1、 小學數學講座（聽課對象:小學六年級學生和家長）解決問題的策略張家驥有兩個問題是小學生家長反映最多的，一個是說自己的孩子學習數學比較粗心；另一個是自己的孩子做數學題時不會分析，不能舉一反三。關于粗心的問題，不是我們今天討論的內容，我只想說一句，粗心的原因很多，各個學生的情況也不完全相同，粗心不只是因為不認真、不細致這么簡單，比如注意力分配不過來，考慮問題常常顧此失彼；再比如學習習慣不好或學習方法不好等。關于解決數學問題時不會分析，不能舉一反三的問題，原因也有多方面，其中，(1)基礎知識學得不扎實，沒有深刻理解掌握知識的本質；(2)沒有理解掌握解決數學問題的策略和思想方法，或理解掌握的解決數學問

2、題的策略和思想方法比較少是最重要的兩個原因。解決問題的策略，以前小學課本上沒有這方面的專題性內容。現在小學數學課本從四年級開始，每一冊都有一個單元專門研究解決問題的策略，這是一個非常好的安排。不過，我感到有些小學生、小學生家長，甚至少數小學老師對這個內容的重視程度不夠或理解不到位。什么是解決問題的策略？小學數學中常見的解決問題的策略有哪些？我們如何選擇和運用這些策略來解決數學問題呢？下面以小學數學應用題為主（也有少量其它類型的題目）談談我的一點學習體會。說到策略，大人們最容易想到“孫子兵法”中的三十六計，以及三國演義中的諸葛亮。諸葛亮“草船借箭”不知道孩子們是否知道。如果不知道，那“烏鴉喝水”

3、的故事都知道吧。烏鴉為了喝到瓶子里的水，把小石子銜到瓶子里讓水位升高，這就是一種策略。所謂策略，簡言之，即計策、謀略。具體一點說就是為了達到某種目的而選擇或設計的方法與技巧。數學中解決問題的策略，即為了尋找到數學題的解題思路而選擇或設計的解題方法與技巧。有些學生拿到一個題目后，如果會做，那沒有問題。如果不會做呢？他就在那兒瞪著眼睛，什么事情也不做，你不知道他在看什么，想什么，你問他有什么想法，他說沒有什么想法。這就是標準的沒有解題策略。烏鴉喝不到瓶子里的水，怎么辦呀？難道就這樣干瞪眼嗎？你得想辦法呀？當然不是每一只烏鴉都能找到把小石子銜到瓶子里讓水位升高這么好的方法的，只有那些肯動腦筋，積累了

4、許多解決問題方法的烏鴉才能找到這么好的方法。學習解決問題的策略就是幫助我們理解、掌握和積累更多的解決問題的思想和方法。解決小學數學應用題的策略有許多。了為提高，我這里講的比小學課本中講的要多得多。下面我把這些策略分成三大類向大家做一個簡單的介紹。“有利呈現”的策略數學作業、數學試卷中的應用題基本上都是以一段文字的形式呈現給大家。應該說多數題目，我們通過這段文字的分析就可以找到解題思路。但有些題目，尤其是條件比較復雜、文字比較多的時候，僅憑這段文字，分析起來比較困難。這時我們有一種策略，就是把題目換一種更加有利于我們清晰地把握題目的已知條件、所要求解的問題和數量關系，更加有利于我們分析思考的形式

5、呈現出來。像這種策略，我們稱之為“有利呈現”的策略。有利呈現的主要做法是將問題簡單化、結構化、直觀化，其目的主要是幫助我們更加審題到位，便于我們分析思考。有利呈現策略的方式主要有以下幾種：標注。即把題目中的條件、問題和重要的字詞句用橫線、波浪線和重點符號等標注出來。這樣可以讓題目的條件和問題更加突現，從而減少無用文字對我們思維的干擾。摘錄。即把題目中的條件、問題和重要的字詞句有結構地摘錄出來。這樣不僅有標注的優點，而且條件間的關系更容易顯露出來，便于我們將條件進行比較。列表。與摘錄類似。為了節省時間，表格的橫豎線有時可以不畫。畫圖。即用圖形把題目的條件和問題表示出來。最典型的圖形就是線段圖。但

6、要注意，畫圖不等于全是圖形，必要的文字和數學式子做輔助說明還是需要的。把題目中的條件、問題用圖形畫出來，可以把數學問題呈現得更加直觀，數學題中的數量關系揭示得更加明顯。有學生說，有些題目如果不畫圖就很難做出來，這話我贊成。小學四年級上學期課本介紹了列表的策略，這是小學課本中作為專題而介紹的第一個解決問題的策略。小學四年級下學期在解決問題的策略中主要介紹了畫圖的策略。這表明，有利呈現的策略已經被數學專家和教師們所重視。不過很可惜，有不少學生對此還沒有重視起來，有些學生毫無有利呈現數學問題的意識和習慣，有些學生畫圖的能力非常弱。例1甲、乙兩輛汽車同時從A、B兩地相對開出。第一次相遇離A地有200千

7、米。然后各自按原速繼續行駛，分別到達對方出發地后立即沿原路返回。第二次相遇時離A地的距離占A、B兩地間全長的75%。A、B兩地間的路程長多少千米？（2014年鹽中分班試卷）僅憑這段文字，這題做起來有些困難。現在我把這道題的線段圖畫出來，大家看看題目的意思和數量關系是不是更加清楚和直觀呀？分析：“第一次相遇離A地有200千米”說得更具體明確一些指什么？指甲、乙合走一個全程時，甲走了200千米。第二次又相遇，說明了什么？說明從開始到第二次相遇，甲、乙合走了3個全程。合走3個全程，甲應該走多少路程呢？應該走2003600千米。從圖上看從開始到第二次相遇，甲走了多少路程呀？甲走了一個全程加175%25

8、%。現在知道如何求A、B兩地間的路程了吧？本來我想多舉幾個例子來說明有利呈現的各種策略，但時間不夠，尤其是應用題線段圖真的要理解掌握它需要好多個課時進行講解和訓練，所以這里只能點到為止。“應用常規”的策略遇到不會做的題目，采用有利呈現的策略，只是為我們尋找解題途徑創造了一個有利環境，即讓我們審題更到位，讓我們更容易或更直觀地看到題目中的數量關系。但要得到解題思路，接下來還要我們做進一步的分析。如實例1，畫圖后題目就做出來了嗎？還沒有。那接下來，我們做什么呢？有些學生又無語了，又在那兒干瞪眼了。老師問他，你現在有什么想法呀？他說沒有想法。這就是我們常說的不會分析。其實他也不想干瞪眼，他也想找事做

9、，但他真的不知道做什么，怎么做。這里我要告訴大家一種策略，就是應用常規的策略，即用一些常規性的數學思想方法去探求解題思路。解答小學數學應用題中常規性的數學思想方法（也可以說成是解題策略）常見的有：（PPT）定向規劃（實例2）我們先來看一個例題：例2甲、乙兩倉庫存糧若干噸。如果甲倉增加30噸，那么乙倉的存糧是甲倉的；如果乙倉增加30噸，那么甲、乙兩倉的存糧比是3：2。甲、乙兩倉原來各有存糧多少噸？（2014年解放路初中升學試卷）這題怎么做？我估計有些學生在考慮用算術方法解答，但目前還沒有找到思路。雖然這道題目可以用算術方法做，但用方程做更簡單。設甲倉原來存糧x噸，則乙倉原來存糧(x+30)噸。所

10、以有x:(x+30)+30=3:2這個方程很好解。請注意，我不是說這題用算術方法不能做，而是說用方程做更快、更簡單。我主張當遇到一道應用題我們一時不知道怎么做時，首先考慮用方程解答。可有些學生就是沒有用方程解題的意識和習慣。拿到一個題目后，如果會做，那用什么方法都可以，如果暫時沒有思路，那不妨先考慮一下解題的方向，即考慮一下是用方程做，還是用算術方法做？如果用算術方法做，是用分數做還是用比例做？在確定了方向后，還要考慮一下接下來先做什么？再做什么？這就是定向規劃的策略。綜合法與分析法（實例3）所謂綜合法，即看由條件可以得到什么？把推出的結論作為新的條件和原來的條件放在一起又能得到什么？所謂分析

11、法，即看要求題目中的問題，我們需要什么？把需要的而題目又沒有直接告訴我們的條件作為新的問題再去找求解它所需要的條件。綜合法由條件向下推結論，分析法由結論向上找條件，這是解題各類數學問題最最常用的數學思想方法，大家一定要理解掌握。例3如圖1是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖。乙槽中有一圓柱形鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上）。現將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個水槽中的水的深度y（厘米）與注水時間x（分鐘）之間的關系如圖2所示。根據圖像提供的信息，解答下列問題：圖2中折線ABC表示（）槽中水的深度與注水時間之間的關系。線段DE表示（）槽中水的深度與注水時間之間的關系（以上兩

12、空選填“甲”或“乙”）；注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？（2012年一中升學試卷）第（1）小題簡單。第（2）小題怎么做？請用綜合法與分析法尋找本題的解題思路。找關鍵性問題（實例4）例4客貨兩車同時從甲、乙兩地相向開出，勻速行駛。相遇后兩車繼續前行，一段時間后，客車離目的地還有54千米，貨車離目的地還有189千米。已知貨車的速度是客車的80%。甲、乙兩地相距多少千米？（2015年解放路初中升學試卷）為便于分析，我們先畫一個線段圖：如果一時找不到解題思路，有時可以先看一看解決問題的關鍵性問題是什么？容易看出，本題的關鍵問題是要求出客車的行駛的時間。那么能求出客車行駛的時間嗎？如果能求

13、，該如何求呢？比較客車和貨車行駛的路程差和速度差，可以求出客車和貨車行駛的時間。這樣問題可以解決。識別套用題型（實例5）例5有兩堆棋子，甲堆中有500個白子和350個黑子，乙堆中有200個白子和200個黑子。為了使甲堆中的黑子占50%，乙堆中黑子占25%，甲、乙兩堆中的黑、白子應如何調整？（2012年鹽中分班試卷）數學中介紹了那么多典型應用題，目的主要有兩個，一是通過學習這些典型應用題，讓我們學到分析和解決問題的方法，訓練我們的思維能力，二是讓我們在做題時可以套用或借用。本題兩堆棋子調整后的結果告訴了我們，所以應該考慮借用“還原問題”，用倒推法分析。而在倒推的過程中，我們又發現其中含有一個“差

14、倍問題”。再繼續分析下去此題可解。識別套用題型，這實際上是一種不由自主的行為，如果你對某種題型理解掌握得非常好，那么以后再見到這類題目，你會一眼看出，并進行模仿解題。可我們發現不少學生拿到的題目明明是已學題型，可他卻不知。為什么？因為他對已學題型理解不深刻，不系統。我問過一些六年級的學生：什么是雞兔同籠問題呀？用假設法求解雞兔同籠問題的一般步驟是什么？回答不出，這說明對這類問題的結構特征和所使用的假設法理解不到位。我又問：你們已經學習了哪些能夠叫出名稱的典型應用題呀？他們說不出幾個。而我看許多小學數學試卷和奧數競賽試卷，發現里面典型應用題，或由幾個典型應用題組合而成的應用題很多。我一看，哦，這

15、是交叉重疊問題，所以我就用交叉重疊問題的解題方法去做；我一看，哦，這是和倍問題和雞兔同籠問題的組合題，所以我用和倍問題和雞兔同籠問題的解題方法去分析解答。把套用題型作一種策略提出來，就是希望同學們要學好每一種典型應用題，并進行總結歸類，這樣有助于我們舉一反三。轉化（六年級下）（實例2）剛才用方程解答了例2，其實例2也可以用算術方法做。我們發現問題中甲加上乙再加上30噸這個和始終沒有變，所以我們可以把這個不變的和作為單位“1”，將問題中的兩個條件進行轉化，即轉化成甲增加30噸后，乙是增加后甲、乙和的；乙增加30噸后，乙是增加后甲、乙和的。然后30（）得到增加30噸后甲、乙的和。再下面就簡單了。轉

16、化的策略，小學是在六年級下的解決問題的策略中專門提出來的。但其實這一思想方法早有滲透。轉化是數學中的一種普遍的、十分重要的思想方法。從哲學的角度看，一切數學問題的解答過程都是轉化的過程。當然，對小學生這么說太復雜了，沒有必要。我們是要告訴同學們，要學會把已知條件向我們需要的，向已經會解決的問題方向轉化，從而使題目得解。比較條件（實例6）盈虧問題主要就是通過比較條件而獲得解題途徑的。例6甲、乙兩人各加工一批零件。如果甲每小時加工24個，乙每小時加工12個，那么當乙完成時，甲還有22個沒有加工；如果甲每小時加工12個，乙每小時加工24個，那么當乙完成時，甲還剩130個。甲、乙各加工多少個？（201

17、5年鹽中分班試卷）比較兩組條件，發現如果設乙加工的零件數為單位“1”，那么可以得到前后兩種情況甲加工的零件數用具體量表示相差13022108（個），用分率表示相差2，再用108除以并能得到乙加工的零件數，然后容易求出甲加工的零件數。注意，列算式要盡量用已知數。這題也可用方程做。多數情況下如果方程和算術方法都可以做，用方程做簡單。但比較特殊的是這題用方程做并不比算術方法做簡單。比較條件，就是對已知條件做認真的比較，尤其是條件比較對稱的時候，要注意比較相對應量的差，如此有可能會讓我們找到解題思路。用足條件（實例7）下面舉一個幾何方面的例子：例7先把一張正方形紙片對折，再沿著右圖中的軌跡進行折疊，使

18、A點恰好落在中線上，那么ABE度。如果這個題目你不會做的話，那么你想一想，題目中的條件你都用到了嗎？哦，“A點恰好落在正方形對折所形成的中線上”這個條件還沒有用到。還有條件沒有用到，當然有可能做不出來了。那么這個條件怎么用呢？由此我們應該能想到連接A、C。連接這條輔助線不是亂猜的，而是通過分析得來的。連接了這條輔助線后，這道題如何做大家應該知道了。用足條件，就是當我們找不到解題途徑的時候，也可以看看有什么條件沒有用上，然后考慮如何讓這個條件用起來，這樣或許也能幫助我們找到解決問題的辦法。挖掘隱蔽條件（實例8）實例8李教授連續做了若干小時的實驗。開始和結束時，墻上的掛鐘都正在報時。他做完實驗后大

19、約16分鐘，鐘面上時針和分針重合。已知這個掛鐘只在整點報時，幾點就報幾下。整個實驗里過程中掛鐘共敲了39下。問：李教授在的實驗共做了幾小時？做這道題的關鍵就是能看到“李教授做完實驗剛好是下午3時整”這個隱蔽的條件。其實例7中“A點恰好落在正方形對折所形成的中線上”也是一個隱含的條件，看到了，用起來了，題目的解題途徑也就顯露出來了。挖掘隱蔽條件是解決許多難題中常采用的解題策略。有些所謂難題，實際上難就難在有一個條件你沒有看到。如果看到了，就不難；如果看不到就做不出來。挖掘隱蔽條件需要我們有較高的觀察能力和推理能力。這八個常規性數學思想方法，也可以說成是解決小學數學應用題的八個常規性解題策略。這些

20、策略中有許多，在小學課本解決問題的策略專題中沒有明確指出，但實際上都是解決小學數學應用題中應用廣泛且非常有用的解題策略。之所以稱這些思想方法是常規性的，是因為它們對題目的結構一般沒有特別的要求，絕大多數題目我們都可以用這些方法去進行嘗試。“琢磨特點”的策略所謂琢磨特點，是指解決問題時我們也可以從認真觀察題目的特點或特殊規律入手，然后通過研究題目的特點或特殊規律，找到解決問題的方法。比如：枚舉的策略（五年級上）（實例8）對于例8，我們看到李教授是下午3時整做完實驗這個隱含的條件后，如何計算李教授在實驗室一共做了幾小時呢？枚舉唄。當計數沒有很強的規律時，我們常常把各種情況一一列舉出來進行計數，這就

21、是枚舉的策略，也是不得已而為之。倒推的策略（五年級下）（實例5）小學中主要用來解決還原問題。例5用了倒推策略。還原問題大家熟悉，所以這里不再舉例。替換的策略（六年級上）（實例9）例9某貨運公司運送一批貨物，原計劃安排18輛小卡車和12輛大卡車剛好運4次。已知2輛大卡車與5輛小卡車裝的重量相同。現在只能派出8輛小卡車，需要運（）次才能把貨物運完。“2輛大卡車與5輛小卡車裝的重量相同”這個條件啟發我們可以把題目中的大卡車換成小卡車，即用小卡車替換大卡車，這樣就容易找到解題途徑。假設的策略（六年級下）（實例10）小學課本是通過雞兔同籠問題介紹假設策略的。雞兔同籠問題大家都熟悉，所以這里不再舉雞兔同籠

22、問題的例子。其實問題中有一些量不知道，但我們卻需要，那么通常就可以假設。如設為x，設為單位“1”，或其它什么假設。列方程解應用題、工程問題中都用到的假設法。例10右圖正方形中恰好套了一個長方形。線段DH的長度是線段AH的兩倍。長方形EFGH的面積是正方形ABCD的（）（2015年解放路初中升學試卷）如果知道了正方形的邊長，那么就能求出正方形和長方形的面積，然后就能求出它們的比。本題可以設正方形的邊長為x，或單位“1”，或設AH1，HD2。顯然第三種假設做起來最簡便。抓住不變量（實例2）例2中已經涉及到，所以這里不再舉例。巧用特殊（實例11）有些題目給出的條件非常特殊，如果能看到并利用好這種特殊

23、性的化，有時可以找到巧妙的解題方法。例11我們班男生的一半和女生的共16人，女生的一半和男生的共14人。我們班共有多少人？（2015年鹽中升學試卷）看到了條件中的特殊性了嗎？利用這種特殊性是不是馬上就能找到比較簡捷的解題方法了？應用策略的程序化說了這么多策略，在實際做題時如何應用呢？總體上說是根據不同的問題特點，選擇不同的策略。不過這么說，我估計同學們在應用策略解題時可能還是有困難。由于解題策略在我們遇到不會做的題目時顯得更為需要，為了讓同學們能把這些解題策略串起應用于具體做題，從而增強解題策略應用的可操作性，下面我向大家介紹一個“遇阻時的提問解題策略”：遇阻時的提問解題策略（題目做不出來，有

24、可能是由于用一段文字呈現出來的題目不便于我們分析，所以我們考慮采用有利呈現的策略，即看看：）是否要把題目換一種方式（如摘錄、畫圖或列表等）呈現出來？目的是：以利于我們能更清楚或更直觀地看到題目的條件、問題和數量關系，便于我們思考分析。有利呈現提問策略（題目做不出來，也可能是由于我們審題不到位，有些條件我們沒有看到或沒有引起足夠的重視，所以我們想通過以下問題幫助更深入地審題。）你看到了什么？你還能看到什么？本題有什么特別之處或特殊規律嗎？是否有隱含條件你沒有看到？深入審題提問策略定向規劃提問策略：（有些題目做不出來，也可能是由于一條道走到黑，只認準一個方向，而沒有考慮用方程做或用比例做等。小學中

25、多數應用題都可以用方程做，而且多數情況下，用方程做比用算術方法做簡單。我們主張當題目做不出來時，首先考慮用方程做。）提問：用方程做還是用算術方法做？如果用方程做，如何設未知數？如何找到一個等量關系用來列方程？如果用算術方法做，是用整數或分數還是用比和比例？分析尋路提問策略：（如果題目做不出來不是以上三個方面的問題，那么可以繼續通過以下問題幫助分析尋找解題思路：）你能得到什么？你還能得到什么？解決最后的問題需要知道什么？解答本題的關鍵在哪里？可否套用或借助“定式”解題？可否通過比較條件或轉化條件而得到思路？條件全部用到了嗎？本題需要用字母表示數或設單位“1”或其它什么假設嗎？還有其它解題策略在這

26、里可用嗎？說明：不是凡遇到不會做的題目這里提出的每一個問題都要問，也不需要嚴格按照這里問題排列的順序來問。這里的順序和問題供具體解題分析時參考，先問什么？再問什么？問哪些問題要視題目的具體情況自已做靈活處理。例12某銀行營業廳，開始營業后，顧客陸續前來辦理存取等業務。如果只開一個接待業務的窗口，那么15分鐘后營業廳里就會站滿顧客；如果開兩個接待業務的窗口，那么20分鐘后營業廳里同樣會站滿顧客。假設每分鐘前來辦理業務的顧客人數不變，為每位顧客辦理業務的時間也相同，為了保證顧客隨到隨辦，不耽誤顧客時間，這個營業廳最少要開幾個接待業務的窗口？分析一（不知道牛吃草問題）讀題后，題目的意思明白。為題意記

27、憶更清晰，便于分析，搞個摘錄（PPT）。由條件能得到：15分鐘前來的人數1個窗口15分鐘辦理的人數+站滿大廳的人數；20分鐘前來的人數2個窗口20分鐘辦理的人數+站滿大廳的人數。比較上面兩組條件得：5分鐘（2015）前來的人數被第1個窗口5分鐘（2015）和第2個窗口20分鐘消化掉，相當于1個窗口25分鐘（20+5）消化掉，如果開5個窗口（255），則5分鐘前來的人數5分鐘可以消化掉，如此就能使顧客隨到隨辦。所以最少要開5個窗口。分析二（用牛吃草問題的解題方法做）讀題后看到一方面不斷有人進來，另一方面不斷有人辦理好業務出去，所是知道是一個牛吃草問題。按牛吃草問題的解題方法，設1個窗口1分鐘辦理

28、的人數為“1”，則15分鐘前來的人數為15加站滿大廳的人數；20分鐘前來的人數為20240加站滿大廳的人數。比較上述兩組條件得：20分鐘15分鐘5分鐘前來的人數為401525，最少要開的窗口數為25515（個）。五、幾點說明今天介紹的解題策略和數學思想方法，有許多不僅可以用來解答小學數學應用題，也可用來解決數學中的其它問題。解答小學數學應用題的策略和思想方法這里介紹的不是全部。我們要在深刻理解掌握已學解題策略的基礎上，不斷積累，不斷創新，這樣就一定能不斷提高我們的數學解題能力。3.各種解題策略和數學思想方法都要根據不同題目的特點加以選擇，同一個題目可能有多個策略能解決它，或需要聯合多個策略共同解決。運用解題策略要以基本知識的理解掌握，以及較強的觀察力和推理力為重要基礎。4.理解