1、2022/10/11 第二十一講 簡單常微分方程(一)一、微分方程的基本概念二、一階常微分方程2022/9/271 第二十一講 2022/10/12 十七世紀(jì)末，力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)提出大量需要尋求函數(shù)關(guān)系的問題。在這些問題中，函數(shù)關(guān)系不能直接寫出來，而要根據(jù)具體問題的條件和某些物理定律，首先得到一個(gè)或幾個(gè)含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即微分方程，然后由微分方程和某些已知條件把未知函數(shù)求出來。一、微分方程的基本概念2022/9/272 十七世紀(jì)末，力學(xué)、天文學(xué)、物理一2022/10/13重力切向分力解2022/9/273重力切向分力解2022/10/14根據(jù)牛頓第二定律,得到注意到從而

2、有微分方程初始條件定解條件定解問題2022/9/274根據(jù)牛頓第二定律,得到注意到從而有微分方2022/10/15 定義1: 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程 稱為微分方程. 未知函數(shù)是一元函數(shù),含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為常微分方程. 未知函數(shù)是多元函數(shù),含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.例如2022/9/275 定義1: 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程2022/10/16例如二階 未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階.定義2: ( 微分方程的階 )2022/9/276例如二階 未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階2022/10/17 未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次整式的微分方程稱為線性微分方程.定義

3、3: ( 線性與非線性)2022/9/277 未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次整2022/10/18定義4: ( 微分方程的解)稱為微分方程的通解. 微分方程的通解：2022/9/278定義4: ( 微分方程的解)稱為微分方2022/10/192022/9/2792022/10/110微分方程的特解： 一個(gè)常微分方程的滿足定解條件的解稱為微分方程的特解通解有時(shí)也寫成隱式形式稱為微分方程的通積分2022/9/2710微分方程的特解：通解有時(shí)也寫成隱式形式2022/10/1112022/9/27112022/10/112有n個(gè)定解條件2022/9/2712有n個(gè)2022/10/113 定義5: ( 積

4、分曲線 與積分曲線族)積分曲線族2022/9/2713 定義5: ( 積分曲線 與積分曲線2022/10/114二、 一階常微分方程的 初等積分法所謂初等解法,就是用不定積分的方法求解常微分方程.初等解法只適用于若干非常簡單的一階常微分方程,以及某些特殊類型的二階常微分方程.2022/9/2714二、 一階常微分方程的所謂初等解法,就2022/10/115(一) 變量可分離型(三) 一階線性方程(二) 可化為可分離變量(五) 全微分方程(四) 伯努利(Bernoulli)方程(六) 積分因子2022/9/2715(一) 變量可分離型(三) 一2022/10/116兩邊積分通解分離變量這兩個(gè)方程

5、的共同特點(diǎn)是變量可分離型(一) 分離變量法2022/9/2716兩邊積分通解分離變量這兩個(gè)方程的共同特2022/10/117(1) 解兩邊積分分離變量即2022/9/2717(1) 解兩邊積分分離變量即2022/10/118(分離變量時(shí),這個(gè)解被丟掉了!)于是得到方程通解2022/9/2718(分離變量時(shí),這個(gè)解被丟掉了!)于是得2022/10/119(2) 解分離變量兩端積分, 得通解奇異解2022/9/2719(2) 解分離變量兩端積分, 得通2022/10/120(二) 可化為可分離變量這兩個(gè)方程的共同特點(diǎn)是什麼 ? 可化為齊次型方程2022/9/2720(二) 可化為可分離變量這兩個(gè)方

6、程2022/10/121求解方法這是什麼方程？可分離變量方程！2022/9/2721求解方法這是什麼方程？可分離變量方程！2022/10/122分離變量兩端積分2022/9/2722分離變量兩端積分2022/10/123取指數(shù)并且脫去絕對值由此又得到通解2022/9/2723取指數(shù)并且脫去絕對值由此又得到通解2022/10/1242022/9/27242022/10/125兩端積分得通解2022/9/2725兩端積分得通解2022/10/1262022/9/27262022/10/127(三) 一階線性微分方程2022/9/2727(三) 一階線性微分方程2022/10/128性質(zhì)1：性質(zhì)2：

7、性質(zhì)3：2022/9/2728性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：2022/10/129性質(zhì)4：性質(zhì)5：2022/9/2729性質(zhì)4：性質(zhì)5：2022/10/130(1) 如何解齊次方程？非齊次齊次可分離型！標(biāo)準(zhǔn)形式：什麼類型？一階線性微分方程2022/9/2730(1) 如何解齊次方程？非齊次齊次可2022/10/131分離變量是p(x)一個(gè)原函數(shù)不是不定積分！齊次通解解得注意：齊次通解的結(jié)構(gòu)：2022/9/2731分離變量是p(x)一個(gè)原函數(shù)不是不定積2022/10/132(2)用常數(shù)變異法解非齊次方程假定(1)的解具有形式將這個(gè)解代入(1) , 經(jīng)計(jì)算得到2022/9/2732(2)用常數(shù)變異法解非齊次方程假定(12022/10/133化簡得到即2022/9/2733化簡得到即2022/10/134積分從而得到非齊次方程(1)的通解非齊次通解或2022/9/2734積分從而得到非齊次方程(1)的通解非齊2022/10/135非齊次通解的結(jié)構(gòu)：特解非齊次特解2022/9/2735非齊次通解的結(jié)構(gòu)：特解非齊次特解2022/10/1362022/9/27362022/10/137這是線性方程嗎？是關(guān)于函數(shù) x=x(y) 的一階線性方程！解變形為：第一步:先求解