1、第三章連續型隨機變量及其分布第一、二、三節 第一節 分布函數 第二節 概率密度函數 第三節 常見連續型隨機變量 在實際問題中, 常常遇到這樣的隨機變量, 它們的值域是一個區間或若干個區間的并, 稱這類隨機變量為連續型隨機變量. 對于連續型隨機變量, 我們常常并不注重它取某個值的概率, 而是更關心它落在某個區間內的概率. 用什么來描述連續型隨機變量取值的統計規律性呢? 概率密度函數! 下面先引進分布函數的概念.3.1 分布函數上的實值函數定義3.1 給定一個隨機變量 , 稱定義域為 為隨機變量 的分布函數.注 上述定義對任意的隨機變量而下;分布函數的值域范圍為 ;對任意的 , 總有例1 設一口袋

2、中有依次標有 數字的六個球, 從中任取一球, 記隨機變量 為取得的球上標有的數字, 求: 的分布函數 , 并作出 的圖像;計算概率值解 由古典概型計算方法, 容易得到相應的概率分 布:若 則 為不可能事件, 因而若 則 所以同理, 當 有當所以, 分布函數為分布函數的圖像為由計算公式, 得到的分布函數, 則: 定理3.1 （分布函數的性質）設 是隨機變量分布函數單調不減;對任意的 , 分布函數右連續; 進一步, 分布函數的性質刻劃了分布函數的特征.即: 如果某個函數具有上述四條性質, 那么它必定是某 個隨機變量的分布函數.例2 在下列函數中, 哪一個可以作為某一隨機變量的分布函數?A.B.C.

3、D. , 其中 . 解 因為 , 不能保證單調性, A錯; 所以C錯; D中函數 不確定, 所以D錯, 又B中正確答案為B.且易驗證 , 單調不減, 右連續. 故因為例3 設隨機變量 和 的分布函數為 和為使 為某一隨機變量的分布函數, 則常數 和 必須滿足條件 .A.B.C.D.題解分析 由必要條件:定理3.2 對于任意的隨機變量 , 其分布函數 在 說明: 對任意的故: 點處連續的充分必要條件是 . 3.2 概率密度函數定義3.3 給定一個連續型隨機變量 , 如果存在一個定義域為 的非負實值函數 , 使得 的分布函數 可以表示為那么稱 為連續型隨機變量 的概率密度函數. 概率密度函數滿足下

4、面兩個條件: 這兩個條件刻劃了密度函數的特征性質, 即如果某個實值函數具有這兩條性質, 那么它必定是某個連續型隨機變量的密度函數.例4 如果 是某個隨機變量 的密度函數, 則下面函數中能夠成為另一隨機變量的密度函數的是 .A.B.C.D.分析 構成密度函數的必要條件是因 所以A錯; 取 易知這是一個概率密度函數, 但是因此B錯; 令 . 這是密度函數 , 但所以C錯.而 正確答案為 D.例5 設隨機變量 的密度函數為求常數解 由密度函數性質:又所以, 定理3.4（連續型隨機變量的性質） 設 是任意一個連續型隨機變量, 與 分別是它的分布函數與密度函數, 則: 是連續函數, 且在 的連續點處,

5、有對任意常數 有對任意的兩個常數 有注 密度函數與概率之間的關系猶如物理學中線密度與質量之間的關系.由定理3.4的知, 對實數軸上任意一個集合 , 特別地,例6 設連續型隨機變量 的分布函數為 的概率密度函數;求:系數 概率值解 由 在任一點的連續性知, 所以因函數 在區間 內可導,且其余部分所以例7 某城市每天的耗電率 服從下列密度確定的分布:如果該城市發電廠每天供電量為80萬千瓦小時, 那么任意一天供電量不夠需要的概率是多少?（耗電率定義為每天耗電量/百萬千瓦小時）解 供電率為 (供電量/百萬千瓦小時), 所求為例8 設 的概率密度函數為求 的分布函數.解 當 時,當 時, 當 時, 綜上

6、, 3.3 常見連續型隨機變量 1.均勻分布 設隨機變量 的密度函數為稱 服從區間 上的均勻分布, 記作密度函數圖形為: 顯然 , 這是直線上的幾何概率情形. 分布函數為分布函數圖形:例10 公共汽車站每隔5分鐘有一輛車通過, 乘客在5分鐘內任一時刻到達汽車站是等可能的, 求乘客候車時間在1到3分鐘內的概率.解 設 為等候的時間, 則 , 因此所求概率為: 2.指數分布 如果隨機變量 的密度函數為則稱 服從參數為 的指數分布, 記為 分布函數為 指數分布概率計算公式 設則例12 設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間服從參數為0.2的指數分布. 某顧客在窗口等待服務, 若超過10分鐘他就離開.設某

7、顧客某天去銀行, 求他沒等到服務就離開的概率.設某顧客一個月要去銀行五次, 求他五次中至多有一次未等到服務而離開的概率.解 設 表示等候服務的時間, 則 . 所求即為記 為該顧客在這五次當中因未等到服務而離開的次數, 則 . 因此所求概率即為 3.正態分布 設隨機變量 的概率密度函數為則稱 服從參數為 的正態分布, 記為服從正態分布的隨機變量統稱為正態隨機變量.其中參數 , 參數 .正態分布的密度函數曲線圖形 正態分布概率密度函數的曲線特征:密度函數 的圖形關于 對稱; 當 時, 在 處取得最大值當 較大時, 曲線比較平坦; 當 較小時, 曲線比較陡峭.不同 的正態分布密度函數圖形 時的正態分

8、布稱為標準正態分布. 其概率密度函數和分布函數分別為標準正態分布密度函數圖形當 時, 的值可以從附表4中查得（見課本 259頁至260頁）.當 時, 有公式 特別地, 例13 設 , 查表求下列概率值: ; ; ; ; .解 查表得若 , 則 若 , 則特別地 例14 設 , 求 解 查表得 正態分布的分位數計算 給定 , 查表可得數值 , 使稱 為隨機變量 的 分位數.右圖為分位數的幾何意義!且當 時,當 時, 例15 求分位數 .解 查表得例16 對給定的 , 問: 滿足條件的 是多少分位數.解 由 , 知對給定的 , 問: 滿足條件的 是多少分位數.解 由 , 知例17 某地抽樣調查結果表明, 考生的外語成績（百分解 本題中 未知, 但 可通過題中已知的條件制） 服從正態分布 且96分以上的考生占考生總數的2.3%, 試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率. 得到. 因 得即: 故所求概率為例18 設隨機變量 , 隨機變量 ,記則下面正確的是 .A.對任意實數 , 都有B.對任意實數 , 都有C.對 的個別值才有D.對任意實數 , 都有正確答案 A題解分析 因 故對任意的例19 設隨機變量 服從正態分布 , 服從正態分布 , 且則必有 .A.B.C.D.正確答案 A題解分析 因 即例