1、20 柱、錐、臺體的體積教材分析這節內容是在學完多面體與旋轉體的概念、性質、畫法、側面積、表面積以后，在體積概念與體積公理的基礎上，研究柱、錐、臺體的體積其中柱體體積是基礎，并且由柱體體積可推導出錐體體積，而根據錐體體積又可得出臺體體積柱、錐、臺體的體積是立體幾何的重要內容，是歷年高考的重點通過這節知識的學習，既要使學生知道三種幾何體體積的公式，又要讓學生知道這些公式是怎么得出的三種幾何體的體積公式的推導是教學的重中之重教學目標1. 使學學生掌握握柱、錐錐、臺體體的體積積公式及及其初步步應用2. 通過過對三種種幾何體體體積公公式的探探索，使使學生學學會觀察察、類比比、歸納納、猜想想等方法法，培

2、養養學生分分析、抽抽象、概概括及邏邏輯推理理能力3. 通過過三種幾幾何體體體積公式式的探索索，培養養學生獨獨立思考考、刻苦苦鉆研、孜孜孜以求求的毅力力及勇于于探索、創創新的精精神任務分析對于體積這這一內容容，學生生早在小小學就有有了初步步認識，如如長方體體的體積積公式但如何何推導錐錐、臺體體體積是是目前的的重要任任務三三種幾何何體的體體積公式式的推導導有著密密切的聯聯系，教教學時要要不斷強強化三者者之間的的關系，強強化借助助用已知知來研究究未知這這種探索索問題的的一般性性的研究究方法柱、錐錐體體積積公式推推導的理理論基礎礎是祖 原理為此，必必須將祖祖 原理理要求的的三個條條件務必必要落實實到位

3、，只只有這樣樣，棱柱柱、圓柱柱與長方方體之間間的體積積轉化以以及一般般棱錐與與三棱錐錐之間的的體積轉轉化才能能水到渠渠成三三棱錐體體積公式式的推導導是本節節的重點點，也是是難點要充分分利用多多媒體，通通過課件件演示，生生動形象象地表現現三棱錐錐與三棱棱柱體積積之間的的關系，讓讓學生充充分體會會割補變變換這一一數學思思想最最后，利利用臺體體的定義義，并緊緊扣臺體體與錐體體的關系系，求出出臺體體體積教學設計一、問題情情景在多媒體屏屏幕上播播出阿基基米德利利用水來來辨別金金王冠純純度高低低的故事事通過過這個故故事教師師指出，在在古代，人人們就對對體積的的求法進進行了探探索接接著指出出我國古古代在公公

4、元5世世紀對體體積曾進進行過比比較深入入的研究究，引出出祖 原原理二、建立模模型（一）祖 原理在屏幕上顯顯示祖 原理教師強調這這個原理理在歐洲洲直到117世紀紀才被意意大利的的卡瓦列列里提出出，比祖祖 之晚晚11000年以以上，目目的在于于激發學學生的愛愛國熱情情1. 學生生討論教師啟發能能否根據據原理的的思想，利利用手中中的課本本等道具具把這個個原理解解釋一下下2. 練習設有底面積積與高都都相等的的長方體體和六棱棱柱，思思考這兩兩個幾何何體的體體積有何何關系說明：由于于祖 原原理條件件比較復復雜，學學生不易易弄清，教教師要把把已知條條件分析析清：（11）這兩兩個幾何何體夾在在兩個平平行平面面

5、之間（2）用用平行于于兩個平平行平面面的任一一平面去去截兩幾幾何體可可得兩個個截面（3）兩兩個截面面的面積積相等只有這這三個條條件都具具備，才才能得出出兩個幾幾何體的的體積相相等（二）柱體體體積公公式的推推導問題設有底面積積都等于于S，高高都等于于h的任任意一個個棱柱，一一個圓柱柱，如何何求這兩兩個幾何何體的體體積？為了把這個個問題讓讓學生水水到渠成成地想出出來，可可以提出出以下幾幾個階梯梯性的問問題（1）柱體體體積公公式目前前不知道道，那么么同學們們會求什什么特殊殊幾何體體的體積積呢？（2）根據據剛才對對祖 原原理的研研究發現現，如果果兩個幾幾何體滿滿足祖 原理中中的三個個條件，那那么這兩兩

6、個幾何何體的體體積就可可以相互互轉化柱體的的體積公公式目前前不會求求，能否否利用祖祖 原理理把目標標幾何體體的體積積轉化為為長方體體的體積積呢？教教師進一一步引導導：構造造一長方方體，使使已知的的棱柱、圓圓柱與構構造的長長方體滿滿足祖 原理的的條件（3）長方方體如何何出現呢呢？讓學生討論論得出：已知棱棱柱、圓圓柱目前前已經夾夾在兩平平行平面面之間，并并且底面面積相等等，所以以只要在在兩平行行平面之之間放一一個與前前面兩幾幾何體底底面積相相等、高高相等的的長方體體即可根據祖祖 原理理這三個個幾何體體的體積積相等，而而長方體體體積可可以利用用底面積積乘高求求得，故故兩目標標幾何體體的體積積也就得得

7、出了教師在大屏屏幕上顯顯示推導導過程：先把棱棱柱放在在兩平行行平面之之間，然然后再讓讓長方體體出現，最最后動態態地顯示示三個幾幾何體被被平行于于兩個平平行平面面的任一一平面去去截兩幾幾何體可可得三個個截面；三個截截面的面面積相等等教師明晰：柱體（棱棱柱、圓圓柱）的的體積等等于它的的底面積積S和高高h的積積，即VV柱體SSh練習已知一圓柱柱的底面面半徑rr，高是是h，求求圓柱的的體積教師明晰：底面半半徑為rr，高為為h的圓圓柱的體體積V圓圓柱SShr2h（三）錐體體體積公公式的推推導1. 等底底面積等等高的兩兩個錐體體的體積積的關系系問題（1）剛才才我們利利用祖 原理獲獲得了等等底面積積等高的的

8、柱體與與長方體體（兩個個柱體）等等體積，那那么等底底面積等等高的兩兩個錐體體的體積積之間有有什么關關系呢？（2）你們們怎么知知道它們們的體積積是相等等的？（有的學生生會說是是估計的的）（3）能證證實你們們估計的的結論（猜猜想）嗎嗎？（有了前面面連續兩兩次用祖祖 原理理證明等等底等高高的兩個個柱體體體積相等等，學生生的這個個猜想就就比較容容易再次次利用祖祖 原理理來證明明）師生共同分分析：用用祖 原原理設有任意兩兩個錐體體，不妨妨選取一一個三棱棱錐，一一個圓錐錐，并設設它們的的底面積積都是SS，高都都是h（如如圖200-1）（1）把這這兩個錐錐體的底底面放在在同一個個平面上由由于它們們的高相相等

9、，故故它們的的頂點必必在與平行的的同一個個平面上，即即這兩個個錐體可可夾在兩兩個平行行平面，之之間（2）用平平行于平平面的的任意平平面去截截這兩個個錐體，設設截面面面積分別別為S11，S2，截面面和頂點點的距離離是h11，體積積分別為為V1，V2，則由由錐體平平行于底底面的截截面性質質，知所以，故故S1S2由祖祖 原理理，知VV1V2（學生敘述述，教師師板書）結論：如果果兩個錐錐體的底底面積相相等，高高也相等等，那么么它們的的體積相相等教師明晰：等底面面積等高高的兩個個錐體的的體積相相等（由學生提提出問題題、分析析問題并并解決問問題，這這是對學學生高層層次的要要求當當學生達達不到這這個層次次時

10、，可可由教師師提出問問題，學學生分析析問題和和解決問問題教教師提出出問題后后要給學學生觀察察、比較較、分析析、歸納納、猜想想、發現現的時間間著名名數學教教育家波波利亞曾曾提出：只要數數學的學學習過程程稍能反反映出數數學發明明的過程程，那么么就應當當讓猜想想、合情情推理占占有適當當的位置置猜想想后還要要嚴格地地證明，合合情推理理與邏輯輯推理并并重，既既教證明明又教猜猜想，這這才是解解決問題題的完整整過程）2. 錐體體體積公公式的推推導教師啟發：上述定定理只是是回答了了具有等等底面積積、等高高的兩個個錐體的的體積之之間的相相等關系系，但這這個體積積如何求求出，能能否像柱柱體那樣樣有一個個體積公公式

11、仍然然是一個個謎然然而它給給了我們們一個求求錐體體體積的有有益啟示示：只須須找到一一個“簡簡單”的的錐體作作為代表表，如果果這個代代表的體體積求出出來了，那那么，根根據等底底面積等等高的兩兩個錐體體的體積積即可獲獲得其他他錐體的的體積問題（1）用怎怎樣的“簡簡單”錐錐體作代代表來研研究呢？（2）如何何求這類類錐體的的體積呢呢？（此時學生生思考受受阻，可可由教師師啟發）（3）任何何新知識識都是在在已知舊舊知識的的基礎上上發展起起來的，現現在我們們已經能能求出柱柱體的體體積那那么三棱棱錐的體體積能否否借助柱柱體的體體積公式式來求呢呢？教師啟發：可以嘗嘗試補成成三棱柱柱，然后后考慮三三棱錐與與三棱柱

12、柱之間體體積的關關系此時應該給給學生留留出充分分的時間間，讓他他們在練練習本上上把如圖圖20-2三棱棱錐AABBC以底底面ABCC為底面面，AAA為側側棱補成成一個三三棱柱AABCABBC教師利用多多媒體把把這個三三棱柱補補出來（在在屏幕上上動態地地補出）（4）在三三棱柱中中，除三三棱錐AAAABC外外的幾何何體是不不規則的的，如能能轉化成成規則的的就好了了，如何何轉化呢呢？教師啟發：連接點點B，CC，就可可把這個個不規則則的幾何何體分割割成兩個個三棱錐錐教師利用屏屏幕動態態顯示分分割過程程分割割三棱柱柱ABCCABCC得三三棱錐（11），（22），（33）如如圖200-3（5）思考考一下分分

13、割而得得的三個個三棱錐錐之間有有何關系系？學生討論得得出：體體積相等等（6）為什什么相等等？試簡簡要證明明（引導學生生思考兩兩個錐體體等體積積的依據據前面定定理的條條件：（1）等底底面積（2）等等高）師生共同分分析，同同時教師師板書：在三棱棱錐（22），（33）中，SSABAASSBAAB，又又由于它它們有相相同頂點點C，故故高也相相等，所所以V（22）VV（3）又在三三棱錐（33），（44）中，SSBCBBSSBCCC，它它們有相相同頂點點A，故故高也相相等，所所以V（33）VV（4），所所以V（22）VV（3）V（44）VV棱柱AABCABBCShh（7）一般般錐體的的體積又又如何呢呢？設

14、一般錐體體的底面面積為SS，高為為h師師生共同同得出VV錐體Sh（師師板書）（8）如何何對這一一結果進進行證明明？教師引導：構造一一個三棱棱錐，使使其底面面積為SS，高為為h，由由于等底底面積等等高的錐錐體的體體積相等等，故VV錐體VV三棱錐錐Sh三、應用與與拓展臺體體積公公式的推推導已已知棱臺臺ABCCDEA1B1C1D1E1的上下下底面積積為S上上，S下下，高為為h，求求證V棱棱臺（SS上S下）為了解決臺臺體體積積的求法法可問學學生下列列階梯性性問題：（1）臺體體是如何何定義的的？（2）臺體體與被截截的棱錐錐的體積積有何關關系？（3）要求求的臺體體體積，只只要求出出棱錐與與截后所所得小棱棱

15、錐的體體積即可可，要求求棱錐的的體積，有有那些條條件，還還缺什么么條件，如如何求呢呢？隨著問題的的一個個個解決，思思路也就就水到渠渠成了（分析完思思路后，解解題過程程在大屏屏幕上打打出）教師明晰：臺體體體積公式式：一般般地，棱棱臺的體體積公式式是V棱棱臺hh（S上上SS下），其其中S上上，S下下和分分別為棱棱臺上底底面積、下下底面積積和高點評這篇案例重重在教師師啟發下下，讓學學生進行行一定量量的思維維活動在公式式的推導導過程中中，由于于教師的的階梯式式提問，不不斷創設設思維情情景，使使學生積積極參與與教學活活動，從從而使學學生的思思維品質質得到了了鍛煉和和提高在錐體體積積公式推推導的過過程中，教教師不斷斷滲透聯聯系和轉轉化等數數學思想想在這這篇案例例中，體體現了兩兩次重要要的轉化化，一次次是利用用祖 原原理將錐錐體體積積公式的的推導轉轉化為三三棱錐體體積公式式的推導導，簡化化了研究究系統；一次是是利用割割補變換換建立了了三棱錐錐與三棱棱柱之間間的體積積關系其中，第第一次轉轉化是通通過邏輯輯推理實實現的，第第二次轉轉化是通通過圖形形變換實實現的這篇案例之之所以突突出公式式形成的的過程，是是為了使使學生在在參與公公式的推推導過程程中能在在數學內內容、數數學方法法和思維維教育等等方面吸吸收更多多的營養養這篇案例使使用了計計算機輔輔助教學學，特別別是在體體