1、三重積分圖fffzdv圖1.將bQ分別表示成直角坐標，柱面坐標和球面坐標下的三次積分，并選擇其中一種計算出結果.其中Q是由曲面z=X2丁2與z=x2+y2所圍成的閉區域分析為計算該三重積分，我們先把積分區域投影到某坐標平面上，由于是由兩張曲面J工二,2-x2-y2,z=Ax2-y2與z=x2+y2，而由這兩個方程所組成的方程組z=x2+y2極易消去z，我們把它投影到xoy面上.然后，為在指定的坐標系下計算之，還應該先把Q的邊界曲面用相應的坐標表示，并找出各種坐標系下各個變量的取值范圍，最后作代換即可.z=2-x2-y2,解將Q投影到xoy平面上，由z二x2*y2消去z得(x2+y2)2=2-(

2、x2+y2),或(x2+y2+2)(x2+y2-1)=0,于是有x2+y2=1.即知，Q在xoy平面上的投影為圓域D：x2+y21.為此在D內任取一點Q(x,y),過Q作平行于z軸的直線自下而上穿過Q.穿入時碰到的曲面為z=x2+y2,離開時碰到的曲面為z=Cx2y2(不畫圖，僅用代數方法也易判斷z=x2+y2z=；2-x2-y2),這是因為x2+y21)(1)直角坐標系下，我們分直角坐標與柱面坐標，下邊找z的變化范圍從而化為三重積分.因此再由D：x2+y21,有z=x2+y2z=A2-y2，于是在直角坐標下，Q可表示為-1x1,q1-x2yq1-x2,qx2+y2z2-x2-y2,于是有(2

3、)柱面坐標下首先把Q的表面方程用柱面坐標表示，這時z=x2+y2表示為z=P2,z=2x2y2表示為z=t2一P2.再由投影區域D為x2+y21.故0-PG1,0G。42兀.于是Q可表示為0-e-2兀,0-P-1,IQ.P2-z-v2-p2.將所給三重積分中的體積元素du用du=PdPdedz去替換，有IffzduJJJzPdPdedz手defdp2fpp2dzI=Q=Q=00P2.(3)球面坐標下cos。用球面坐標代換兩曲面的方程，得曲面z=x2+y2變為P=sin21；曲面z八A2-y2變為P八巧.由Q在xoy平面上的投影為x2+y2-1知0-e-2兀，下邊找*的變化范圍.正z軸在Q內，即

4、Q內有點P,使op與正夾角為零，即*的下界為零.又曲面z=x2+y2兀兀與xoy平面相切，故*的上界為2，于是0-*-2再找P的變化范圍.原點在Q的表面上，故P取到最小值為零.為找P的上界，從原點出發作射線穿過Q，由于Q的表面由兩張曲面所組成，因而Pz=x2+y2,的上界隨相應的*的不同而不同.為此在兩曲面的交線z二也-x2-y2上取一點A(0,1,1)，故A所對應的三Y蕓蕓cotMsc。TOC o 1-5 h z當42時，r的上界由曲面r=sin2所給，故這時rSin2.即r的變化范圍為1一.冗/2,當。7時，4rcot/當-時。0142因此正于de正于def加f000I=rcoser2si

5、n。dr+fdefdesinfrcose.r2sinedr0工04由Q的特點(在xoy平面上的投影為圓域，而Q本身不是球或球錐)，故采用柱面坐標計算比較簡單，這時于defr.z2于defr.z22-r2Idr77I1r2=2兀24=12兀JdeJdrJrzdzI=00r2小結(1)計算三重積分時，欲用何種坐標，就要首先把積分區域的表面方程化成用該坐標表示，同時把被積函數中的變量與體積元素替換為該坐標下的形式.(2)不要認為當積分區域為球體的一部分就應采用球面坐標.球面坐標所適用的積分區域一般為球，兩球面所圍的區域，或這兩種區域被圓錐所截得的部分.本題是由旋轉拋物面與球面所圍成的區域，一般是不宜

6、用球面坐標的.(3)還應注意面積元在不同坐標下的不同形式；并且在直角坐標系中，更應該強調學會使用對稱性、奇偶性、切片法、換元法、投影面方程的求法等；fffz.x2+y2+z2du2.計算三重積分Q,其中Q是由曲面x2+y2+z2=1與z=ax2+y2)所圍成的區域.分析q為球面和圓錐面所圍成的區域.故從積分區域的特點看，它適宜用球面坐標.同時，被積函數中含有因式x2+y2+z2,故從積分區域與被積函數兩方面來看，應選用球面坐標.解在球面坐標下，球面x2+y2+z2=1的方程為r=1,錐面z=%：3(X2+y2)的方程為TOC o 1-5 h z3，兀,Ke=etane=3，即6,又z軸的正向穿

7、過Q故e的下界為零，因此06.X2+J2+Z2=1,.1將Q投影到xoy面，由方程組上=3(X2+)2)消去z得x2+y2=4.因此002兀.該錐體的頂點在原點，故r下界為零，由穿線法可知r-L故0r1.于是支r4drJJJZJ；x2+y2+z2dvJJJr4cos。sin。drdd0fd0fsin。cos如J1r4dr0Q=Q=00,sin2。6rs1=2冗2s020小結當積分區域為由球面與錐角二50所圍成的球錐體時.若錐題的頂點為原點，且Z軸正向穿過積分區域，則有0隼隼0,且r的下界為零，上界由球面的方程所給出.III()2+z2)dv,.計算Q其中Q是由xoy平面上的曲線y2=2x繞x軸

8、旋轉而成的曲面與平面x=5所圍成的閉區域分析：投影區域為圓域，再由于積分區域與球體無關，故采用柱面坐標，這時要注意把y,z用極坐標代換.還應注意積分區域關于平面y=0,z=0皆對稱，且被積函數關于y,z皆為偶函數.因此還應利用積分區域關于坐標平面的對稱性與被積函數關于某相應變量的奇偶性先進行化簡.)2y2解曲線=2x或x=2繞x軸旋轉得的旋轉拋物面方程為x=2(y2+z2),故Q由拋物面x=2(y2+z2)與z=0所圍成.由于被積函數分別是y和z的偶函數，而積分區域關于平面y=0與z=0都對稱，因此，其中Q,為Q在第一卦限內的部分Iff(y2+z2)dvIII(y2+z，其中Q,為Q在第一卦限

9、內的部分X=2()2+Z2X=2()2+Z2),x=5知，Q在yoz平面上的投影為y2+z2-10.Q,在yoz平面上rara的投影為yoz平面上第一象限內的1/4個圓，因此有Q：09-,20pv10,r2x5.2dx(y2+z2)dv=JJJp2pdpdBdx4J：d09-,20pv10,r2x5.2dx兀f10(5-p2-)p3dp=202250:=小結250:=應首先將所給積分化簡，其原則為Q關于平面Z=0對稱，f(x,y,z)關于z是奇函數時，積分ffff(x,y,z)dv為零;f(x,y,z)關于z是偶函數時，所求積分為2，其中Q為Q被z=0所分的上半個子區域，其余類同.(2)對柱面

10、坐標，清楚這是把積分區域投影到哪個平面時就做的相應的柱面坐標變換，如本題，由于我們把Q投影到yoz平面，就有y=pcos0,z=psin0,x=x.類似地，對球面坐標也應做相應理解，即穿過Q的坐標軸如果不是z軸而是x軸或y軸.球面坐標公式x=rsin隼cos0,y=rsinsin0,z=rcos3也應做相應變化.ffff(z)dv:f1f(z)(1-z2)dz,.證明當f(z)連續時，Q=-1并用此公式計算fff(z3+z2+z+1)dz的值，其中Q：x2+y2+z21分析積分區域見圖3,題目要求把三重積分化成只剩下對z的定積分，我們可以把它看作對該三重積分先計算一個關于x,y的二重積分再計算

11、對z的定積分.顯然這種計算方法和我們前邊的計算方法是不同的，前邊的計算方法(如例1,2)是先將投影到坐標平面xoy上得投影區域D,計算時先對z積分再計算在D上的二重積分，比如練習題1在直角坐標下可看作JJdxdyJ2-x2-y2zdzI=。x2+y2，即采用“穿線法”，本題欲先計算一個二重積分再計算定積分，應采用為“先二后一”法.亦稱“切片法”，即先將Q投影到Z軸上得線段-1,1.在（-1,1）上任意點Z作一垂直于Z軸的平面截Q得一平面區域0z，在每個上作對x,y的二重積分，然后再把這些積分值累加起來，既再對Z從-1到1積分.解由Q的表面方程為X2+#+Z2=l知,zLL1,既Q在軸上的投影為

12、線段LL1,在C1J）內任取一點z,過z作垂直于z軸的平面截Q得一平面區域X2+笫41-Z2.于是2的面積為-z2）因此BIf(z)dz=fdJJf(z)dxdy=f/(z)dzJIdxdy=冗J/(z)(lMz-1-1-1571_8當代Z）=Z3+Z2+Z+1時，有。二1JJJ(z3+Z2+z+l)du571_8當代Z）=Z3+Z2+Z+1時，有。二1小結“切片法”適用于被積函數為某變量的一元函數，而垂直于相應坐標軸的平面截Q所得截面面積易求短示）出時的情形.一般的，若被積函數為x的一元函數fQ）時，作垂直于x軸的平面；被積函數為隼（y）時，作垂直于y軸的截面；被積函數為隼Q）時，作垂直于z

13、軸的截面.5.求底圓半徑相等的兩個直交圓柱面X2+y2=R2與x2+z2=R2所圍立體的表面積.分析該兩圓柱面直交時所圍立體處在八個卦限內.其表面為8X2個面積相等的曲面，我們只經計算其中一個曲面面積即可.要注意計算曲面面積時，要找其在坐標面內的投影區域.要注意向哪個坐標面作投影要依據曲面方程而定解為計算該住體的表面積.我們只須計算圖4陰影部分的面積S1再乘以16即可.該曲面的方程為z=vR2-x2.它在xoy面上的投影為&XD二X,y)D二X,y)X2+y20,y0SxRR2-X2于是ffxTJJffffxTJJffR1+(一-)2dxdy=.-UVrR2一x2rR2一x2S1=dDdxdy

14、fdxR2=00R-dy=R2rR2x2故S=16sl=16R2.確定選用何種坐標，一般要從積分區域與被積函數兩方面考慮，通常可參閱下表采用坐標積分區域的特點被積函數的特點球面坐標球，或球被圓錐面所截得的球錐體(特殊情況下為半球體)，或兩同心球面所圍的立體與被圓錐面所截得的主體.f(x2+y2+z2)或被積函數含有因式x2+y2+z2柱面坐標不適用球面坐標，但積分區域在坐標面上的投影適用于極坐標者f(x2+y2),f(x2+y2+z2)或被積函數含因式x2+y2直角坐標其他情形16.設均勻柱體密度為P,占有閉區域。=x,y,Z)1x2+y2-R2,0-Z-J求它對于位于點M0(0,0,a)(ah)處的單位質量的質點的引力分析用公式求引力時，要注意利用當P-常數時.以與立體對坐標面的對稱性，來簡化計算解。是一位于xoy面上方的圓柱體，它關于xoz面yoz面都是對稱的，因此有FX=FY=0下面計