1、2.1彈簧下懸掛一物體，彈簧靜伸長為。設將物體向下拉，使彈簧有靜伸長3，然后無初速度地釋放，求此后的運動方程。解：設物體質量為m，彈簧剛度為k，則:mg=kmg=k,即：，取系統靜平衡位置為原點x二0，系統運動方程為:mxkx=0 x=2(參考教材P14)x0=0.、0解得：x(t)=2cos,t2.2彈簧不受力時長度為65cm,下端掛上1kg物體后彈簧長85cm。設用手托住物體使彈簧回到原長后無初速度地釋放，試求物體的運動方程、振幅、周期及彈簧力的最大值。解：由題可知：彈簧的靜伸長0.85-0.650.2(m)所以,已所以,已卩豎取系統的平衡位置為原點,系統的運動微分方程為：x+,2x0其中

2、，初始條件：x(0):防(參考教材P14)所以系統的響應為：x(t)-0.2cos,t(m)n彈簧力為：Fkx(t)mgx(t)-cos,t(N)kn因此：振幅為0.2m、2兀周期為蘭(s)、彈簧力最大值為1N。7111123重物m懸掛在剛度為k的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物m從高12度為h處自由落到m上而無彈跳，如圖所示，求其后的運動。1解：取系統的上下運動x為坐標，向上為正，靜平衡位置為原點X0，則當m有x位移時，系統有：(m+m)x212u2(m+m)x212u2kx2由d(E+U)=0可知:(m+m)x+kx=012即：,=k/(m+m)n12系統的初始條件為:mgx=20km H

3、YPERLINK l bookmark20X=20m+mi122gh1111其中:0其中:0(能量守恒得：mgh=*(m+m)x2)TOC o 1-5 h z22120因此系統的響應為：x(t)=Acos,t律Asin,t0n1n2ghkm+m HYPERLINK l bookmark10512nn即：x(t)=mg2(COStknt)nn24質量為m、轉動慣量為I的圓柱體作自由純滾動，圓心受到一彈簧k約束，如圖所示，求系統的固有頻率。靜平衡位置時=0，則當m解：取圓柱體的轉角靜平衡位置時=0，則當mI2,m(r)2I2,m(r)2=(I，mr2E2Tnn由d(E,U)=0可知：(I+mr2)

4、+kr2=0kr2/(kr2/(I+mr2)(rad/s)2.5均質桿長乙、重G,用兩根長h的鉛垂線掛成水平位置，如圖所示,試求此桿相對鉛垂軸OO微幅振動的周期。1111111126求如圖所示系統的周期，三個彈簧都成鉛垂，且k2k,kk。2131解：取m的上下運動x為坐標，向上為正，靜平衡位置為原點x有x位移時，系統有：則當mE1mx2T2觀5U=kx2+kx2=kx2(其中：k2i6ikk、12k+k121-5由d(E+U)0可知：即：,3m(rad/S)，T3m5k(s)27如圖所示，半徑為r的均質圓柱可在半徑為R的圓軌面內無滑動地、以圓軌面最低位置O為平衡位置左右微擺，試導出柱體的擺動方

5、程，求其固有頻率。解：設物體重量W，擺角坐標如圖所示，逆時針為正，當系統有擺角時，則：2U=W（Rr）（1cos）沁W（Rr）2設為圓柱體轉角速度，質心的瞬時速度：二（R一r）=r，即：=廠）cr記圓柱體繞瞬時寸扌接觸點A的轉動慣量為I，貝IJ：A+g1(3W2(2)()2(R一r)22（或者理解為：豊=2-2+2W（R一r）22，轉動和平動的動能）由+U)=0可知:3W(Rr)2由+U)=0可知:2g即：=：麗匕（應）00mx+Y(Ax)g=0，即：=n丫Agm有初始條件為mx+Y(Ax)g=0，即：=n丫Agm有初始條件為:x0 x子靜止在比重為的液體中。設從平衡位置|工壓低距離以見圖)，

6、然后無初速度地釋放，若二三三不計阻尼，求浮子其后的運動。二三解：建立如圖所示坐標系，系統平衡時x二0，由牛頓第二定律得:所以浮子的響應為：x(t)=xsin(tAg+)m22.9求如圖所示系統微幅扭振的周期。圖中兩個摩擦輪可分別繞水平軸O,O2轉動，它們相互嚙合，不能相對滑動，在圖示位置（半徑O#與o2b在同一水平線上），彈簧不受力。摩擦輪可以看做等厚均質圓盤，質量分別為m.，m2。解：兩輪的質量分別為m,m，因此輪的半徑比為:12rm11rm22由于兩輪無相對滑動，因此其轉角比為：0r01210r0212|取系統靜平衡時00,則有:111111E(mr2)02,(mr2)02=(m,m)r2

7、02t22111222241/1121由d巴21由d巴,U）0可知:m)r202211(k,k)r20121100002(k，k)m+m即：12(rad/s)，T二212(s)nm,m2(k+k)1212210如圖所示，輪子可繞水平軸轉動，對轉軸的轉動慣量為厶輪緣繞有軟繩，下端掛有重量為P的物體，繩與輪緣之間無滑動。在圖示位置，由水平彈簧維持平衡。半徑R與a均已知，求微振動的周期。解:取輪的轉角為坐標，順時針為正，系統平衡時=0，則當輪子有轉角時，系統有：11p1pE=I2,(R)2=(I,R2)2T22g丿2g丿U=1k(a)2P由，U)=0可知：(I,R2)2,ka2=0gka2一PR2g

8、I,ka2一PR2g(s)(rad/s)，故T=2兀=2(s)3ka2n2211彈簧懸掛一質量為m的物體，自由振動的周期為0,如果在m上附加一個質量mx，則彈簧的靜伸長增加l，求當地的重力加速度。解：212用能量法求圖所示三個擺的微振動的固有頻率。擺錘重P,(方)與(c)中每個彈簧的彈性系數為k/2。(1)桿重不計;(2)若桿質量均勻，計入桿重。1fFt1a解：取系統的擺角為坐標，靜平衡時=0(a)若不計桿重，系統作微振動，則有:1pt2g丿*1U=PgL(1-cos)沁PgL22pTOC o 1-5 h z由d(EU)=0可知：心+PL=0Tg HYPERLINK l bookmark99g

9、即：=(rad/s)nL如果考慮桿重，系統作微振動，則有: HYPERLINK l bookmark871P111Pm叮Jg呼22(3計2=2(gJ網2LpU=PgL(1cos)+mg(1一cos)(+L2g22由d(E+U)=0可知：(+m)L2,+(+m)gL,=0rad/s)Trad/s)即：=(b)如果考慮桿重，系統作微振動，則有：111pmE=_(_L2),2+(mL2),2=(+L)L2,2t2、g丿23l丿2、g3722222)gL巴1222Pm、kL HYPERLINK l bookmark115g2丿4(g+豊)L(c)如果考慮桿重，系統作微振動,1P11E=-(L2),2+

10、(mL2),2=T2、g丿23L丿rad/s)則有：2(g+氣2u-(pm)gL匕1(k)(,l222、2八222即：nkLPmlrad/s)213求如圖所示系統的等效剛度，并把它寫成與x的關系式。答案：系統的運動微分方程mx2kx=0214-臺電機重470N,轉速為1430r/min,固定在兩根5號槽鋼組成的簡支梁的中點，如圖所示。每根槽鋼長12m,重6528N，彎曲剛度EI=1.66105Nm2。）不考慮槽鋼質量，求系統的固有頻率；（方）設槽鋼質量均布，考慮分布質量的影響，求系統的固有頻率；（c）計算說明如何避開電機和系統的共振區。215質量m固定于長厶彎曲剛度為EI，密度為的彈性梁的一端

11、,如圖所示，試以有效質量的概念計算其固有頻率。wL3/(3EI)216求等截面U形管內液體振動的周期，阻力不計，假定液柱總長度為L。解：假設U形管內液柱長I，截面積為4，密度為，取系統靜平衡時勢能為0左邊液面下降x時，有:1E=oAlx2T2U=pA,x,g,x由d(E+U)=0可知：pAlx+2gpAx=0即:2g(rad/s)，T豁21(s)g2.17水箱1與2的水平截面面積分別為AxA2,底部用截面為A0的細管連接。兒今求液面上下振動的固有頻率。妄乏三解：設液體密度為，取系統靜平衡時勢能為0，當左邊液面下降x時，右1邊液面上升x，液體在水箱1與2和細管中的速度分別為x,x,x，則有:21

12、23111E=pA(h一x)x2+pALx2+pA(h+x)x21T211123J3222n2Ah+AL(A?+Ah(A1)2213A2A(由于：h一xh1x+xU=pAxq1212hAx=Ax=Ax112233Ax=Ax)1122由d巴+U)=0可知：h(1AA+1)+L(1)x+g(1123+j)xi二02即：=n(1+A1)A2ah(1+A1)+L(A1)23(rad/S)218如圖所示，一個重W、面積為A的薄板懸掛在彈簧上，使之在粘性液體中振動。設片、T2分別為無阻尼的振動周期和在粘性液體中的阻尼周期。試證明：2,WgATT12并指出卩的意義（式中液體阻尼力Fd=2Av）。219試證明

13、：對數衰減率也可用下式表示6=1ln九,（式中兀”是經過nnxnn個循環后的振幅）。并給出在阻尼比,為0.01、0.103時振幅減小到50%以下所需要的循環數。解：設系統阻尼自由振動的響應為x（t）；t時刻的位移為x；tt+nT時刻的位移為x；則:00n0nXe-,n?0cos(t)1Xe-,n(to+nTd)cos(t+nT)d0d所以有：In規=,nT所以有：In規=,nT=n6=nlnxndnx-0，x1即：x=lnonxnn=n=1ln2=ln2卩,262兀,當振幅衰減到50%時，x=0.5x，即：n01）當,=0.01時，n=11；要11個循環;2）當,=0.1時，n=1.1；要2個

14、循環；3)當,=0.3時，n=0.34；要1個循環;220某雙軸汽車的前懸架質量為竹=1151kg,前懸架剛度為k=102105N/m,若假定前、后懸架的振動是獨立的，試計算前懸架垂直振動的偏頻。如果要求前懸架的阻尼比匚，0.25，那么應給前懸架設計多大阻尼系數(c)的懸架減振器?221重量為P的物體，掛在彈簧的下端，產生靜伸長,在上下運動時所遇到的阻力與速度卩成正比。要保證物體不發生振動，求阻尼系數c的最低值。若物體在靜平衡位置以初速度卩0開始運動，求此后的運動規律。解：設系統上下運動為x坐標系，系統的靜平衡位置為原點，得到系統的運動微分方程為：Px+cx+x，0g系統的阻尼比：匚，一4，-

15、2jmk2cPPg系統不振動條件為：匚1系統的阻尼比：匚，一4，-2jmk2cPPg系統不振動條件為：匚1，即:x物體在平衡位置以初速度開始運動，即初始條件為：0此時系統的響應為：（可參考教材P22）1）當匚1時:x(t)，e-叫(Ae代2i+Ae-叫t比2i)n1n2nA1,21，+.02、匸21n2）當匚，1時:A，ox(t)，Ae叫+Ate叫，其中:，I200000即：x(t即：x(t)=3)當1時：C其中：Jc12、dte，tnx(t)二e-t(Ccost+Csint)TOC o 1-5 h zn1d2d0u/，即：x(t)=e，t亠sint0ddJI2dn222-個重5500N的炮管

16、具有剛度為303105N/m的駐退彈簧。如果發射時炮管后座12m,試求：炮管初始后座速度；減振器臨界阻尼系數（它是在反沖結束時參加工作的）；炮管返回到離初始位置005m時所需要的時間。2.23設系統阻尼比匚，0.1，試按比例畫出在=05、10、2.0三種情n況下微分方程的向量關系圖。224試指出在簡諧激勵下系統復頻率響應、放大因子和品質因子之間的關系，并計算當匚，0.2、=5rad/s時系統的品質因子和帶寬。n2.25已知單自由度系統振動時其阻力為cv（其中c是常數，卩是運動速度）,激勵為F，Fsint,當，即共振時，測得振動的振幅為X,求激勵的0n幅值F0。若測得共振時加速度的幅值為4,求此

17、時的F0。226某單自由度系統在液體中振動，它所受到的激勵為F二50cost(N),系統在周期0=020s時共振，振幅為0005cm，求阻尼系數。TOC o 1-5 h z解：由T二0.20s時共振可知，系統固有頻率為：=10,nTF當T時，已知響應振幅：X=7，(參教材P30)nc所以：c=4=巴!(Ns/m)X,一個具有結構阻尼的單自由度系統，在一周振動內耗散的能量為它的最大勢能的1.2%，試計算其結構阻尼系數。要使每一循環消耗的能量與頻率比無關，需要多大的阻尼系數。若振動物體受到的阻力與其運動速度平方成正比，即Fax2x0d求其等效阻尼系數和共振時的振幅。解：實際上，這是一種低粘度流體阻

18、尼。設系統的運動為：x(t)Xcos(ot-申)oax2dx卜/wax2d(A|H(w)|w)(wt申)卜/waaH(w)|w(wt申)2一|H(w)|wAsin(wt)dxk/waX3w3A3sin3(ot申)dtbA3J/waw3X3sin3(ot一弔)dtaX3w22(0)申2(0)3申34ax302d3o8ax302d38ax302CnoX23C803Xo?e32.29xXcos(ot一申)x=Xsin（t（p）W=JaX2dx+J2ax2dxc0/=J/a2X2sin2（tp）（2Xcos（tp）dt+J2/O2X2sin2（tp）（2Xcos（tp）dt/=8aX323W二W二CK

19、X2PCC二8aX3X=-Ft=盤FtTOC o 1-5 h zc8aX23叭8axw23叭8axw2n2w22anFd2Fd2ax2axx0=JFdx=4J4ax2dxd0=4JT/4ax3dx=4JT/4Z33C0S3（tp）dt0=8aZ323，CnrnZ2PC，_8-aZe3Z，嗚Z，衛仔C08aZo2230KG1II電動機重巴裝在彈性基礎上，靜下沉量為。當轉速為nr/min時，由于轉子失衡，沿豎向有正弦激勵，電機產生振幅為A的強迫振動。試求激勵的幅值，不計阻尼。231電動機重尸，裝在彈性梁上，使梁有靜撓度。轉子重。，偏心距為e。試求當轉速為時，電動機上下強迫振動的振幅4,不計梁重。2

20、32飛機升降舵的調整片鉸接于升降舵的O軸上（圖T32），并由一聯動裝置控制。該裝置相當于一剛度為婦的扭轉彈簧。調整片轉動慣降舵門薊量為I，因而系統固有頻率=K/1，但因kT不能精確計nT算，必須用試驗測定。為此固定n圖T2.32升降舵，利用彈簧處對調整片做簡諧激勵，并用彈簧k來抑制。改變激勵頻率圖T2.32。試以和試驗裝置的參數來表示調整片的固有頻率。TOC o 1-5 h zTTn解：設調整片的轉角為，系統的微分方程為:=kLysint2I,+k+(k+k)L2=kLysint2T12系纟統的共振頻率為：0/+（節沖因此：k=I2一(k+k)L2T012調整片的固有頻率為：2二kT=2-(k

21、1+中LnI0I233如圖所示由懸架支承的車輛沿高低不平的道路行進。試求W的振幅與行進速度的關系，并確定最不利的彳丁進速度。解：由題目2.33TLw2兀2兀VVTLyYcos2兀vtLwX一K(x一y)wXkycos2兀VtLwXCKx=KYcos2兀vtLwS2X(s)+KX(s)ky2r(2叩)2+s2LX(s)KY2L2K(s2+(2叩)2)(ws2+K)nwLX2詳sina+2aYsint2+a2n71，(a/71，(a/2)n+0Y1，(a/2)2n1，4兀2V2wKL2KL2YKL2加2V2w2.33，汝TTvL-2ffivLmXX2.33，汝TTvL-2ffivLmXX+KXKy

22、X+,2xn,2ynn,22nXY,2n,2,2nYh、2nYh、2n,24兀十nL24兀2mbb234單擺懸點沿水平方向做簡諧運動(圖02.34),=asint。試求在微幅的強迫振動中偏角的變化規律。已知擺長為L,擺錘質量為m。2.35-個重90N的飛機無線電要與發動機的頻率16002200r/min范圍的振動隔離，為了隔離85%，隔振器的靜變形需要多少？2.36試從式(2.95)證明：1.無論阻尼比取何值，在頻率比，/，=2時，恒有X=4。n2.在，/，2、XIA隨增大而減小，而在，/，2、XIA隨nn增大而增大。237某位移傳感器固有頻率為475Hz，阻尼比=065。試估計所能測量的最低

23、頻率，設要求誤差1%，2%02.38位移傳感器的固有頻為率2Hz，無阻尼，用以測量頻率為8Hz的簡諧振動，測得振幅為0132cm。問實際振幅是多少?誤差為多少？239振動記錄儀的固有頻率為九=30Hz,阻尼比=050。用其測量某物體的振動，物體的運動方程已知為x=205sin4t+10sin8t(cm)證明：振動記錄儀的振動z將為z=103sin(4t-5Oo)+115sin(8t-12Oo)(cm)解：a240求單自由度無阻尼系統對圖所示激勵的響應，設初始條件為零。h(t)ie-,/sintm3ddh(t-)i解：a240求單自由度無阻尼系統對圖所示激勵的響應，設初始條件為零。h(t)ie-,/sintm3ddh(t-)ie-如”(t-)sin3(t-)m3dh(t)isin3tm3ddh(t2)isinw(t)m3ddX(t)Jtdcos3(t)F(cos3t)0nRnF1X(t)isin3(t)d(t)m3n0nF(t)h(t)d+01F(t)h(t)d.2iF1cos3(