1、2021/9/111無套利原理的應用2021/9/112主要內容無套利原理遠期和期權的合約價值討論遠期價格投資資產消費資產期權價格的上下限無紅利情形有紅利情形2021/9/113二元期權(binary)現金或無價值 Call (Cash-or-nothing Call): 到期收益為 VT = R，當 ST K 時； VT =0，當 ST K 時.資產或無價值 Call (Asset-or-nothing Call): VT = ST ，當 ST K 時； VT =0， 當 ST K 時. C0 =VA - KVC2021/9/114貸款的價值（1）考慮一筆1年期貸款，到期還款數額為B。借款企

2、業在一年內用該筆貸款進行投資生產，在貸款到期日，銀行的收益如右圖企業資產V銀行收益B AC B2021/9/115貸款的價值（2）銀行放貸后，其在到期日的收益和某看跌期權收益相似。設企業的資產價值為V，則在貸款到期日T，貸款的價值 = 銀行的收益，即 銀行的收益= min VT,B =B-maxB-VT,0 =B-(B-VT)+2021/9/116貸款的價值（3）由無套利原理可得， 該筆貸款t時刻的價值 = Be-r(T-t) P (V, t; B,T)，這里P(V,t;B,T)表示標的資產為V，敲定價格為B，到期日為T的歐式看跌期權在t時刻的價值.P(V,t;B,T)度量了貸款的信用風險。2

3、021/9/117公司股權的價值假設公司只有一筆負債，且到期償付金額為D；公司資產(V)=股東權益(E)+負債(D)；在債務到期日，股權價值為當VT D時，ET = VT D；當VT r, 則遠期匯率小于現貨匯率，即外匯遠期貼水；若rf rl 。這時遠期和期貨的價格區間為對于遠期多頭，期初賣空S，期末執行遠期還S，則收益= Sexprl(T-t)-F；對于遠期空頭，期初借錢買入S，期末執行遠期還錢，則收益= F-Sexprb(T-t)。2021/9/1127摩擦市場的定價-存在賣空限制因為賣空會給經紀人帶來很大風險，所以幾乎所有的經紀人都扣留賣空客戶的部分所得作為保證金。假設賣空限制增加的成本

4、比例為X ，那么遠期和期貨價格區間為注意，賣空出現在持有遠期多頭的情形，對于遠期空頭方不受影響。2021/9/1128非完美市場的定價公式如果上述三種情況同時存在，遠期和期貨價格區間為：完美市場可以看成是X = 0, Y = 0, rb = rl= r 的特殊情況。2021/9/1129消費資產消費資產主要是為了進行消費而持有的資產。消費資產的使用者認為持有實實在在的商品要比持有期貨或遠期合約更有好處。投資資產是眾多投資者僅為了進行投資而持有的資產。只要有利可圖，這些投資者會賣出他們的持有物并買入遠期。2021/9/1130消費商品的遠期價格消費商品(石油，玉米)一般不支付收益，但會有很大的貯

5、存成本。設成本現值為U。如果某消費商品的遠期價格F0滿足 F0 (S0+U)exprT, 那么市場上存在套利機會。因此，對于消費類商品的遠期價格應滿足 F0 (S0+U)exprT。Short：借錢買入S并交納存儲費，同時持有遠期空頭對于投資資產的遠期這時也存在套利機會：賣出S并持有遠期多頭。2021/9/1131便利收益對于消費類商品，通過持有現貨，即實際商品可以使生產商從暫時的當地商品短缺中獲利，或者具有維持生產線運行的能力。這種持有實際商品現貨帶來的好處稱為商品的便利收益。如果已知貯存成本的現值U,那么使得 F0expgT=(S0+U)exprT 成立的g，就定義為便利收益。2021/9

6、/1132期限結構設F1和F2是基于同一種商品的兩份期貨，到期日分別為T1 和 T2，且T2T1，則 F2 F1expr(T2-T1)。否則，F2F1exp(r(T2-T1)。這時持有到期為T1的多頭，和到期T2的空頭。在T1時借F1買入商品并持有到T2；在T2時用商品換成F2，并還錢F1exp(r(T2-T1), 套利出現。T1T202021/9/1133練習 黃金的現價為每盎司$1100, 一年后交割的黃金遠期價格為每盎司$1300。 一位套利者可以10%的年利率借到錢。問：套利者該如何操作才能獲利？假設黃金本身不產生收入，儲存費用為U且到期支付。2021/9/1134總結由現貨-遠期平價

7、公式知遠期(期貨)與現貨的相對價格只與持有成本有關，與預期未來現貨的漲跌無關。標的資產的現貨價格對同一時刻的遠期(期貨)價格有重要的制約關系。理論上遠期(期貨)價格取決于現貨價格，但在實際中體現為遠期(期貨)價格與現貨價格同時對新信息做出反應。實證表明遠期(期貨)價格有價格發現功能。2021/9/1135期權價格的性質2021/9/1136期權價格的上限看漲期權在任何情況下，其價值都不會超過股票的價值，即 c0 S0，C0 S0看跌期權在任何情況下，其價值都不會超過敲定價格K的現值，即 p0 Ke-rT，P0 Kc和p表示歐式期權，C和P表示美式期權。否則，賣出C買入S否則，賣出P并存入銀行2

8、021/9/1137歐式期權價值的估計對0,T)中的任意時刻t,有 (St Ke-r(T-t)+ ct St (Ke-r(T-t) -St )+ pt Ke-r(T-t)平價公式(call-put parity) ct + Ke-r(T-t) = pt + St ， 對0,T中的所有時刻t都成立。2021/9/1138不支付紅利：Put-Call Parity考慮下面兩個投資組合組合1：買歐式看漲，買面值為K的零息貼現債券；組合2：買歐式看跌和標的股票。在到期日，兩個組合的價值都是 max(ST ,K) 由無套利原理II知， c0 + Ke-rT = p0 + S0 2021/9/1139歐式

9、看漲期權-套利機會?設 c0 = $3 S0 = $20 T = 1年 r = 10%(年利率) K = $18 D = 0(不支付紅利) 是否存在套利機會? （e-0.1=0.9048；18e-0.1=16.2871；17e0.1=18.79）由于c018,執行call，買入股票并償還。總收益18.79-18=$0.79。2021/9/1140歐式看跌期權-套利機會?設 p0 = $1 S0 = $37 T = 0.5年 r = 5%(年利率)K = $40 D = 0(不支付紅利)是否存在套利機會? （e0.025=1.0253；40e-0.025=39.0124； 38e0.025=38

10、.9614）由于p0 Ke-rT-S0，故存在套利機會：初始時刻，借款$38買put和股票，期限半年，到期還銀行38e0.025=38.9614；半年后，S S0 (1- e-rT)故 V0 S0 這說明，投資者希望只投資S0 ,并享有收益maxST,S0是不現實的，因為投行或保險公司不可能免費提供這種服務。2021/9/1143本金保底產品的設計向顧客收取一次性費用，費用的大小是 V0 - S0不多收取本金，但調整產品的到期收益為 S0 + p max ST - S0,0 其中，p介于0，1之間，稱為投資參與百分比。p的選取是使得投資額與S0相等。2021/9/1144美式和歐式期權比較美式

11、期權的持有人總是有機會提前實施。與歐式期權相比，美式期權的持有人有更多獲益的機會，故其價值不小于相應的歐式期權，即 Ct ct Pt pt否則，賣出歐式，買入美式2021/9/1145美式期權價值的估計對0,T)中的任意時刻t,有ct Ct ； pt Pt Ct (St -K)+ ； Pt (K-St)+在不支付紅利的情形下，有Ct = ctSt - K Ct Pt St Ke-r(T-t) (St -K)+ (St Ke-r(T-t)+ K2 ,則 0 ct(K2)-ct(K1) K1K2 0 pt(K1)-pt(K2) K1K2 2021/9/1148續設 K=K1+(1-)K2 , 0,

12、1, 則有 ct(K) ct(K1)+(1-)ct(K2)， pt(K) pt(K1)+(1-)pt(K2)。 對任意 0, 有 ct(St ,K) = ct(St,K)， pt(St ,K) = pt(St,K)。2021/9/1149紅利對歐式期權價格下界的影響組合1：c+D+Ke-rT組合2：S在到期日，V1=maxST,K+DT V2=ST + DT組合1：D+Ke-rT組合2：p+S在到期日，V2=maxST,K+DT V1=DT + K2021/9/1150紅利對期權價格的影響歐式期權平價公式：D 0 c0 + D + Ke-rT = p0 + S0 美式期權：D 0 S0 - D - K C0 P0 S0 - Ke-rT (思考？)2021/9/1151支付紅利的美式Call（紅利率q）若不提前實施,在到期日T的收益為(ST-K)+ ；若在t時刻股價上升到一定程度, 則立即實施：借現金K買入股票St ,只要St足夠大，使得紅利qSt足以抵消貸款利息K(er(T-t) -1 ),于是提前實施所得收益就可能超過不提前實施的收益。由于紅利的存在, 當原生資