1、陜西理科注意事項:1.本試卷分為兩部分,第一部分為選擇題,第二部分為非選擇題.2.考生領(lǐng)到試卷后,須按規(guī)定在試卷上填寫姓名、準(zhǔn)考證號,并在答題卡上填涂對應(yīng)的試卷類型信息.3.所有解答必須填寫在答題卡上指定區(qū)域內(nèi).考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.第一部分(共50分)一、選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求(本大題共10小題,每小題5分,共50分).1.(2013陜西,理1)設(shè)全集為R,函數(shù)f(x)=1-x2的定義域為M,則RM為( A.-1,1B.(-1,1)C.(-,-11,+)D.(-,-1)(1,+)答案:D解析:要使函數(shù)f(x)=1-x2有意義,則1-x20,解得

2、-1x1,則M=-1,1,RM=(-,-1)(1,+2.(2013陜西,理2)根據(jù)下列算法語句,當(dāng)輸入x為60時,輸出y的值為().輸入x;If x50 Theny=0.5 xElsey=25+0.6 (x-50)End If輸出y.A.25B.30C.31D.61答案:C解析:由算法語句可知y=0所以當(dāng)x=60時,y=25+0.6(60-50)=25+6=31.3.(2013陜西,理3)設(shè)a,b為向量,則“|ab|=|a|b|”是“ab”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案:C解析:若a與b中有一個為零向量,則“|ab|=|a|b|”是“a

3、b”的充分必要條件;若a與b都不為零向量,設(shè)a與b的夾角為,則ab=|a|b|cos ,由|ab|=|a|b|得|cos |=1,則兩向量的夾角為0或,所以ab.若ab,則a與b同向或反向,故兩向量的夾角為0或,則|cos |=1,所以|ab|=|a|b|,故“|ab|=|a|b|”是“ab”的充分必要條件.4.(2013陜西,理4)某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查,將840人按1,2,840隨機編號,則抽取的42人中,編號落入?yún)^(qū)間481,720的人數(shù)為().A.11B.12C.13D.14答案:B解析:84042=20,把1,2,840分成42段,不妨設(shè)第1段抽取

4、的號碼為l,則第k段抽取的號碼為l+(k-1)20,1l20,1k42.令481l+(k-1)20720,得25+1-l20k37-l20.由1l20,則25k36.滿足條件的k5.(2013陜西,理5)如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點處各有一個通信基站,假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點,則該地點無信號的概率是().A.1-4B.2C.2-2D.答案:A解析:S矩形ABCD=12=2,S扇形ADE=S扇形CBF=4.P=S矩形ABCD-S扇形6.(2013陜西,理6)設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),則下

5、列命題中的假命題是().A.若|z1-z2|=0,則zB.若z1=z2,則z1C.若|z1|=|z2|,則z1z1=z2D.若|z1|=|z2|,則z答案:D解析:對于選項A,若|z1-z2|=0,則z1=z2,故z1=z2,正確;對于選項B,若z1=z2,則z1=z2=z2,正確;對于選項C,z1z1=|z1|2,z2z2=|z2|2,若|z1|=|z2|,則z1z1=z2z2,正確;對于選項D,如令z1=i+1,z2=1-i,滿足|z1|=|z27.(2013陜西,理7)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則ABC的形狀為().A.

6、銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定答案:B解析:bcos C+ccos B=asin A,由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,sin(B+C)=sin2A,即sin A=sin2A.又sin A0,sin A=1,A=2,故ABC為直角三角形8.(2013陜西,理8)設(shè)函數(shù)f(x)=x-1x6,x0時,f(x)=-x0,則ff(x)=-x+1x6=x-1x6.Tr+1=C6r(x)6-r-1xr=(-1)rC6rx6-r2x9.(2013陜西,理9)在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(

7、單位:m)的取值范圍是().A.15,20B.12,25C.10,30D.20,30答案:C解析:設(shè)矩形另一邊長為y,如圖所示.x40=40-y40,則x=40-y,y=40-x.由xy300,即x(40-x)300,解得10 x10.(2013陜西,理10)設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù),則對任意實數(shù)x,y,有().A.-x=-xB.2x=2xC.x+yx+yD.x-yx-y答案:D解析:對于選項A,取x=-1.1,則-x=1.1=1,而-x=-1.1=-(-2)=2,故不正確;對于選項B,令x=1.5,則2x=3=3,2x=21.5=2,故不正確;對于選項C,令x=-1.5,y=-2.5,則x

8、+y=-4=-4,x=-2,y=-3,x+y=-5,故不正確;對于選項D,由題意可設(shè)x=x+1,011,y=y+2,021,則x-y=x-y+1-2,由011,-1-20,可得-11-21.若01-21,則x-y=x-y+1-2=x-y;若-11-20,則01+1-21,x-y=x-y+1-2=x-y-1+1+1-2=x-y-1x-y,故選項D正確.第二部分(共100分)二、填空題:把答案填寫在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上(本大題共5小題,每小題5分,共25分).11.(2013陜西,理11)雙曲線x216-y2m=1的離心率為5答案:9解析:由雙曲線方程知a=4.又e=ca=54,解得c=5,1

9、2.(2013陜西,理12)某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為.答案:解析:由三視圖可知該幾何體是如圖所示的半個圓錐,底面半圓的半徑r=1,高SO=2,則V幾何體=1313.(2013陜西,理13)若點(x,y)位于曲線y=|x-1|與y=2所圍成的封閉區(qū)域,則2x-y的最小值為.答案:-4解析:由y=|x-1|=x-1,x令2x-y=z,則y=2x-z,畫直線l0:y=2x并平移到過點A(-1,2)的直線l,此時-z最大,即z最小=2(-1)-2=-4.14.(2013陜西,理14)觀察下列等式12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10照此規(guī)律,第n個等式可

10、為.答案:12-22+32-42+(-1)n+1n2=(-1)n+1n解析:第n個等式的左邊第n項應(yīng)是(-1)n+1n2,右邊數(shù)的絕對值為1+2+3+n=n(n+1)2,故有12-22+32-42+(-1)n+1n2=(-115.(2013陜西,理15)(考生注意:請在下列三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評分)A.(不等式選做題)已知a,b,m,n均為正數(shù),且a+b=1,mn=2,則(am+bn)(bm+an)的最小值為.答案:2解析:(am+bn)(bm+an)=abm2+(a2+b2)mn+abn2=ab(m2+n2)+2(a2+b2)2abmn+2(a2+b2)=4ab+2

11、(a2+b2)=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2=2(當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時等號成立).B.(幾何證明選做題)如圖,弦AB與CD相交于O內(nèi)一點E,過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P,已知PD=2DA=2,則PE=.答案:6解析:C與A在同一個O中,所對的弧都是BD,則C=A.又PEBC,C=PED.A=PED.又P=P,PEDPAE,則PEPA=PDPE,PE2=PAPD.又PD=2DA=2,PA=PD+DA=3,PE2=32=6,C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)如圖,以過原點的直線的傾斜角為參數(shù),則圓x2+y2-x=0的參數(shù)方程為.答案:x=cos2解析:由三角函數(shù)定義知yx=ta

12、n (x0),y=xtan ,由x2+y2-x=0得,x2+x2tan2-x=0,x=11+tan2=cos2,則y=xtan =cos2tan =sin cos ,又=2時,x=0,y=0也適合題意,三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(本大題共6小題,共75分).16.(2013陜西,理16)(本小題滿分12分)已知向量a=cosx,-12,b=(3sin x,cos 2x),xR,設(shè)函數(shù)f(x)=(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在0,解:f(x)=cosx,-12(3sin x=3cos xsin x-12cos=32sin 2x-12=cos6sin 2x-

13、sin6=sin2x-(1)f(x)的最小正周期為T=2=即函數(shù)f(x)的最小正周期為.(2)0 x2-62x-6當(dāng)2x-6=2,即x=3時,f(當(dāng)2x-6=-6,即x=0時,f(0)=-當(dāng)2x-6=56,即x=f(x)的最小值為-12因此,f(x)在0,2上的最大值是1,最小值是17.(2013陜西,理17)(本小題滿分12分)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列.(1)推導(dǎo)an的前n項和公式;(2)設(shè)q1,證明數(shù)列an+1不是等比數(shù)列.(1)解:設(shè)an的前n項和為Sn,當(dāng)q=1時,Sn=a1+a1+a1=na1;當(dāng)q1時,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn

14、,-得,(1-q)Sn=a1-a1qn,Sn=a1(1-qn(2)證明:假設(shè)an+1是等比數(shù)列,則對任意的kN+,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),ak+12+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2a12q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qa10,2qk=qk-1+qk+1.q0,q2-2q+1=0,q=1,這與已知矛盾,假設(shè)不成立,故an+1不是等比數(shù)列.18.(2013陜西,理18)(本小題滿分12分)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O平面ABCD,AB=AA1=2.(1)證明:A1C平面B

15、B1D1D;(2)求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小.(1)證法一:由題設(shè)易知OA,OB,OA1兩兩垂直,以O(shè)為原點建立直角坐標(biāo)系,如圖.AB=AA1=2,OA=OB=OA1=1,A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).由A1B1=AB,易得B1(-1,A1C=(-1,0,-1),BD=(0,-2,BB1=(-1,0,A1CBD=0,A1CA1CBD,A1CBB1,A1C平面BB1D1D.證法二:A1O平面ABCD,A1OBD.又ABCD是正方形,BDAC,BD平面A1OC,BDA1C.又OA1是AC的中垂線,A1A=A1C=2

16、,且AC=2,AC2=AA12+A1C2,AA1C是直角三角形,AA1A又BB1AA1,A1CBB1,A1C平面BB1D1D.(2)解:設(shè)平面OCB1的法向量n=(x,y,z),OC=(-1,0,0),OB1=(-1,1,n取n=(0,1,-1),由(1)知,A1C=(-1,0,-1)是平面BB1D1Dcos =|cos|=又02,=19.(2013陜西,理19)(本小題滿分12分)在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙

17、和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中隨機選3名歌手.(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率;(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解:(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”,B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”,則P(A)=C21C32=23事件A與B相互獨立,觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為P(AB)=P(A)P(B)=P(A)1-P(B)=2(2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”,則P(C)=C4X可能的取值為0,1,2,3,且取這些值的概率分別為P(X=0)=P(A B CP(X=1)=P(A B C)+P(A

18、 B C)+P(A=23P(X=2)=P(A B C)+P(A B C)+P(A B C)=23P(X=3)=P(ABC)=23X的分布列為X0123P4203318X的數(shù)學(xué)期望EX=0475+12075+2337520.(2013陜西,理20)(本小題滿分13分)已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;(2)已知點B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是PBQ的角平分線,證明直線l過定點.(1)解:如圖,設(shè)動圓圓心O1(x,y),由題意,|O1A|=|O1M|,當(dāng)O1不在y軸上時,過O1作O1HMN交MN于

19、H,則H是MN的中點,|O1M|=x2+42,又|O(x化簡得y2=8x(x0).又當(dāng)O1在y軸上時,O1與O重合,點O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y2=8x,動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.(2)證明:由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),將y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,其中=-32kb+640.由求根公式得,x1+x2=8-2bkx1x2=b2k因為x軸是PBQ的角平分線,所以y1x1即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,將,代入得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,k=-b,此時0,直線l的方程為y=k(x-1),即直線l過定點(1,0).21.(2013陜西,理21)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ex,xR.(1)若直線y=kx+1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切,求實數(shù)k的值;(2)設(shè)x0,討論曲線y=f(x)與曲線y=m