1、內容索引010203自主預習 新知導學合作探究 釋疑解惑隨堂練習課標定位素養闡釋1.理解等差數列的概念.2.掌握等差數列的通項公式及運用.3.掌握等差數列的判定方法.4.體會數學抽象的過程,提升邏輯推理能力與數學運算能力.自主預習 新知導學一、等差數列的概念【問題思考】1.觀察下面幾組數列:0,5,10,15,20,25,;9,6,3,0,-3,-6,;2,2,2,2,2,2,.(1)每個數列從第2項起,每一項與前一項的差分別是幾?提示:從第2項起,每一項與前一項的差分別是5,-3,0.(2)每個數列中,相鄰兩項的遞推關系分別是什么?提示:分別是an+1-an=5,an+1-an=-3,an+

2、1-an=0.(3)這幾個數列都有什么共同特點?提示:從第2項起,每一項與前一項的差都是同一個常數.2.填空:一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,公差通常用字母 d 表示.符號語言: an+1-an=d (d為常數,nN*).二、等差中項【問題思考】1.如果三個數a,A,b成等差數列,那么它們之間有怎樣的數量關系?提示:因為A-a=b-A,所以a+b=2A.2.填空:(1)由三個數a,A,b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列.這時,A叫做a與b的等差中項.根據等差數列的定義可以知道,2A= a+b

3、 .3.做一做:方程x2+6x+1=0的兩根的等差中項為()A.1B.6C.-6D.-3解析:設方程的兩根為x1,x2,則x1+x2=-6,答案:D 三、等差數列的通項公式【問題思考】1.已知等差數列1,3,5,7,你能歸納出它的通項公式嗎?怎樣表示?提示:能.an=2n-1.2.在等差數列an中,能不能用a1與d表示an呢?怎樣表示?提示:能.an-a1=(n-1)d,移項可得an=a1+(n-1)d.3.填空:首項為a1,公差為d的等差數列an的通項公式為an= a1+(n-1)d .4.做一做:已知等差數列an的首項a1=4,公差d=-2,則通項公式an=()A.4-2nB.2n-4C.

4、6-2nD.2n-6解析:an=a1+(n-1)d=4+(n-1)(-2)=-2n+6.答案:C四、從函數角度認識等差數列an【問題思考】1.觀察等差數列的通項公式,你認為它與我們熟悉的哪一類函數有關?提示:等差數列an的第n項an是一次函數f(x)=dx+(a1-d)當x=n時的函數值,即an=f(n).2.填空:若數列an是等差數列,首項為a1,公差為d,則an=f(n)=a1+(n-1)d =nd+(a1-d).(1)點(n,an)落在直線 y=dx+a1-d 上;(2)這些點的橫坐標每增加1,其函數值增加 d ;(3)若d0,則數列an是遞增數列;若d0(n2),所以數列an是公差為2

5、的遞增等差數列.故選A.答案:A(2)判斷下列數列是不是等差數列,并給出證明.an=4-2n;an=n2+n.解:是等差數列.證明如下:當nN*時,an+1-an=4-2(n+1)-(4-2n)=4-2n-2-4+2n=-2(常數),故an是等差數列,且公差為-2.不是等差數列.證明如下:因為a1=2,a2=6,a3=12,所以a2-a1a3-a2,所以an不是等差數列.反思感悟 1.給出了數列的通項公式,要判斷是否為等差數列可以用定義法,也可以直接看通項公式是否為an=kn+b(k,b為常數,nN*)的形式,若符合此形式,則為等差數列,否則不是.2.定義是判斷一個數列是否為等差數列的重要依據

6、,要證明一個數列為等差數列,可用an+1-an=d(常數)(nN*)或它的等價命題,但若要說明一個數列不是等差數列,則只需舉出反例.【變式訓練1】 (1)(多選題)下列通項公式所表示的數列中,是等差數列的是()A.an=2B.an=8-3nC.an=log37nD.an=n2-3n解析:由等差數列的定義可知,A項中的數列是公差為0的等差數列;B項中的數列是公差為-3的等差數列;C項中的數列是公差為log37的等差數列;D項中的數列,由通項公式知,a1=-2,a2=-2,a3=0,而a2-a1a3-a2,所以該數列不是等差數列.答案:ABC(2)判斷下列數列是不是等差數列.5,8,11,3n+2

7、,;1,1,1,1,;-3,-2,-1,1,2,3,4,.解:根據等差數列的定義可知,該數列是首項為5,公差為3的等差數列.根據等差數列的定義可知,該數列是首項為1,公差為0的等差數列.由于1-(-1)2-1,故該數列不是等差數列.探究二等差數列的基本運算【例2】 (1)已知an為等差數列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,則a5=()A.1B.2C.3D.6解析:an為等差數列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,設其公差為d,a5=a1+4d=-10+12=2.答案:B(2)在等差數列an中,已知a5=10,a12=31,求首項a1與公差d. 故這個等差數列的首項是-2,公差是3.反思

8、感悟 1.在等差數列an中,若已知am=a,an=b,一般列出關于a1,d的方程組 求出a1,d,從而確定該數列的通項公式.2.通項公式an=a1+(n-1)d中有四個量a1,d,n,an,求解過程中反映了“知三求一”的方程思想.在本例(2)中將條件改為“a1=2,a5=10,an=32”,求n的值.解:根據等差數列的通項公式a5=a1+4d,得10=2+4d,解得d=2.故an=a1+(n-1)d,代入解得n=16.【變式訓練2】 在等差數列an中,a5=9,且2a3=a2+6,則a1=()A.-3B.-2C.0D.1解析:設等差數列an的公差為d,故a1=-3.答案:A探究三等差中項及其應

9、用【例3】 (1)已知等差數列的前三項依次是x-1,x+1,2x+3,則其通項公式為()A.an=2n-5B.an=2n-3C.an=2n-1D.an=2n+1解析:x-1,x+1,2x+3是等差數列的前三項,2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,d=2,an=-1+2(n-1)=2n-3,故選B.答案:B(2)已知三個數成等差數列并且數列是遞增的,且它們的和為18,平方和為116,求這三個數.解法一:設這三個數為a,b,c,且abc,故這三個數是4,6,8.解法二:設這三個數為a-d,a,a+d,由得a=6.代入,得d=2.因為該數列是遞增的,所

10、以d=-2舍去.故這三個數為4,6,8.反思感悟 等差中項的應用策略(1)求兩個數x,y的等差中項A,即根據等差中項的定義,得A= .(2)當三個數或四個數成等差數列,且和為定值時,可設出首項a1和公差d列方程組求解,也可采用對稱的設法,三個數時,設a-d,a,a+d;四個數時,設a-3d,a-d,a+d,a+3d.利用和為定值先求出其中某個未知量,再進一步解題.(2)若lg a,lg b,lg c成等差數列,則 2lg b=lg a+lg c=lg ac,即b2=ac.答案:(1)A(2)B【易錯辨析】 對等差數列的定義理解不透致錯【典例】 若數列an的通項公式為an=10+lg 2n(nN

11、*),求證:數列an為等差數列.錯解:因為an=10+lg 2n=10+nlg 2,所以a1=10+lg 2,a2=10+2lg 2,a3=10+3lg 2,所以a2-a1=lg 2,a3-a2=lg 2,則a2-a1=a3-a2,故數列an為等差數列.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:a3-a2=a2-a1=常數,不能滿足等差數列的定義中“從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數”的要求.正解:因為an=10+lg 2n=10+nlg 2,所以an+1=10+(n+1)lg 2.所以an+1-an=10+(n+1)lg 2-(10+nlg 2

12、)=lg 2(nN*).所以數列an為等差數列.防范措施 定義是判斷一個數列是否為等差數列的重要依據,要證明一個數列an為等差數列,即證對任意nN*,都有an+1-an=d (常數).【變式訓練】 已知數列an的通項公式an=4n-1,nN*.(1)求log2a2,log2a3;(2)求證:數列log2an是等差數列.(1)解:log2a2=log24=2,log2a3=log216=4.(2)證明:log2an=log24n-1=(n-1)log24=2n-2,log2an+1=2(n+1)-2=2n.log2an+1-log2an=2n-(2n-2)=2.又log2a1=log240=0,

13、數列log2an是首項為0,公差為2的等差數列.隨堂練習1.在數列an中,a1=1,an+1=an+1,則a2 020等于()A.2 019B.2 020C.2 038D.2 040解析:由an+1-an=1,知an為等差數列且d=1.a1=1,an=a1+(n-1)d=n,a2 020=2 020.答案:B2.在等差數列an中,a2+a3=1+a4,a5=9,則a8=()A.14B.15C.16D.17解析:設等差數列an的公差為d,a2+a3=1+a4,a5=9,2a1+3d=1+a1+3d,a1+4d=9.聯立解得a1=1,d=2.a8=1+72=15.答案:B3.若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5,則m與n的等差中項是.解析:由m和2n的等差中項為4,則