1、證券組合理論 19952年，美美國經濟學家家哈里馬科維茨在在投資組合合選擇一文文中，第一次次提出了證券券組合理論。該該理論描述了了投資者怎樣樣通過證券組組合，在最小小風險水平下下獲得既定的的期望收益率率，或在風險險水平既定的的條件下獲得得最大期望收收益率。19963年，馬馬科維茨的學學生威廉.夏夏普提出了單單指數模型，旨旨在簡化證券券組合理論應應用于大規模模市場面臨的的計算問題。經經過幾十年的的發展，這些些理論已成為為證券投資學學的基本內容容。 第一一節 證券券的風險和收收益風險、收益及其其度量 收入可以以分解為消費費和儲蓄，儲儲蓄在一定條條件下可以轉轉化為投資。人人們進行投資資的直接動機機是

2、獲得收益益，投資決策策的目標是收收益最大化。投投資是放棄當當前的消費，目目的是為了將將來更多的消消費，但同樣樣貨幣支出當當前消費比將將來消費能給給人帶來更大大的滿足，因因此，投資者者要求對放棄棄當前消費給給予補償。不不僅如此，投投資在前，收收益在后，收收益是投資的的結果，受到到許多不確定定因素的影響響，投資者承承擔了風險，同同樣需要補償償。收益是投投資者放棄當當前消費和承承擔風險的補補償,投資者者在處理收益益率與風險的的關系時,總總是希望在風風險既定的情情況下,獲得得最大的收益益率;或在收收益率既定的的條件下,使使風險最小。那那么，如何計計量風險和收收益率呢。 任何一項投投資的結果都都可用收益

3、率率來衡量，通通常收益率的的計算公式為為： 收收益率（%）=（收入支出）/支支出100% 投資期限限一般用年來來表示，如果果期限不是整整數，則轉換換為年。在股股票投資中，投投資收益等于于期內股票紅紅利收益和價價差收益之和和，其收益率率的計算公式式為： r=（紅利+期末市價總總值期初市價總總值）/期初初市價總值100% 在通常情況況下，收益率率受許多不確確定因素的影影響，因而是是一個隨機變變量。我們可可假定收益率率服從某種概概率分布，即即已知每一收收益率出現的的概率，用表表列示如下：收益率（%）概率數學中求期望收收益率或收益益率平均數的的公式如下： 如果投資者以期期望收益率為為依據進行決決策，那

4、么他他必須意識到到他正冒著得得不到期望收收益率的風險險，實際收益益率與期望收收益率會有偏偏差，期望收收益率是使可可能的實際值值與預測值的的平均偏差達達到最小(最最優)的點估估計值。可能能的收益率越越分散，它們們與期望收益益率的偏離程程度就越大，投投資者承擔的的風險也就越越大，因而風風險的大小由由未來可能收收益率與期望望收益率的偏偏離程度來反反映。在數學學上，這種偏偏離程度由收收益率的方差差來度量。如如果偏離程度度用來度量，則則平均偏離程程度被稱為方方差，記為。 其平方根稱為標標準差，記為為。在實際進行行投資決策時時，將使用期期望收益率和和方差的具體體值，然而我我們無法得知知按公式計算算期望收益

5、率率和方差所需需要的概率分分布，因為無無法對影響收收益率的各種種復雜因素及及其影響程度度作出合理的的定量化的判判斷，企圖得得到一個較好好的估計也是是一件十分困困難的事情。收收益率的分布布并不隨時間間推移而發生生變化，實際際收益率的變變化來自于同同一分布的不不同表現，因因而反映收益益率變化的統統計規律的兩兩個重要的數數字特征期望收益率率和方差也不不隨時間而變變化。這樣，我我們便可以從從收益率的歷歷史數據得到到二者的估計計樣本均值和和樣本方差。假設證券的月月或年實際收收益率為 (t1，22，n)，通通常稱之為收收益率時間序序列的一段樣樣本，則樣本本均值為： 樣本方差為為： 數學上可以證明明、分別是

6、、的最優無偏偏估計。為了了和平均數在在形式上保持持一致，當較較大時，下式式成立： 二、風險的種類類不同的投資方方式會帶來不不同的投資風風險，風險產產生的原因和和程度也不盡盡相同，按風風險產生的原原因可將風險險分為:(1)市場風風險。這種風風險來自于市市場買賣雙方方供求不平衡衡引起的價格格波動，這種種波動使得投投資者在投資資到期時可能能得不到投資資決策時所期期望的收益率率。(2)偶然事事件風險。這這種突發性風風險其劇烈程程度和時效性性因事而異。如如自然災害、異異常氣候、戰戰爭危險的出出現；法律訴訴訟、專利申申請、高層改改組、兼并談談判、產品未未獲批準、信信用等級下降降等意外事件件的發生可能能引起

7、證券價價格的急劇變變化，這些都都是投資者在在進行投資決決策時無法預預料的。（3）通貨膨膨脹風險。投投資收益可分分為名義收益益和實際收益益，由于投資資者所期望的的是實際收益益，因而名義義收益和實際際收益的差別別亦至關重要要。這種差別別通過通貨膨膨脹來反映。通通貨膨脹可分分為“期望型”和“意外型”，前者是投投資者根據以以往的數據資資料對未來通通貨膨脹的預預計，也是他他們對未來投投資索求補償償的依據；后后者則是他們們始料不及的的。短期債券券和具有浮動動利率的中長長期債券由于于考慮了通貨貨膨脹補償，因因而可以降低低期望型貶值值風險；股票票和固定利率率的長期債券券的投資者則則同時承受這這兩種風險，期期限

8、越長，貶貶值風險越大大。其關系為為： 式中：為年初通通貨膨脹水平平；為年末通通貨膨脹水平平；MS為名名義收益率；SS為實際際收益率。TC為通貨膨脹脹水平的變化化率，即通貨貨膨脹率： 為簡便計算，也也可以： 1 1 威廉.P.夏普：投資學第74頁，中國人民大學出版社1998年出版。（4）破產風風險。這是股股票、債券特特別是中小型型或新創公司司的投資者必必須面對的風風險。當公司司由于經營管管理不善或其其他原因導致致負債累累，難難以維持時，它它可能申請破破產法的保護護，策劃公司司的重組，甚甚至宣布倒閉閉。因此破產產風險表現為為當公司宣布布破產時，股股票、債券價價格急劇下跌跌，以及在公公司真正倒閉閉時

9、，投資者者可能血本無無歸。（5）違約風險險。這是投資資于“固定收入證證券”的投資者所所面臨的風險險，這類證券券在發行時向向投資者保證證，他們可以以在未來一段段時間內得到到確定金額的的收入，這筆筆金額可能是是在證券到期期時一次性發發放，也可能能在有效期內內多次性發放放。然而當公公司現金周轉轉不靈，財務務出現危機時時，這種事先先承諾可能無無法兌現。 （6）利率率風險。利率率提高，債券券的機會成本本增加，因而而債券的價格格與利率成反反向變動，利利率升高，債債券價格下降降。相對而言言，違約與破破產風險僅是是少數債券的的不良表現，而而利率風險比比違約風險和和破產風險涉涉及面更廣，影影響力更大，時時效更長

10、。債債券價格更頻頻繁、更強烈烈地受到利率率變化的影響響，從對利率率變化的敏感感度講，長期期債券要大于于短期債券，無無息債券要大大于有息債券券，低息債券券要大于高息息債券，一次次性付息債券券要大于分期期付息債券。（7）政治風風險。各國的的金融市場都都與其政治局局面、經濟運運行、財政狀狀況、外貿關關系、投資環環境等息息相相關，因此投投資于外國有有價證券時，投投資者除了承承擔匯率風險險外還面臨這這種宏觀風險險。 按風險的性性質以及應付付的措施可以以將總風險分分為系統風險險和非系統風風險兩個部分分，在數量上上風險等于這這二者之和。系統風險是與與市場整體運運動相關聯的的。通常表現現為某個領域域、某個金融

11、融市場或某個個行業部門的的整體變化。它它涉及面廣，往往往使整個一一類或一組證證券產生價格格波動。這類類風險因其來來源于宏觀因因素變化對市市場整體的影影響，所以亦亦稱為“宏觀風險”。前面提及及的市場風險險、通貨膨脹脹風險、利率率風險和政治治風險均屬系系統風險。非系統風險只只同某個具體體的股票、債債券相關聯，而而與其他有價價證券無關，也也就同整個市市場無關。這這種風險來自自于企業內部部的微觀因素素，所以亦稱稱為“微觀風險”。前面提到到的偶然事件件風險、破產產風險、違約約風險等均屬屬此類。應付這兩類風險險的措施是不不同的，對于于非系統風險險，可采用分分散投資來弱弱化甚至消除除，令人遺憾憾的是分散投投

12、資絲毫不能能改變系統風風險，人們通通常可以看到到當股市劇烈烈波動時，只只有極少數股股票能幸免，即即便是投資完完全分散化的的指數型證券券投資基金也也不例外。完完全分散化可可以消除非系系統風險，同同時系統風險險趨于正常的的平均水平即市場整整體水平。那那么如何才能能有效地降低低系統風險呢呢?一種辦法法是將風險證證券與無風險險證券進行投投資組合，當當增加無風險險證券的投資資比例時，系系統風險將降降低，極端的的情況是將全全部資金投資資于無風險證證券上，這時時風險便全部部消除。但是是絕對的無風風險證券實際際上是不存在在的。另一種種辦法是套期期保值，它本本思想是在現現貨和衍生工工具市場上進進行數量相等等、方

13、向相反反的操作，使使它們互為消消長。 第二節 證券組合的的風險和收益益 證券投資資的收益率是是一個遵循某某一概率分布布的隨機變量量，要了解其其真實分布是是很困難的，一一種簡化的方方法是用分布布的兩個特征征期望收益益率和方差來來描述。單一一證券的收益益率和風險我我們用期望收收益率和方差差來計量，一一個證券組合合由一定數量量的單一證券券構成，每一一個證券占有有一定的比例例，我們也可可將證券組合合視為一只證證券。那么，證證券組合的收收益率和風險險也可用期望望收益率和方方差來計量。不不過，證券組組合的期望收收益率和方差差可通過由其其構成的單一一證券的期望望收益率和方方差來表達。我我們以下討論論兩種證券

14、的的組合。一、兩種證券券組合的收益益率和方差設有兩種證券券A和B，某某投資者將一一筆資金以的的比例投資于于證券A，以以的比例投資資于證券B，且且1，稱該該投資者擁有有一個證券組組合P。如果果到期時，證證券A的收益益率為，證券券B的收益率率為，則證券券組合P的收收益率為： 證券組合中中的權數可以以為負，比如如0，則表表示該組合賣賣空了證券AA，并將所得得的資金連同同自有資金買買入證券B，因因為1，故有有1。投資者在進行行投資決策時時并不知道和和的確切值，因因而、應為隨機變變量，對其分分布的簡化描描述是它們的的期望值和方方差。為得到到投資組合PP的期望收益益率和收益率率的方差，我我們除了要知知道A

15、、B兩兩種證券各自自的期望收益益率和方差外外，還須知道道它們的收益益率之間的關關聯性相關系數數或協方差，這這是因為： （7，1） （77，2） 選擇不不同的組合權權數，可以得得到包含證券券A和證券BB的不同的證證券組合，從從而得到不同同的期望收益益率和方差，投投資者可以根根據自己對收收益率和方差差(風險的)的偏好，選選擇自己最滿滿意的組合。二、兩種證券券組合的圖形形如果用前述兩兩個數字特征征期望收益益率和標準差差來描述一種種證券，那么么任意一種證證券可用在以以期望收益率率為縱坐標和和標準差為橫橫坐標的坐標標系中的一點點來表示，相相應地，任何何一個證券組組合也可以由由組合的期望望收益率和標標準差

16、確定出出坐標系中的的一點，這一一點將隨著組組合的權數變變化而變化，其其軌跡將是經經過A和B的的一條連續曲曲線，這條曲曲線稱為證券券A和證券BB的結合線。可可見結合線實實際上在期望望收益率和標標準差的坐標標系中描述了了證券A和證證券B所有可可能的組合。根據式(5，11)和(5，22)及1，A、BB的證券組合合P的結合線線由下述方程程所確定： （7，33） （7，44）給定證券A、BB的期望收益益率和方差，證證券A與證券券B的不同的的關聯性將決決定A、B的的不同的結合合線。1、完全正相關關下的結合線線在完全正相關關下，方程程(5，3)(5，4)變為： 假定不允允許賣空，即即，則： （7，5）因為，

17、與是線性性關系，而與與是線性關系系，所以，與與之間也是線線性關系。為為了得到該直直線，令，則則，得到直線線上的一點；令，則，得到直線線上的另一點點，連接這兩兩點得一直線線，見（圖55，1）。 A F BB 0 圖（7，11）時的結合合線假設證券A與BB風險狀況不不同，即 (此時A、BB不會落在一一條垂直于橫橫坐標的直線線上)，由式式(5，5)，令解得： （77，6）在圖（7，11）中，故故0，為得得到無風險組組合，需賣空空證券B，賣賣空占自有資資金的比例是是，無風險組組合將落在自自A到B連線線的延長線的的F點上。將式(5，66)代入式(5，3)得得無風險收益益率為： 所以圖（77，1）中，無無

18、風險組合的的坐標為 （00，）。 綜上所述述，在A、BB完全正相關關的情形下，只只要，無論將將來證券A和和證券B的收收益率狀況如如何，總可以以選擇組合得得到一個恒定定的無風險收收益率，我們們稱該組合為為一個無風險險組合或0方方差組合。為為了得到這個個無風險組合合，要賣空方方差較小的證證券。因為證證券A與B完完全正相關時時，它們完全全同向變化，通通過賣空一種種證券，使得得它們成為完完全反向的證證券，從而可可以通過組合合抵消風險。2、完全負相相關下的結合合線在完全負相關關情況下，1，方程程(5，3)和(5，44)變為： （7，77）這時，與是分分段線性關系系，其結合線線如圖（7，22）。 A B

19、0 圖（77，2）時的的結合線 從圖（7，22）可以看出出，在完全負負相關的情況況下，按適當當比例買入證證券A和證券券B可以形成成一個無風險險組合，得到到一個穩定的的收益率。這這個適當比例例通過令式(5，7)中中0得到： 因為均大于00，所以必須須同時買入證證券A和B，這這一點很容易易理解，因為為證券A和BB完全負相關關，二者完全全反向變化，因因而同時買入入兩種證券可可抵消風險。所所能得到的無無風險收益率率為： 3、不相關情情形下的結合合線當證券A與BB的收益率不不相關時，0，方程(5，3)和和(5，4)變為： （7，8）該方程確定的的與的曲線是一一條經過A和和B的雙曲線線，如圖（77，3）：

20、 A B 圖（77，3）時的的結合線為了得到方差差最小的證券券組合，對（77，8）求極極小值： 令，解出： 顯然有，分別別以買入證券券A和B，可可獲得最小方方差，即可以以通過按適當當比例買入兩兩種證券，獲獲得比兩種證證券中任何一一種風險都小小的證券組合合。圖（7，3）中中，C點為最最小方差組合合。結合線上上介于A與BB之間的點代代表的組合由由同時買入證證券A和B構構成，越靠近近A，買入AA越多，買入入B越少。而而A點的東北北部曲線上的的點代表的組組合由賣空BB，買入A形形成，越向東東北部移動，組組合中賣空BB越多；反之之，B的東南南部曲線上的的點代表的組組合由賣空AA，買入B形形成，越向東東南

21、部移動，組組合中賣空AA越多。三、結合線的的一般情形及及性質現在討論一般般的情況，在在不完全相關關的情形下，由由于，方程(5，3)、(5，4)不不會有任何簡簡化，方程(5，3)、(5，4)在在一般情形下下所確定的曲曲線是一 條條雙曲線。相相關系數決定定結合線在AA與B之間的的彎曲程度，隨隨著的增大，彎彎曲程度將降降低。當時，彎彎曲程度最小小，呈直線；當時，彎曲曲程度最大，呈呈折線；不相相關是一種中中間狀態，比比正完全相關關彎曲程度大大，比負完全全相關彎曲程程度小。 A E BB 0 圖（7，4）相相關系數不同同的證券組合合 從結合線線的形狀來看看，相關系數數越小，在不不賣空的情況況下，證券組組

22、合可獲得越越小的風險，特特別是負完全全相關的情況況下，可獲得得無風險組合合。在不相關關的情況下，雖雖然得不到一一個無風險組組合，但可得得到一個組合合，其風險小小于A、B中中任何一個單單個證券的風風險。當A與與B的收益率率不完全負相相關時，結合合線在A，BB之間比不相相關時更彎曲曲，因而能找找到一些組合合(不賣空)使得風險小小于A和B的的風險，比如如圖（7，44）中的情形形。但圖中時時，則得不到到一個不賣空空的組合使得得風險小于單單個證券的風風險。可見不不賣空的情況況下，組合降降低風險的程程度由證券間間的關聯程度度決定。實際上可以證證明：設，當當且僅當時，才才能在不賣空空的情況下獲獲得一些組合合

23、，使其風險險小于單個證證券的風險；當時，將資資金全部投資資于單個證券券B(即)時時風險最小；如果，則必必須賣空證券券B才能獲得得某些組合，使使得風險小于于單個證券的的風險。從整整體上看，如如果不允許賣賣空，越小，在在同等風險的的情況下，證證券組合的期期望收益率越越大；或從另另一角度來說說，在相同的的期望收益率率下，承擔的的風險越小。由由此可見，證證券間的相關關性越小，證證券組合創造造的潛在收益益率越大。 第三節 證券組合合的可行域及及有效域 一、證證券組合的期期望收益率和和方差這里將把兩個個證券的組合合的討論拓展展到任意多個個證券的情形形。設有N種種證券，記作作，證券組合合P（）表表示將資金分

24、分別以權數，投投資到證券。如如果允許賣空空，則權數可可以為負，負負的權數表示示賣空相應證證券占總資金金的比例。正正如兩種證券券的投資組合合情形一樣，證證券組合的收收益率等于各各單個證券的的收益率的加加權平均。即即：設的收益益率為(i1，2 ，N)，則證券組合P()的收益率為： 推導可得得證券組合PP的期望收益益率和方差為為： （7，99） （7，110） 式中，為為的收益率的方方差；為與的相關系數數(i、j1，22，N)。 由式(55，9)和（7，110）可知，要要估計和，當N非常常大時，計算算量十分巨大大，在計算機機技術尚不發發達的20世世紀50年代代，證券組合合理論不可能能運用于大規規模市

25、場，只只有在不同種種類的資產間間，如股票、債債券、銀行存存單之間分配配資金時，才才可能運用這這一理論。220世紀600年代后，馬馬柯維茨的學學生威廉.夏普提出了了指數模型以以簡化計算，隨隨著計算機技技術的發展，已已開發出計算算和的計算機運運用軟件，如如Matlaab、SPSS和Eviewws等，大大大方便了投資資者。二、證券組合合的可行域 在允許賣賣空的情況下下，如果只考考慮投資于兩兩種證券A和和B，投資者者可以在結合合線上獲得任任意自己滿意意的位置，即即結合線上的的組合均是可可行的(合法法的)。如果果不允許賣空空，則投資者者只能在結合合線上介于AA、B之間(包括A和BB)獲得一個個組合，因而

26、而投資組合的的可行域就是是結合線上的的AB曲線段段。現在假設設可供選擇的的證券有三種種：A、B和和C，這時，可可能的投資組組合便不再局局限于一條曲曲線上，而是是坐標系中的的一個區域，如如圖（7，55）。在不允允許賣空的情情況下，A、BB、C三種證證券所能得到到的所有合法法組合將落入入并填滿坐標標系中結合線線AB、BCC、AC圍成成的區域，該該區域稱為不不允許賣空時時證券A、BB和C的證券券組合可行域域。每一個合合法的組合稱稱為一個可行行組合。為什什么說圖（77，5）中的的區域都是可可行組合呢?區域內的每每一點可以通通過三種證券券組合得到，比比如區域內的的F點可以通通過證券C與與某個A與BB的組

27、合D的的再組合得到到。 A D F CC B 0 圖（77，5）不允允許賣空時三三種證券組合合的可行域如果允許賣空空，三種證券券組合的可行行域不再是如如圖（7，55）的有限區區域，而是包包含該有限區區域的一個無無限區域(圖圖5，6)。本本節將闡述任任意有限種證證券組合的期期望收益率和和方差以及在在E坐標系中的的可行域的特特征。 E A B 0 圖（7，66）允許賣空空時三種證券券組合的可行行域 證券組合的的可行域是所所有合法證券券組合構成的的E坐標系中的的一個區域。這這個區域的形形狀依賴于可可供選擇的單單個證券的特特征（和）以及它們們收益率之間間的相互關系系（），還依依賴于投資組組合中權數的的

28、約束，比如如，權數除滿滿足基本約束束以外，還滿滿足約束，和為投資比例例的上、下限限，約束表明明()局限于于N維空間的的有限區域，這這時可行組合合將局限于EE坐標系中的的一個有限區區域內，最常常見的約束是是不允許賣空空，即要求權權數()滿足足，最極端的的情況是允許許對任意證券券無限制地賣賣空，也就是是權數除滿足足基本約束之之外沒有其他他約束。可行域滿足一一個共同的特特點：左邊緣緣必然向外凸凸或呈線性，也也就是說不會會出現凹陷。圖圖（7，7）左左邊緣自W到到V之間出現現凹陷，由于于W、V是可可行組合，WW與V的組合合也是可行的的，而W、VV的結合線是是連接W、VV的直線段，或或者是向外彎彎曲的曲線

29、，WW、V的組合合作為一個可可行組合卻落落在圖中區域域的右面，因因而該區域不不可能是一個個可行域。 E V WW 0 圖圖（7，7）可可行域外凸或或線性三、投資者的的共同偏好與與有效組合 證券組組合的可行域域表示了所有有可能的證券券組合，它為為投資者提供供了一切可行行的投資組合合機會，投資資者需要做的的是在其中選選擇自己最滿滿意的證券組組合進行投資資，不同的投投資者由于對對期望收益率率和風險的偏偏好有區別，因因而他們所選選擇的最佳組組合將不同。但但投資者的偏偏好具有某些些共性，在這這個共性下，某某些證券組合合將被所有投投資者視為差差的，因為按按照偏好的共共性總存在比比它更好的證證券組合，我我們

30、需要把大大家都認為差差的證券組合合剔除掉。 大量事實表表明，投資者者普遍喜好期期望收益率而而厭惡風險，因因而人們在投投資決策時希希望期望收益益率越大越好好，風險越小小越好。這種種態度反映在在證券組合的的選擇上可由由下述規則來來描述：(11)如果兩種種證券組合具具有相同的收收益率方差，和和不同的期望望收益率，即即而，那么投資資者選擇期望望收益率高的的組合，即AA，馬柯維茨茨把它稱為“不滿足假設設”；(2)如如果兩種證券券組合具有相相同的期望收收益率和不同同的收益率方方差，即，而而那么他選擇擇方差較小的的組合，即AA，馬柯維茨茨把它稱為“風險厭惡假假設”。這種選擇擇原則，我們們稱為投資者者的共同偏

31、好好規則。人們在所有可可行的投資組組合中進行選選擇，如果證證券組合的特特征由期望收收益率和收益益率標準差來來表示，則投投資者需要在在E坐標系中的的可行域中尋尋找最好的點點，但不可能能在可行域中中找到一點被被所有投資者者都認為是最最好的。按照照投資者的共共同偏好規則則，可以排除除那些被所有有投資者都認認為差的組合合，我們把排排除后余下的的這些組合稱稱為有效證券券組合。根據據有效組合的的定義，有效效組合不止一一個，描繪在在可行域的圖圖形中，如圖圖（7，8）粗粗實線部分，它它是可行域的的上邊緣部分分，我們稱它它為有效邊緣緣。對于可行行域內部及下下邊緣上的任任意可行組合合，均可以在在有效邊緣上上找到一

32、個有有效組合比它它好。但有效效邊緣上的不不同組合，比比如B和C，按按共同偏好規規則不能區分分好差。因而而有效組合相相當于有可能能被某位投資資者選作最佳佳組合的候選選組合，不同同投資者可以以在有效邊緣緣上獲得任一一位置。作為為一個理性投投資者，且厭厭惡風險，則則他不會選擇擇有效邊緣以以外的點。此此外，A點是是一個特殊的的位置，它是是上邊緣和下下邊緣的交匯匯點，這一點點所代表的組組合在所有可可行組合中方方差最小，因因而被稱作最最小方差組合合。 E C B A 00 圖（7，88）有效邊緣緣四、有效邊緣的的確定 確定有有效邊緣的方方法很多，這這里介紹的一一種方法是確確定左邊緣，左左邊緣的頂部部即為有

33、效邊邊緣。左邊緣緣上任何一點點均對應于某某個給定期望望收益率下的的最小方差組組合，因而也也稱左邊緣為為最小方差集集合，求解最最小方差集合合就是求解優優化問題: 對每一個個給定的期望望收益率值，求求解上述問題題得一組解（），該組合為給定下的最小方差組合。取遍所有可能值，則可得到最小方差集合。這部分將借助于圖形闡述這種方法，有利于獲得更直觀的認識，但圖形方法只能在三種證券組合的情況下進行，一般情況與之完全一樣。（一）允許賣賣空時求最小小方差集合設有三種證券券A、B、CC，其期望收收益率分別為為：、，三種證券券收益率的方方差為：、，三種證券券收益率的協協方差為：、 1 R 0 S 1 T 圖（77，

34、9）三種種證券組合的的比例在圖（7，99）中，畫出出了三種證券券的組合中證證券A、B的的權數和，而證券CC的權數在圖圖中見不到，它它的值應為11-。在三角形形內部，組合合將以正的權權數投資于每每一種證券；在三角形的的邊線上，剛剛好在兩種證證券上投資1100%，第第三種證券上上沒有投資也也未賣空；在在三角形頂點點則僅投資于于單個證券，另另外兩種證券券未投資亦未未賣空；如果果在三角形以以外獲得一位位置，投資組組合中必定有有賣空行為，比比如，在直線線RT上方(東北方向)的任意一點點，我們做了了C的空頭，而而在縱軸的左左邊，我們做做了A的空頭頭，在橫軸下下方我們做了了B的空頭。1、等期望收收益率線對每

35、一個給定定的期望收益益率，獲得該該期望收益率率的投資組合合滿足等期望望收益率線： 這是一條條直線，稱為為等期望收益益率線。給定定不同的，將將得到不同的的等期望收益益率線，所有有的形成一族族等期望收益益率線。等期期望收益率線線的斜率不依依賴于的值，且且為負，因此此不同的等期期望收益率線線之間相互平平行。再者，從從上式可知，越大，直線在橫軸上的截距越小，也就是說，直線越向下移，獲得的等期望收益率水平越高(圖5，10)。 11 0 1 圖（7，110）等期望望收益率線2、等方差橢圓圓求一組證券組組合，使它們們具有相同的的收益率方差差。對給定的的，獲得方差差的所有證券券組合權數將將滿足： 這個關于、的

36、方程在坐標系中形形成一個橢圓圓，這個橢圓圓稱為等方差差橢圓。隨著著的變化，形形成一系列的的等方差橢圓圓，每一個橢橢圓對應于取取一個特定收收益率方差的的那些證券組組合。越大，橢橢圓就越大，隨隨著縮小到一一定程度，橢橢圓將收縮到到一點，記作作MVP，所所有橢圓都以以MVP為中中心。MVPP表示的是所所有可行組合合中的最小方方差組合，對對應地，此時時的為最小方方差，至此便便不能再縮小小，因為不可可能有可行組組合能獲得比比最小方差更更小的方差，再縮小將導致方程無解(圖5，11)。 11 00 1 圖（77，11）等等方差橢圓3、最小方差差集合臨界線最小方差集合合中每一組合合可以這樣來來確定：對每每一個

37、給定的的期望收益率率，尋找具有有該期望收益益率的證券組組合中方差最最小者，我們們可以將等期期望收益率放放到圖（7，111）中的等等方差橢圓中中，對每一個個給定的期望望收益率，其其對應的等期期望收益率線線與某個等方方差橢圓相切切，切點表示示該期望收益益率下的最小小方差組合的的權數，如圖圖（7，122）中，N點點代表期望收收益率為200%時的最小小方差組合，此此時的最小方方差為28%。 1 00 1 圖（7，112）最小方方差集合臨界線 可以證明明，所有的等等期望收益率率線與等方差差橢圓的切點點形成一條直直線，這條直直線稱為臨界界線。求最小小方差集合等等價于求臨界界線。為此，只只須求出臨界界線上的

38、兩個個點即可。這這樣，我們只只要對兩個給給定的期望收收益率，分別別求出相應的的兩條等期望望收益率線與與等方差橢圓圓的切點，連連接這兩個切切點的直線即即為臨界線。下面介紹一種種試定法求解解切點步驟，其其具體計算要要借助于計算算機。(1)指定一一期望收益率率 (比如220%)；(2)任意指指定 (比如如0)；由計算出，即得得期望收益率率線上的一點點(，)；(4)將，代代入組合方差差公式： 計算出；(5)改變的的值，則我們們在該等期望望收益率線上上移至另一點點，重復(22)至(4)，算得另一一個；(6)比較上上述兩個方差差，如果方差差增加，表明明在等期望收收益率線上移移錯方向，應應改變方向，如如果方

39、差減少少，表明移動動方向正確，沿沿該方向繼續續移動(即回回到(5)，直直到某個位置置方差又開始始增加，表明明已越過了切切點，因此必必須往回調整整，在前兩個個位置之間重重新確定位置置。總之，我我們通過改變變，在等期望望收益率線上上移動，使得得方差越來越越小，直到方方差的變化可可以忽略為止止。比如，在圖（77，13）中中，我們從DD點出發移至至E，F等，直直至移到N附附近。此外，由于等等方差橢圓將將與兩條等期期望收益率線線相切，在這這兩個切點中中，期望收益益率較高的切切點位于最小小方差集合中中的上邊緣，期期望收益率低低的切點位于于下邊緣，因因而臨界線上上位于點MVVP左邊的部部分與有效邊邊緣對應

40、，它它表示有效組組合的權數。（二）不允許賣賣空時的最小小方差集合 如果果不允許賣空空任何證券，每每種證券的權權數介于0和和1之間，這這意味著必須須在圖（7，113）中三角角形邊界或三三角形內獲得得位置。在上上一部分中，臨臨界線穿過三三角形，落于于三角形內的的那一段未賣賣空任何證券券，因而與不不允許賣空情情形是一致的的,如圖（77，13)中中的QZ線段段。 1 R Q Z S 0 1 T 圖（7，113）不賣空空的臨界線現在從Z點開開始分析，ZZ點對應的投投資組合位于于圖（7，114）彈丸形形邊緣的下半半部分的Z點點，它是證券券A與B的組組合，所以它它位于A與BB的結合線上上。當在圖（77，13

41、）中中從Z沿臨界界線移至Q點點時，在圖（77，14）的的最小方差集集合上，也從從Z移到了QQ點。最小方方差集合在這這一段與允許許賣空的情形形一樣。當移移到了Q點以以后，便不能能沿臨界線向向Q的西北方方向移動(這這將會出現賣賣空)，那么么我們將面臨臨三種選擇 ：(1)沿沿三角形邊界界向R移動；(2)沿三三角形邊界向向S移動；(3)向三角角形內移動。首先，如果選選擇(1)，將將在圖（7，114）中沿BB與C的結合合線向B移動動，而這一段段結合線并不不在最小方差差集合上。其其次，如果選選擇(3)，由由于三角形內內的任何一點點，在其相應應的等期望收收益率線上，越越靠近臨界線線，方差越小小，因而三角角形

42、內的組合合如不在臨界界線上，不可可能獲得最小小方差。 E Q CC MVVP B Z A 0 圖（7，114）不賣空空的最小方差差集合剩下只有選擇擇(2)，沿沿邊界和向下下朝S點移動動。這時在圖圖（7，144）中，我們們沿B與C的的結合線從QQ點向C點移移動，這些組組合，在不允允許賣空的情情況下能獲得得最小方差，由由于不允許賣賣空，沿此方方向到C點后后便不能再向向前移動。現在我們再看看最小方差集集合從C穿越越Q到Z以后后再走向何處處。在圖（77，13）中中，如果從ZZ沿三角形邊邊界向R移動動，則在圖（77，14）中中，我們沿AA，B的結合合線向B移動動，這些組合合不在最小方方差集合中。因因而在

43、圖（77，13）中中選擇從Z沿沿邊界向T移移動，則對應應地在圖（77，14）中中，我們便從從Z沿A、BB的結合線移移向A點，在在不允許賣空空的情況下，這這些組合在最最小方差集合合中。綜上所述，在在不允許賣空空的情況下，所所述三種證券券組合的臨界界線是從S沿沿三角形邊界界移至Q，從從Q移至Z與與允許賣空情情形一致。再再從Z沿三角角形邊界移至至T。對應地地，最小方差差集合是從證證券C的位置置出發，穿越越Q點和Z點點最后到達證證券A。 第四節 最最優證券組合合一、投資者的個個人偏好與無無差異曲線按照投資者的的共同偏好規規則，有些證證券組合之間間不能區分好好差，其根源源在于投資者者個人除遵循循共同的偏

44、好好規則外，還還有其特殊的的偏好。那些些不能被共同同偏好規則區區分的組合，不不同投資者可可能得出完全全不同的比較較結果。共同同規則不能區區分的是這樣樣的兩種證券券組合A和BB。 而而 E A B 0 圖（77，15）共共同偏好規則則不能區分的的組合如圖（7，115），證券券組合A雖然然比B承擔著著大的風險，但但它同時帶來來更高的期望望收益率，這這種期望收益益率的增量可可認為是對增增加的風險的的補償。由于于不同投資者者對期望收益益率和風險的的偏好不同，當當風險從增到到時，期望收收益率將補償償，是否滿足足投資者個人人的風險補償償要求因人而而異，從而按按照他們各自自不同的偏好好對兩種證券券作出不同的

45、的比較結果。投資者甲（中中庸）認為：增加的期望望收益率恰好好能補償增加加的風險，所所以A與B兩兩種證券組合合的滿意程度度相同，證券券A與證券BB無差異；投投資者乙（保保守）認為：增加的期望望收益率不足足以補償增加加的風險，所所以A不如BB更令他滿意意；投資者丙丙（進取）認認為：增加的的期望收益率率超過對增加加風險的補償償，所以A更更令人滿意，即即A比B好。在在同樣風險狀狀態下，要求求得到期望收收益率補償越越高，說明該該投資者對風風險越厭惡。上上述三位投資資者中乙最厭厭惡風險，因因而他最保守守；甲次之；丙對風險厭厭惡程度最低低，最具冒險險精神。 一個特定的的投資者，任任意給定一個個證券組合，根根據他對風險險的態度，按按照期望收益益率對風險補補償的要求，可可以得到一系系列滿意程相相同(無差異異)的證券組組合。比如圖圖（7，166）中，某投投資者認為經經過A的那一一條曲線上的的證券組合對對他的滿意程程度相同，那那么