1、.PAGE .20XX全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題:1-8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.曲線的漸近線條數 0 1 2 3 設函數,其中為正整數,則 設,則數列有界是數列收斂的 充分必要條件 充分非必要條件必要非充分條件 非充分也非必要 設則有 設函數為可微函數,且對任意的都有則使不等式成立的一個充分條件是 設區域由曲線圍成,則 2 -2 - 設, , , ,其中為任意常數,則下列向量組線性相關的為 設為3階矩陣,為3階可逆矩陣,且.若,則 二、填空題：9-14小題,每小題4分,共24分

2、.請將答案寫在答題紙指定位置上. 設是由方程所確定的隱函數,則. 設其中函數可微,則. 微分方程滿足條件的解為. 曲線上曲率為的點的坐標是. 設為3階矩陣,為伴隨矩陣,若交換的第1行與第2行得矩陣,則.三、解答題：15-23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.已知函數,記,求的值;若時,與是同階無窮小,求常數的值.求函數的極值.過點作曲線的切線,切點為,又與軸交于點,區域由與直線圍成,求區域的面積及繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積.計算二重積分,其中區域為曲線與極軸圍成.已知函數滿足方程及, 求的表達式; 求曲線的拐點.證明,.證明方程,在區間內有

3、且僅有一個實根；記中的實根為,證明存在,并求此極限.設, 計算行列式； 當實數為何值時,方程組有無窮多解,并求其通解.已知,二次型的秩為2, 求實數的值； 求正交變換將化為標準形.20XX全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題:1-8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.已知當時,函數A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4A B C D 0函數的駐點個數為A 0 B 1 C 2 D 3 微分方程A B C D5設函數具有二階連續導數,且,則函數在點0,0處取

4、得極小值的一個充分條件A B C D 6.設A IJK B IKJ C JIK D KJI7.設A為3階矩陣,將A的第二列加到第一列得矩陣B,再交換B的第二行與第一行得單位矩陣。記則A=A B C D 8設是4階矩陣,是A的伴隨矩陣,若是方程組的一個基礎解系,則的基礎解系可為A B C D 二填空題9._10.微分方程_11.曲線的弧長s=_12.設函數 ,則13.設平面區域D由y=x,圓及y軸所組成,則二重積分14.二次型,則f的正慣性指數為_三解答題已知函數,設,試求的取值范圍。設函數y=y有參數方程,求y=y的數值和曲線y=y的凹凸區間及拐點。設,其中函數f具有二階連續偏導數,函數g可導

5、,且在x=1處取得極值g=1,求設函數y具有二階導數,且曲線l:y=y與直線y=x相切于原點,記是曲線l在點x,y外切線的傾角,求y的表達式。19.證明：1對任意正整數n,都有2設,證明收斂。20.一容器的內側是由圖中曲線繞y旋轉一周而成的曲面,該曲面由連接而成。1求容器的容積。2若從容器內將容器的水從容器頂部全部抽出,至少需要多少功？長度單位：m；重力加速度為；水的密度為21.已知函數f具有二階連續偏導數,且f=0,f=0,其中,計算二重積分。23.A為三階實矩陣,且求A的特征值與特征向量；2求A20XX全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題:1-8小題,每小題4分,共32分.下列每

6、題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.20XX全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題：18小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.1函數的可去間斷點的個數,則 1.2. 3.無窮多個.2當時,與是等價無窮小,則 . .3設函數的全微分為,則點 不是的連續點.不是的極值點. 是的極大值點. 是的極小值點.4設函數連續,則 . . .5若不變號,且曲線在點上的曲率圓為,則在區間內 有極值點,無零點.無極值點,有零點. 有極值點,有零點.無極值點,無零點.6設函數在區間上

7、的圖形為：11-2023-1O則函數的圖形為 .0231-20231-2-110231-2-11.0231-10231-110231-2-117設、均為2階矩陣,分別為、的伴隨矩陣。若,則分塊矩陣的伴隨矩陣為 8設均為3階矩陣,為的轉置矩陣,且,若,則為 二、填空題：9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.9曲線在處的切線方程為10已知,則1112設是由方程確定的隱函數,則13函數在區間上的最小值為設為3維列向量,為的轉置,若矩陣相似于,則三、解答題：1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15本題滿分9分求極限

8、16本題滿分10 分計算不定積分17本題滿分10分設,其中具有2階連續偏導數,求與18本題滿分10分設非負函數滿足微分方程,當曲線過原點時,其與直線及圍成平面區域的面積為2,求繞軸旋轉所得旋轉體體積。19本題滿分10分求二重積分,其中20本題滿分12分設是區間內過的光滑曲線,當時,曲線上任一點處的法線都過原點,當時,函數滿足。求的表達式21本題滿分11分證明拉格朗日中值定理：若函數在上連續,在可導,則存在,使得證明：若函數在處連續,在內可導,且,則存在,且。22本題滿分11分設,求滿足的所有向量對中的任一向量,證明：線性無關。23本題滿分11分設二次型求二次型的矩陣的所有特征值；若二次型的規范

9、形為,求的值。20XX全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題：18小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.1設,則的零點個數為 0 1. 232曲線方程為函數在區間上有連續導數,則定積分 曲邊梯形ABOD面積.梯形ABOD面積.曲邊三角形面積.三角形面積.3在下列微分方程中,以為任意常數為通解的是 5設函數在內單調有界,為數列,下列命題正確的是 若收斂,則收斂. 若單調,則收斂.若收斂,則收斂.若單調,則收斂.6設函數連續,若,其中區域為圖中陰影部分,則7設為階非零矩陣,為階單位矩陣. 若,則 不可逆,不可逆. 不

10、可逆,可逆.可逆,可逆. 可逆,不可逆. 8設,則在實數域上與合同的矩陣為 . . 二、填空題：9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.9 已知函數連續,且,則.10微分方程的通解是.11曲線在點處的切線方程為.12曲線的拐點坐標為_.13設,則.14設3階矩陣的特征值為.若行列式,則.三、解答題：1523題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.本題滿分9分求極限.本題滿分10分設函數由參數方程確定,其中是初值問題的解.求.本題滿分9分求積分 .本題滿分11分求二重積分其中本題滿分11分設是區間上具有連續導數的單調增加函數,

11、且.對任意的,直線,曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周生成一旋轉體.若該旋轉體的側面積在數值上等于其體積的2倍,求函數的表達式.本題滿分11分 證明積分中值定理：若函數在閉區間上連續,則至少存在一點,使得 若函數具有二階導數,且滿足,證明至少存在一點21本題滿分11分求函數在約束條件和下的最大值與最小值.22本題滿分12分設矩陣,現矩陣滿足方程,其中,1求證；2為何值,方程組有唯一解,并求；3為何值,方程組有無窮多解,并求通解.本題滿分10分設為3階矩陣,為的分別屬于特征值特征向量,向量滿足,1證明線性無關；2令,求.20XX全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題：110小題,每小

12、題4分,共40分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.1當時,與等價的無窮小量是 A B C D 2函數在上的第一類間斷點是 A0 B1 C D3如圖,連續函數在區間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周,設,則下列結論正確的是： A C D 4設函數在處連續,下列命題錯誤的是： A若存在,則 B若存在,則 . C若存在,則 D若存在,則. 5曲線的漸近線的條數為A0. B1. C2. D3. 6設函數在上具有二階導數,且,令,則下列結論正確的是： 若 ,則必收斂. 若 ,則必發散 若 ,則必收斂. 若 ,

13、則必發散. 7二元函數在點處可微的一個充要條件是 A.B.C.D.8設函數連續,則二次積分等于A BC D9設向量組線性無關,則下列向量組線性相關的是線性相關,則 . . 10設矩陣,則與 合同且相似 B合同,但不相似. 不合同,但相似. 既不合同也不相似 二、填空題：1116小題,每小題4分,共24分. 把答案填在題中橫線上.11 _.12曲線上對應于的點處的法線斜率為_.13設函數,則_.14 二階常系數非齊次微分方程的通解為_.15 設是二元可微函數,則 _.16設矩陣,則的秩為 . 三、解答題：1724小題,共86分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17 設是區間上單調、可導

14、的函數,且滿足,其中是的反函數,求.18本題滿分11分 設是位于曲線下方、軸上方的無界區域. 求區域繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積；當為何值時,最小？并求此最小值.19本題滿分10分求微分方程滿足初始條件的特解.20本題滿分11分已知函數具有二階導數,且,函數由方程所確定,設,求.21 設函數在上連續,在內具有二階導數且存在相等的最大值,證明：存在,使得.22 設二元函數,計算二重積分,其中.23 設線性方程組與方程有公共解,求的值及所有公共解.24 設三階對稱矩陣的特征向量值,是的屬于的一個特征向量,記,其中為3階單位矩陣. = 1 * ROMAN I驗證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值與特

15、征向量； = 2 * ROMAN II求矩陣. 20XX全國碩士研究生入學統一考試數學二試題填空題：16小題,每小題4分,共24分. 把答案填在題中橫線上.1曲線 的水平漸近線方程為2設函數在處連續,則.3廣義積分.4微分方程的通解是5設函數由方程確定,則 6設矩陣,為2階單位矩陣,矩陣滿足,則.二、選擇題：714小題,每小題4分,共32分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.7設函數具有二階導數,且,為自變量在點處的增量,分別為在點處對應的增量與微分,若,則 . . . . 8設是奇函數,除外處處連續,是其第一類間斷點,則是A連續的奇函數.B連續

16、的偶函數C在間斷的奇函數D在間斷的偶函數. 9設函數可微,則等于A.BCD 10函數滿足的一個微分方程是ABCD 11設為連續函數,則等于. B. . 12設均為可微函數,且,已知是在約束條件下的一個極值點,下列選項正確的是 若,則. 若,則. 若,則. 若,則. 13設均為維列向量,為矩陣,下列選項正確的是 若線性相關,則線性相關. 若線性相關,則線性無關. 若線性無關,則線性相關. 若線性無關,則線性無關. 14設為3階矩陣,將的第2行加到第1行得,再將的第1列的倍加到第2列得,記,則.三 、解答題：1523小題,共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15本題滿分10分試確定的

17、值,使得,其中是當時比高階的無窮小.16本題滿分10分求 .17本題滿分10分設區域, 計算二重積分18本題滿分12分設數列滿足證明存在,并求該極限；計算.19本題滿分10分 證明：當時,. 20本題滿分12分設函數在內具有二階導數,且滿足等式. = 1 * ROMAN I驗證； = 2 * ROMAN II若,求函數的表達式. 21本題滿分12分已知曲線L的方程I討論L的凹凸性；II過點引L的切線,求切點,并寫出切線的方程；III求此切線與L對應于的部分及x軸所圍成的平面圖形的面積.22本題滿分9分已知非齊次線性方程組有3個線性無關的解.證明方程組系數矩陣的秩；求的值及方程組的通解.23本題

18、滿分9分設3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.求的特征值與特征向量；求正交矩陣和對角矩陣,使得.20XX全國碩士研究生入學統一考試數學二試題填空題本題共6小題,每小題4分,滿分24分. 把答案填在題中橫線上1設,則 = .2曲線的斜漸近線方程為.3.4微分方程滿足的解為.5當時,與是等價無窮小,則k= .6設均為3維列向量,記矩陣, 如果,那么.二、選擇題本題共8小題,每小題4分,滿分32分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內7設函數,則f在內 處處可導. 恰有一個不可導點. 恰有兩個不可導點. 至少有三個不可導點. 8設

19、F是連續函數f的一個原函數,表示M的充分必要條件是N,則必有 F是偶函數f是奇函數. B F是奇函數f是偶函數. F是周期函數f是周期函數. F是單調函數f是單調函數. 9設函數y=y由參數方程確定,則曲線y=y在x=3處的法線與x軸交點的橫坐標是 . . . . 10設區域,f為D上的正值連續函數,a,b為常數,則 . . . . 11設函數, 其中函數具有二階導數, 具有一階導數,則必有 . B . . . 12設函數則 x=0,x=1都是f的第一類間斷點. B x=0,x=1都是f的第二類間斷點. x=0是f的第一類間斷點,x=1是f的第二類間斷點.x=0是f的第二類間斷點,x=1是f的

20、第一類間斷點. 13設是矩陣A的兩個不同的特征值,對應的特征向量分別為,則,線性無關的充分必要條件是 . . . . 14設A為n階可逆矩陣,交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣,則 交換的第1列與第2列得. 交換的第1行與第2行得. 交換的第1列與第2列得. 交換的第1行與第2行得. 三 、解答題本題共9小題,滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15本題滿分11分設函數f連續,且,求極限16本題滿分11分如圖,和分別是和的圖象,過點的曲線是一單調增函數的圖象. 過上任一點M分別作垂直于x軸和y軸的直線和. 記與所圍圖形的面積為；與所圍圖形的面積為如果總有,

21、求曲線的方程17本題滿分11分如圖,曲線C的方程為y=f,點是它的一個拐點,直線與分別是曲線C在點與處的切線,其交點為. 設函數f具有三階連續導數,計算定積分18本題滿分12分 用變量代換化簡微分方程,并求其滿足的特解.19本題滿分12分已知函數f在0,1上連續,在內可導,且f=0,f=1. 證明： = 1 * ROMAN I存在 使得； = 2 * ROMAN II存在兩個不同的點,使得20本題滿分10分已知函數z=f 的全微分,并且f=2. 求f在橢圓域上的最大值和最小值.21本題滿分9分計算二重積分,其中.22本題滿分9分確定常數a,使向量組可由向量組線性表示,但向量組不能由向量組線性表

22、示.23本題滿分9分已知3階矩陣A的第一行是不全為零,矩陣k為常數,且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.20XX全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一. 填空題本題共6小題,每小題4分,滿分24分. 把答案填在題中橫線上. 1設, 則的間斷點為 .2設函數由參數方程確定, 則曲線向上凸的取值范圍為_.3_.4設函數由方程確定, 則_.5微分方程滿足的特解為_.6設矩陣, 矩陣滿足, 其中為的伴隨矩陣, 是單位矩陣, 則_-.二. 選擇題本題共8小題,每小題4分,滿分32分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求, 把所選項前的字母填在題后的括號內. 7把時的無窮小量, , 排列起

23、來, 使排在后面的是前一個的高階無窮小, 則正確的排列次序是ABCD8設, 則A是的極值點, 但不是曲線的拐點.B不是的極值點, 但是曲線的拐點.C是的極值點, 且是曲線的拐點.D不是的極值點, 也不是曲線的拐點. 9等于A. B.C. D10設函數連續, 且, 則存在, 使得A在內單調增加.B在內單調減小.C對任意的有.D對任意的有. 11微分方程的特解形式可設為A.B.C.D12設函數連續, 區域, 則等于A.B.C.D13設是3階方陣, 將的第1列與第2列交換得, 再把的第2列加到第3列得, 則滿足的可逆矩陣為A. B. C. D. 14設,為滿足的任意兩個非零矩陣, 則必有A的列向量組

24、線性相關,的行向量組線性相關.B的列向量組線性相關,的列向量組線性相關.C的行向量組線性相關,的行向量組線性相關.D的行向量組線性相關,的列向量組線性相關. 三. 解答題本題共9小題,滿分94分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15本題滿分10分求極限.16本題滿分10分設函數在上有定義, 在區間上, , 若對任意的都滿足, 其中為常數.寫出在上的表達式; 問為何值時, 在處可導.17本題滿分11分設,證明是以為周期的周期函數;求的值域.18本題滿分12分曲線與直線及圍成一曲邊梯形. 該曲邊梯形繞軸旋轉一周得一旋轉體, 其體積為, 側面積為, 在處的底面積為.求的值; 計算極限.1

25、9本題滿分12分設, 證明.20本題滿分11分某種飛機在機場降落時,為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機迅速減速并停下來.現有一質量為的飛機,著陸時的水平速度為.經測試,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比.問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少?注 表示千克,表示千米/小時.21本題滿分10分設,其中具有連續二階偏導數,求.22本題滿分9分設有齊次線性方程組試問取何值時, 該方程組有非零解, 并求出其通解.23本題滿分9分設矩陣的特征方程有一個二重根, 求的值, 并討論是否可相似對角化.20XX全國碩士研究生入學統一考試數學二試題填空題本題共6

26、小題,每小題4分,滿分24分. 把答案填在題中橫線上1 若時, 與是等價無窮小,則a= .2 設函數y=f由方程所確定,則曲線y=f在點處的切線方程是 .3的麥克勞林公式中項的系數是_.4 設曲線的極坐標方程為 ,則該曲線上相應于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為_.5 設為3維列向量,是的轉置. 若,則= .6 設三階方陣A,B滿足,其中E為三階單位矩陣,若,則_.二、選擇題本題共6小題,每小題4分,滿分24分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1設均為非負數列,且,則必有 對任意n成立. 對任意n成立. 極限不存在. 極限不存在. 2設

27、, 則極限等于 . . . . 3已知是微分方程的解,則的表達式為 A 4設函數f在內連續,其導函數的圖形如圖所示,則f有 一個極小值點和兩個極大值點. 兩個極小值點和一個極大值點. 兩個極小值點和兩個極大值點. 三個極小值點和一個極大值點. y O x5設, 則 6設向量組 = 1 * ROMAN I：可由向量組 = 2 * ROMAN II：線性表示,則 當時,向量組 = 2 * ROMAN II必線性相關. 當時,向量組 = 2 * ROMAN II必線性相關. 當時,向量組 = 1 * ROMAN I必線性相關. 當時,向量組 = 1 * ROMAN I必線性相關.三 、本題滿分10分

28、設函數 問a為何值時,f在x=0處連續；a為何值時,x=0是f的可去間斷點？四 、本題滿分9分 設函數y=y由參數方程所確定,求五 、本題滿分9分計算不定積分 六 、本題滿分12分 設函數y=y在內具有二階導數,且是y=y的反函數. 試將x=x所滿足的微分方程變換為y=y滿足的微分方程； 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.七 、本題滿分12分討論曲線與的交點個數.八 、本題滿分12分 設位于第一象限的曲線y=f過點,其上任一點P處的法線與y軸的交點為Q,且線段PQ被x軸平分.求曲線 y=f的方程；已知曲線y=sinx在上的弧長為,試用表示曲線y=f的弧長s.九 、本題滿分10分有一平底容器,

29、其內側壁是由曲線繞y軸旋轉而成的旋轉曲面如圖,容器的底面圓的半徑為2 m.根據設計要求,當以的速率向容器內注入液體時,液面的面積將以的速率均勻擴大假設注入液體前,容器內無液體.根據t時刻液面的面積,寫出t與之間的關系式；求曲線的方程.十 、本題滿分10分設函數f在閉區間a,b上連續,在開區間內可導,且 若極限存在,證明：在內f0; 在內存在點,使； 在 內存在與中相異的點,使十 一、本題滿分10分若矩陣相似于對角陣,試確定常數a的值；并求可逆矩陣P使十二 、本題滿分8分已知平面上三條不同直線的方程分別為, , .試證這三條直線交于一點的充分必要條件為20XX全國碩士研究生入學統一考試數學試題一

30、、填空題1設函數在處連續,則 2位于曲線下方,軸上方的無界圖形的面積為3滿足初始條件的特解是4=5矩陣的非零特征值是二、單項選擇題函數可導,當自變量在處取得增量時,相應的函數增量的線性主部為,則；函數連續,則下列函數中,必為偶函數的是 ； ； ； 設是二階常系數微分方程滿足初始條件的特解,則極限不存在；等于； 等于； 等于設函數在上有界且可導,則當時,必有；當存在時,必有； 當時,必有； 當存在時,必有5設向量組線性無關,向量可由線性表示,而向量不能由線性表示,則對于任意常數必有線性無關； 線性相關；線性無關； 線性相關本題滿分6分已知曲線的極坐標方程為,求該曲線對應于處的切線與法線的直角坐標

31、方程本題滿分分設函數,求函數的表達式五、本題滿分分已知函數在上可導,且滿足,求本題滿分分求微分方程的一個解,使得由曲線與直線以及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周的旋轉體的體積最小七、本題滿分7分某閘門的形狀與大小如圖所示,其中直線為對稱軸,閘門的上部為矩形,下部由二次曲線與線段所圍成當水面與閘門的上斷相平時,欲使閘門矩形部分與承受的水壓與閘門下部承受的水壓之比為：,閘門矩形部分的高應為多少？八、本題滿分分設,證明：數列的極限存在,并求此極限本題滿分分設,證明不等式十、本題滿分8分設函數在的某鄰域具有二階連續導數,且證明：存在惟一的一組實數,使得當時,本題滿分分已知,為三階方陣,且滿足證明：矩陣可逆；若,求矩陣十二、本題滿分分已知四階方陣,均為四維列向量,其中線性無關,若,求線性方程組的通解20XX全國碩士研究生入學統一考試數學試題一、填空題