1、嘗試與猜測之“雞兔同籠” 段雪梅一、教材分析：教材中向學生提供了生動、有趣的主題圖，借助我國古代趣題“雞兔同籠”問題，使學生展開討論。教材中呈現的解決問題的方法是列表的方法尋找問題的結果。其中第一張表格是常規的逐一舉例法，根據雞與兔共20只的條件，假設雞只有1只，那么兔就有19只，腿共有78條在這樣的逐一舉例中，尋找到所求的答案；第二張表格是先估計雞與兔只數的可能范圍，以減少舉例的次數；第三張表格是采用取中間列舉的方法，由于雞與兔共20只，所以各取10只，接著在舉例中根據實際的數據確定舉例的方向，這樣可以大大縮小舉例的范圍。 二、設計理念：（一）設計意圖：本教材向學生提供了現實、有趣、富有挑戰

2、的學習素材，借助我國古代趣題“雞兔同籠”問題為載體，使學生展開討論，應用假設的數學思想，從多角度思考，運用多種方法解題，讓學生根據自己的經驗，逐步探索不同的方法，經歷列表、嘗試和不斷調整的過程，從中體會出解決問題的一般策略列表。在合作交流學習的過程中，積累解決問題的經驗，掌握解決問題的方法。（二）設計思路：遵照新課程標準的精神，在課程設置中強調學生是學習的主人，在學習過程中盡可能多的為學生提供探索和交流的空間，鼓勵學生自主探索與合作交流。通過教師創設的現實情景，讓學生投入解決問題的實踐活動中去，自己去研究、探索、經歷數學學習的全過程，從而體會到假設數學思想的應用與解決數學實際問題的聯系，感悟到

3、“有序”對解決數學問題的作用。通過學習使學生認識到數形結合的重要性，提高學生分析問題和解決問題的能力。在教學過程中應注意鼓勵每個學生參與學習過程，注重學生之間交流，關注對學生的建設性評價。使學生共同學習，共同進步，共同提高，把所學的數學知識應用到生活中去，用數學的眼光看待身邊的事物，體會數學的價值。 三、學生分析：五年級學生已經初步嘗試了應用逐一列表法解決問題，還有一些學生在奧數的學習中已經學過，學生的程度參差不齊。學生的思維活躍，敢想，敢說，有一定的小組合作經驗。 四、教學設計 第一稿教學課題雞兔同籠教學目標1.知識與技能：通過學生對一些日常生活中的現象的觀察與思考，從中發現一些特殊的規律。

4、通過列表舉例、作圖分析等方法，解決雞與兔的數量問題。2.過程與方法：培養學生的合作意識，在現實情景中，使學生感受到數學思想的運用與解決實際問題的聯系，提高學生解決問題的能力和自信心，進而讓學生體會數學的價值。3.情感、態度與價值觀：應用假設的數學思想，在解題中數形結合，提高學生分析問題和解決問題的能力；在解決“雞兔同籠”的活動中，通過列表舉例、畫圖分析、嘗試計算等方法解決雞兔的數量問題。4.美育目標：在老師、同學的幫助下，對身邊與數學有關的某些事物有好奇心，參與數學活動，感受數學的美。教學重點通過列表舉例、作圖分析等方法，解決雞與兔的數量問題。教學難點掌握較好的方法解決問題教學準備表格教學過程

5、教學步驟學生活動教師活動及重點關注設計意圖一：提出問題學生思考教師出示：雞兔同籠，有20個頭，54條腿，雞、兔各有多少只？談話導入揭示以前知識之間的聯系二：解決問題分析題意。小組討論。全班交流。學生分析題意學生獨立思考學生小組交流學生舉例與列表學生畫圖二：解決問題1.分析題意。學生分析題意，明白所要解決的問題。2.小組討論。要求：（1）每個人先獨立思考，要有一種解決問題的方法。 （2）在個人思考的基礎上，進行小組交流。 （3）注意交流各組的解決問題的策略。3.全班交流。（1） 教材中列舉的方法有4種，前3種是通過假設舉例與列表的方法，尋找需解決問題的結果。第4種是畫圖的方法，第一張表格是常規的

6、逐一舉例法，根據雞與兔共20只的條件，假設雞只有1只，那么兔就有19只，腿共有78條，在這樣的逐一舉例中，直至尋找到所求的答案；第二張表格是先估計雞與兔只數可能范圍，以減小舉例的次數；第三張表格是采用取中間列舉的方法，由于雞與兔共20只，所以各取10只，接著在舉例中根據實際的數據情況確定舉例的方向，這樣可以大大縮小舉例的范圍。第4種方法是畫圖，比較形象直觀。先畫出20個圓圈，代表20個頭，接著假設全部是雞，共畫40條腿，剩余的14條腿只要逐一添上，就能很快地發現雞與兔的只數。（2）學生可能出現的方法。 在放手研究的過程中，學生可能會出現書上的方法，通過預習的途徑可以獲得，同時學生可能還會用其他

7、的方法計算，包括用方程解決。算術方法。用方程解決。對于學生出現的方法，一定要讓他表述清楚想法，教師對中間出現的問題，進行指導和疏導。（3）回顧解決問題的思路和解決問題的策略。分析題意，有利于學生對已學知識的回顧，為新知識作好鋪墊，便于學生知識結構的形成。一個人的想法和他人的意見在交流和討論中會產生學生對自己想法的反思和補充，教師應該盡量創設交流和討論的機會和氛圍。及時歸納有利于對剛學新知識的鞏固和運用，在頭腦中留下深刻的痕跡。三：學生交流自己的收獲。學生總結學生交流自己的收獲。總結解決問題的策略。 梳理探究過程，鞏固學習到的解題方法。第二稿一、教學目標：1.培養學生的合作意識，在現實情景中，使

8、學生感受到數學思想的運用與解決實際問題的聯系，提高學生解決問題的能力和自信心，進而讓學生體會數學的價值。 2.應用假設的數學思想，在解題中數形結合，提高學生分析問題和解決問題的能力；3.在解決“雞兔同籠”的活動中，通過列表的方法解決雞兔的數量問題，并從中發現規律，優化列表。教學重點：經歷列表、嘗試和不斷調整的過程，從中體會出解決問題的一般策略列表。教學難點：以雞兔同籠問題為載體，以列表舉例為依托，培養學生多角度、有序思考數學問題的思維方式。二、教學設計：課前游戲：出示小禮物，師：看誰能最先猜對它的價格。“猜送”活動： （生 ：老師您得告訴我們是便宜了還是貴了。）(一)：感知活動情境，展現學生風

9、采。師：喜歡數學嗎？（喜歡）師：他不但可以增長你的知識，開闊你的視野，同時還可以鍛煉你的思維，在我國古代就有許多非常有趣的數學名題，你們了解嗎？（如“韓信點兵”、 “雞兔同籠”）師：從那兒了解到的？（奧數中學的。）師：那你學得一定不錯吧！能給我們介紹一下嗎？ 師隨生的介紹呈現問題，只要你們相信自己就一定能找到答案。那就嘗試著做作？學生獨立思考，匯報師：誰愿意把你的想法和大家交流？法1：假設全是兔，就有28條腿，比條件多28-20=8條腿，用8條腿除以兔比雞多的2條腿，得4，就是雞的只數，再用7-3=4就是兔的只數。 師：你在不經意中用到了我們數學中一個非常重要的思想-“假設”。法2：是畫圖求的

10、。（先畫7個圈表示7個頭，然后在每個頭上畫兩條腿，一共14條腿，比總數少了6條腿，再給每個頭上補兩條腿，因為兔子有4條腿，需要畫3次，就是有3只兔，4只雞。）師：你嘗試著把假設與畫圖結合在一起了，使解題過程變得簡單了，獨特的方法，使你給大家留下了深刻的印象。法3： 先假設有1只兔，6只雞，共有4條腿+12條腿=16條腿，不對；再假設有2只兔，5只雞，共有8條腿+10條腿=18條腿，還是不對；繼續假設有3只兔，4只雞，共有12條腿+8條腿=20條腿，對了，所以有3只兔，4只雞。師：他先嘗試著從簡單的開始一個一個的試，最終找到了答案，多么簡單的方法呀！我們把他寫在黑板上吧，你覺得怎么寫更簡單？法4

11、：列表 (生說師寫) (二)：滲透嘗試猜測，體會總結方法。出示例題：師：看明白了嗎？那還不趕快行動，把你們的想法寫在表格上。學生獨立試做師：把你的想法和過程與同桌互相說說，師：通過你們的聲音告訴我，大家已經想好了，誰愿意把自己的過程給大家展示一下。生實投，師提問：看誰在聽的過程中能提出最有價值的問題。方法1：我先假設有1只雞，19只兔，共有78條腿，比條件多，然后把雞的只數增加1只，兔的只數減少1只，這樣一直試下去，直到腿數符合要求。師：這么快你就學會了，看來還真挺簡單，大家有問題嗎？方法2：我先假設有10只雞，10只兔，共有60條腿，比條件多，然后把雞的只數增加5只，兔的只數減少5只，腿少了

12、，說明雞多，再往回減少雞的只數去試，這樣一直試下去，直到腿數符合要求。師：說完了，老師還沉浸在你精彩的講述過程中，為你巧妙的方法而感到驕傲，真的要感謝你使我們列表速度加快了。如果剛才的方法稱為逐步列表法，那現在可以叫做？(跳躍式列表法！)師：可以，我們把他稱為取中列表法，誰還有問題？生 ：如果找不到中間的數怎么辦？如15。師： 你可以解答嗎？生 ：你只要找到相近的兩個數就可以了，比如7和8。師 ：你怎么知道要把雞的只數增加，兔子的只數減少？ 師：那你為什么增加5只雞，而不是增加4只？ 發現規律：只要增加1只雞減少1只兔子，總腿數就減少2條，這樣就不用每次都算了，直接減2就可以。 方法3：生1：

13、我的方法和他們不一樣，我還是先假設有1只雞，19只兔，共有78條腿，一看腿差的太多，就增加2只雞，這樣也可以找到答案。 師：你們的想法真有創意，每次都是跳著增加，這樣稱為跳躍式列表法比較合適吧。師小結：列表雖然簡單，但也不是隨隨便便就列的，要想又快又正確地找到答案還真是要動動腦筋。看來做什么事情都不能循規守矩，一定要認真觀察，仔細思考，只有這樣才能找到自己獨特的見解和想法，做到技高一籌，處處領先別人。聽了他們介紹的這些方法，你有什么啟發嗎？(三)：鞏固提高練習，感悟列表本質。師：我們通過“雞兔同籠”研究了嘗試與猜想，你們知它最早記錄在那本書上嗎？（課件介紹）記載在我國的古代數學名著孫子算經上，

14、（簡介孫子算經。孫子算經作者是誰？至今也無法判定。其中下卷第31題，可謂后世“雞兔同籠”題的始祖。）師：聰明的古人早在1500年前就對此題有所研究了，想知道古人是怎么做的嗎？ 古人也向你們一樣，有一套自己獨特的想法。（師出示課件演示古人解題方法，并把算式列在黑板上）師：先讓雞和兔都抬起一半的腿，還有202=10（只），現在動物的頭與腿的只數有什么關系？（雞的頭與腿一一對應，而兔子的頭對應兩條腿。）師：現在再讓每個動物抬起一條腿，還剩下10-7=3（只），這個3就是3只兔，7-3=4（只）雞。師：同學們，你們覺得古人的方法怎么樣？師：其實你們比古人更聰明，有想法就立刻嘗試，在列表過程中還不斷的猜

15、想發現規律。師：“雞兔同籠”的問題從中國傳到日本，就變成了“龜鶴問題”，看來這類問題我們不能僅僅局限在“雞兔”問題上，題目要是變化一下有信心解答嗎？出示練習：1有龜和鶴共40只，龜的腿和鶴的腿共104條，龜、鶴各有幾只？2自行車和三輪車共有26輛，共有60個輪子。自行車和三輪車各有多少輛？師：試著做作，可以選一道也可以選兩道。匯報評析。(四)：總結反思，引發思考三、課后反思：雞兔同籠是大家非常熟悉的數學問題，但編入教材主要不是為了解決“雞兔同籠”問題本身，而是要借助“雞兔同籠”這個載體讓學生經歷列表、嘗試和不斷調整的過程，從中體會出解決問題的一般策略列表。1.創設興趣情境，以趣引思。心理學研究

16、表明，人在情緒低落時的思維水平，只有情緒高漲時的二分之一。因此，在教學中教師要想方設法激發學生的學習興趣，使學生進入歡樂愉快的最佳心理狀態。首先借助“雞兔同籠”引出課題，激發學生的興趣。由于它是奧數中一道非常經典的例題，學生會不會受到干擾？為此我們作了前測，發現有10%以上的同學都學過此內容，并可以用假設法解答，因此我們在備課中牢牢抓住“兩條線”，一是抓住嘗試猜想這條主線；二是抓住思維發展層次這條輔線。從課前的猜價格游戲即讓學生回顧感悟學過的一種解決問題的有效策略逐步逼近，為后面列表時逼近“腿的數量”打好伏筆，學生在積極思考、踴躍猜測的過程中，滲透了區間的思想。另外，重視學生學習過程，在師生互動交往中，情感體驗充分，通過比較、判斷及時調整，以此發展學生思維質量。 2.創設討論情境，以說促思。由于學生的生活背景、數學知識、能力和思考問題的角度不同，在探索數學問題時，必然會出現多種不同的思考方法。如在二次列表時，不同的學生有著不同的思維，有的按照前面的方法逐一列表（大多數是這樣的），而那些思維活躍的卻努力尋找著使列表簡單的方法，事實表明：只要空間足夠寬闊，他們是有潛