意;若10n-4=815,則n=81.9,不合題意.故選C.答案C7.(2019全國,文7)tan 255=()A.-2-3B.-2+3C.2-3D.2+3解析tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(45+30)=tan45+tan301-答案D8.(2019全國,文8)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,則a與b的夾角為()A.6B.3C.2解析因為(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.設a與

4、b的夾角為,則cos =a所以a與b的夾角為3,故選B答案B9.(2019全國,文9)右圖是求12+12+12的程序框圖A.A=1B.A=2+1C.A=1D.A=1+1解析執行第1次,A=12,k=12,是,第一次應該計算A=12+12=12+A,k=k+1=2;執行第2次,k=22,是,第二次應該計算A=12+12+12=12+A,k=k+1=3;執行第3答案A10.(2019全國,文10)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一條漸近線的傾斜角為130A.2sin 40B.2cos 40C.1sin50D解析由已知可得-ba=tan 130=-tan 50則e=c=1+si故選D

5、.答案D11.(2019全國,文11)ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,則bc=(A.6B.5C.4D.3解析由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推論,得-14=cos A=bc2-4c22bc=-1bc=324=答案A12.(2019全國,文12)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為()A.x22+y2=1B.xC.x24+y23=解析如圖,由已知可設|F2B|=n,|BF1|=m.由|A

6、B|=|BF1|,則|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由橢圓的定義及|AF2|=2|F2B|,得m-n|AF1|=a,|AF2|=a.點A為(0,-b).kAF過點B作x軸的垂線,垂足為點P.由題意可知OAF2PBF2.又|AF2|=2|F2B|,|OF2|=2|F2P|.|F2P|=12又kAF|BP|=12b.點B3把點B坐標代入橢圓方程x2a2+y2b2=1又c=1,故b2=2.所以橢圓方程為x23+答案B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(2019全國,文13)曲線y=3(x2+x)ex在點(0,

7、0)處的切線方程為.解析由題意可知y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,k=y|x=0=3.曲線y=3(x2+x)ex在點(0,0)處的切線方程為y=3x.答案y=3x14.(2019全國,文14)記Sn為等比數列an的前n項和.若a1=1,S3=34,則S4=.解析設等比數列an的公比為q.S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=34即q2+q+14=0解得q=-12故S4=a1答案515.(2019全國,文15)函數f(x)=sin2x+32-3cos 解析f(x)=sin2x+3=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=-2co

8、sx-1cos x1,當cos x=1時,f(x)min=-4.故函數f(x)的最小值是-4.答案-416.(2019全國,文16)已知ACB=90,P為平面ABC外一點,PC=2,點P到ACB兩邊AC,BC的距離均為3,那么P到平面ABC的距離為.解析作PD,PE分別垂直于AC,BC,PO平面ABC.連接CO,OD,知CDPD,CDPO,PDPO=P,CD平面PDO,OD平面PDO,CDOD.PD=PE=3,PC=2,sinPCE=sinPCD=32PCB=PCA=60.POCO,CO為ACB平分線,OCD=45,OD=CD=1,OC=2.又PC=2,PO=4-答案2三、解答題:共70分。解

9、答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據要求作答。(一)必考題:共60分。17.(12分)(2019全國,文17)某商場為提高服務質量,隨機調查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價,得到下面列聯表:滿意不滿意男顧客4010女顧客3020(1)分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率;(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異?附:K2=n(P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解(1)由調查數據,男顧客中對該商場服務滿意的比

10、率為4050=0.8,因此男顧客對該商場服務滿意的概率的估計值為0.8女顧客中對該商場服務滿意的比率為3050=0.6,因此女顧客對該商場服務滿意的概率的估計值為0.6(2)K2=100(4020由于4.7623.841,故有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.18.(12分)(2019全國,文18)記Sn為等差數列an的前n項和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通項公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范圍.解(1)設an的公差為d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通項公式為an=10-2n.(

11、2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(由a10知d0,g()=-故g(x)在(0,)存在唯一零點.所以f(x)在(0,)存在唯一零點.(2)解由題設知f()a,f()=0,可得a0.由(1)知,f(x)在(0,)只有一個零點,設為x0,且當x(0,x0)時,f(x)0;當x(x0,)時,f(x)0,所以f(x)在(0,x0)單調遞增,在(x0,)單調遞減.又f(0)=0,f()=0,所以,當x0,時,f(x)0.又當a0,x0,時,ax0,故f(x)ax.因此,a的取值范圍是(-,0.21.(12分)(2019全國,文21)已知點A,B關于坐標原點O對稱,|AB|=4,M

12、過點A,B且與直線x+2=0相切.(1)若A在直線x+y=0上,求M的半徑;(2)是否存在定點P,使得當A運動時,|MA|-|MP|為定值?并說明理由.解(1)因為M過點A,B,所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線x+y=0上,且A,B關于坐標原點O對稱,所以M在直線y=x上,故可設M(a,a).因為M與直線x+2=0相切,所以M的半徑為r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又MOAO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=故M的半徑r=2或r=6.(2)存在定點P(1,0),使得|MA|-|MP|為定值.理由如下:設M(x,y),由已知得M的半徑為r=|x+2|,|AO|

13、=2.由于MOAO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化簡得M的軌跡方程為y2=4因為曲線C:y2=4x是以點P(1,0)為焦點,以直線x=-1為準線的拋物線,所以|MP|=x+1.因為|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在滿足條件的定點P.(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分。22.(10分)(2019全國,文22)選修44:坐標系與參數方程在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為x=1-t21+t2,y=4t1+t2(t為參數).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線(1)求C和l的直角坐標方程;(2)求C上的點到l距離的最小值.解(1)因為-11-t21+t21,且x2+y22=1-t21+t2l的直角坐標方程為2x+3y+11=0.(2)由(1)可設C的參數方程為x=cos,y=2sin(為參數,-C上的點到l的距離為|2cos當=-23時,4cos-3+11取得最小值7,故C23.(10分)(2019全國,文23)選修45:不等式選講已知a,b,c為正數,且滿足abc=1.證明:(