1、文檔編碼 : CC1M3N5B1Z7 HL7F1T7M10A4 ZR4P2K6E3S7選修 22 第 1 章第 34 節導數的應用（理）（學案含答案）年級 高 學科 數學 版本 蘇教版 二（理）課程 選修 22 第 1 章第 34 節導數 標題 的應用 一、學習目標：1. 通過數形結合的方法直觀明白函數的單調 性與導數的關系, 能嫻熟利用導數爭辯函數的單 調性；會求某些簡潔函數的單調區間；2. 結合函數的圖象,明白函數的極大（小）值、最大（小）值與導數的關系；會求簡潔多項 式函數的極大（小）值,以及在指定區間上的最 大（小）值；二、重點、難點 重點：利用導數判定函數的單調性；會求一 些函數的極

2、值與最值； 函數極值與最值的區分與 聯系；難點：利用導數解決函數問題時有關字母討 論的問題；三、考點分析：1. 近幾年各地高考題始終保持對導數學問的 考查力度,表達了在學問網絡交匯點出題的命題 風格,重點考查導數概念、 單調性、極值等傳統、常規問題, 這三大塊內容是本專題的主線,在學 習中應以此為基礎開放, 利用問題鏈呈現題目間 的內在聯系, 總結解題的通法通解, 如利用導數 處理函數單調性問題時,可設計這樣的問題鏈：已知函數求單調區間知函數在區間上單調求 第 2 頁參數 如函數不單調如何求參數；2. 導數內容是新課標新加學問,增加了更多的變量數學, 拓展了學習和爭辯的領域, 在學習中要明確導

3、數作為一種工具在爭辯函數的單調性、極值等方面的作用, 這種作用不僅表達在導數為解決函數問題供應了有效途徑,仍在于它使同學把握了一種科學的語言和工具,能夠加深對函數的深刻懂得和直觀熟識；3. 要有意識地與解析幾何（特殊是切線、最值）、函數的單調性,函數的最值極值,二次函數,方程,不等式,代數不等式的證明等進行交匯,綜合運用； 特殊是一些以導數為工具分析和解決一些函數問題、 切線問題的典型問題, 以及一些實際問題中的最大（小）值問題；一、函數的單調性與導數：1. 設函數y f x 在區間 a b 內可導,假如 f x 0,那么函數y f x 在區間 ,a b 上是單調遞增函數； 如果 f x 0,

4、那么函數 y f x 在區間 a b 上是單調遞減函數；假如 f x 0,那么函數y f x 在這個區間內是常數函數；2. 用導數法確定函數的單調性的步驟是：（1）一般方法：先求出定義域, 再求出函數的導函數 f x ；求解不等式 f x 0,求得其解集,再依據解集寫出單調遞增區間；求解不等式fx0,求得其解集,再依據解第 3 頁集寫出單調遞減區間；yf x 的單調區間：yfx 的間斷點（即fx 在定義域內的無定義點）和各實數根依據從小到大的次序排列起來；在數軸上把yfx 的定義域分成如干個小區間；利用 “ 穿軸法 ” 觀看 f x 在各小區間上的符號,從而判定 f x 在各個小區間上的增減性

5、；二、函數的極值1. 函數極值的定義一般地,設函數 f（x）在點 x0鄰近有定義,假如對 x0 鄰近的全部的點, 都有 f（x）f（x0）,就說 f（x0）是函數 f（x）的一個極大值,記作y極大值 f（x0）,x 0是極大值點；假如對 x0 鄰近的全部的點,都有 f（x）f（x0）.就說 f（x0）是函數 f（x）的一個微小值,記作 y 微小值 f（x0）,x0 是微小值點； 極大值與極小值統稱為極值2. 判別 f（x0）是極大、微小值的方法：如 x 中意 f x 0 0,且在 0 x 的兩側 f x 的導數異號,就 x 是 f x 的極值點,f x 0 是極值,并且假如 f x 在 x 兩

6、側中意 “ 左正右負 ” ,就 0 x 是 f x 的極大值第 4 頁點,f x 0 是極大值；假如 f x 在右正 ” ,就 x 是 f x 的微小值點,0 x 兩側中意 “ 左負f0 x是微小值 . 3. 求可導函數 f（x）的極值的步驟：（1）確定函數的定義區間,求導數f（x）（2）求方程 f（x） 0 的根（3）用函數的導數為0 的點,順次將函數的定義域分成如干小開區間, 并列成表格 .檢查 f（x）在方程根左右的值的符號, 假如左正右負,那么 f（x）在這個根處取得極大值； 假如左負右 正,那么 f（x）在這個根處取得微小值；假如左右不轉變符號,那么 三、函數的最大值與最小值f（x）

7、在這個根處無極值1. 函數的最大值與最小值：fx在a,b在閉區間a, 上圖象連續不斷的函數上必有最大值與最小值；2. 利用導數求函數的最值步驟：設函數 f x 在（a,b）內可導,在閉區間 a, 上圖象連續不斷,求函數 f x 在 a, 上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求 f x 在 , a b 內的極值；（2）將 f x 的各極值與 f a 、f b 比較,得出函數 f x 在 a, 上的最值,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值；學問點一：導數與函數的單調性例 1 設 f x 是函數 f x 的導函數,將 y f x 和y f x 的圖象畫在同一個直角坐標系中,不行能正確選項（）

8、第 5 頁思路分析：由 f x 的圖象可觀看出 f x 在不同區間的符號,從而判定出 f x 在不同區間的單調性,因此可以依據 f x 的圖象大致得到 f x 的圖象；解題過程： 如圖, A、B、C 三個圖中兩條曲線可分別作為 y f x 和 y f x 的圖象,符合題意；對于 D,如上一條曲線為 y f x 的圖象,就 y f x 為增函數,不符合；如下一條曲線為 y f x 的圖象,就 y f x 為減函數,也不符合；應選 D；解題后反思：（1）此題從直觀的角度考查了可導函數的單調性與其導數的關系,通過對 f x的圖象提煉函數 f x 的信息,考查數形結合思想和識圖、用圖的才能,以及分析問

9、題、解決問題的才能；（2）應用導數信息確定原函數的大致圖象,是導數應用性問題的常見題型, 關鍵是把握原函數圖象在 f x 的圖象與 x軸交點處的切線的斜率為0,由 f x 在不同區間的符號能判定出原函數的單調區間；f x 例2 已 知 向 量ax2,x1, b1x t 如 函 數a b在區間1,1 上是增函數,求t的取值范疇；就f思路分析： 已知f x 在區間1,1 上單調遞增,x 在此區間上確定有fx0恒成立,因此只需要用分別參數法轉化為最值問題即可；解題過程： 依定義f x x21x t x13 xx2txt ,就fx3x22xt. 第 6 頁如fx 在1,1 上是增函數,就fx0在1,1

10、 上恒成立；即 t 3 x 22 x在區間 1,1 上恒成立；令函數 g x 3 x 22 x,由于g x 的圖象的對稱軸為 x 13,為開口向上的拋物線,故使 t 3 x 22 x在區間 1,1 上恒成立,只須 t g max x g 1 5；而當 t 5 時, x 在 1,1 上中意 f x 0,即f x 在1,1 上是增函數；故t的取值范疇是t5；解題后反思：（1）此題考查了已知函數的單調區間,求參數的取值范疇,平面對量運算、不等式在區間上恒成立的方法, 考查了對學問的綜合運用才能和遷移才能；（2）在已知函數 f x 是增函數（或減函數）,求參數的取值范疇時,應令 f x 0（f x 0

11、）恒成立,應用不等式恒成立的理論學問解決參數的取值范疇；然后檢驗參數的取值能否使 f x 恒等于0,假如 f x 恒等于 0,就在該點處參數的值必需舍去；學問點二：利用導數求函數的極值與最值例 3 已知某生產廠家的年利潤 y （單位：萬元）與年產量x（單位：萬件）的函數關系式為 y13x381 x 234,就使該生產廠家獵取最大年利潤的年產量為（）A. 13 萬件 B. 11 萬件 C. 9 萬件 D. 第 7 頁7 萬件 思路分析： 由題意,先對函數y 進行求導,解出極值點, 然后再依據函數的定義域, 把極值點和區間端點值代入已知函數, 比較函數值的大小,求出的最大值即為最大年利潤的年產量；

12、解題過程：y x 281,令 y 0 解得 x 9（9舍去）；當 0 x 9 時,y 0；當 x 9 時,y 0,就當 x 9 時,y 取得最大值,應選 C；解題后反思：此題考查利用導數求最值問題及其在實際問題中的應用, 運算才能是特殊重要的；a例 4 R ；已知函數f x x2fax2 a2x 3 a exR 其中（1）當a0時,求曲線yf x 在點1,f1處的切線的斜率； x 的單調區間與極（2）當a2時,求函數3值；思路分析：（1）把 a 0 代入到 中化簡得到的解析式,求出,由于曲線的切點為（ 1,f（1）,所以把 x1 代入 中求出切線的斜率；（2）令0,求出的 x 的值為 x2a和

13、 xa2,分兩種情形爭辯：當 2 a 2 時和當 2 a 2 時,爭辯 f x 的正負得到函數的單第 8 頁調區間,依據函數的增減性即可得到函數的最 值；故f解題過程：（1）當a0時,fx x2ex,x x22 x ex, 1 3 e；3 ；所以曲線yfx在點 ,1f 1 處的切線的斜率為2a（2）fx x2a2 x2 a24 aex；令fx0, 解 得x2 或a2； 由a2知 ,3a2；以下分兩種情形爭辯； 如 3 2 ,就 2 a 2；當x變化時,fx,fx的變化情形如下表：ffx,2 a2 a2a,a2a2a2,f x 0 0 fx 極大值微小值所 以f x 在,2a,a2,內 是 增

14、函 數 , 在2 a,a2 內是減函數；函 數 f x 在 x 2 處 取 得 極 大 值f2a, 且2 a3 ae2a；函 數fx在xa2處 取 得 極 小 值fa2, 且a2 4 3 a e a 2；如 3 2 ,就2 a2,當x變化時,fx,fx的變化情形如下表：fx,a2a2a2,2 a2a2 a,0 0 x fx 極大值微小值第 9 頁aa所 以fx在,a2 ,2a,內 是 增 函 數 , 在,22 a內是減函數；f函 數fx在xa2處 取 得 極 大 值fa2, 且2 43 a ea2；函 數fx在x2 處 取 得 極 小 值f2a, 且f2 a3 ae2a；解題后反思： 此題主要

15、考查導數的幾何意義、導數的運算、 利用導數爭辯函數的單調性與極值等基礎學問, 考查運算才能及分類爭辯的思想方法；例 5 已知 a 為實數,f x x 2 4 x a （1）如 f 1 0,求 f x 在2,2上的最大值和最小值；（2）如f x在（,2和2,）上都是遞增的,求 a 的取值范疇；思路分析：（1）依據利用導數求函數的最值的步驟去求解；（2）當函數 f（x）在給定的區間上遞增時,就在該區間上恒有 f 0,從而得到關于 a 的不等式；解題過程：（1）由原式得 f x x 3ax 24 x 4 a ,由 f 1 0 得 a 12,此 時 有f x x 24 x 12 , f x 3 x 2

16、x 4；由 f x 0 得 x 43 或 x1,當 x在 2,2 上變化時,f , f x 的變化如下表x 2, 1 1 1, 43 43 43 ,2第 10 頁f x 00極大 微小值f x 遞增 值92 遞減 5027 遞增所以 f（x）在 2,2上的最大值為 9 最小 2值為 50 ；27（2）方法一：f x 3 x 2 2 ax 4 的圖象為開口向上 且 過 點 （ 0, 4 ） 的 拋 物 線 , 由 條 件 得f 2 0 , f 2 0 , 即 8 4 a4 a 80 0.2a2.所以 a 的取值范疇為 2,2. 方法二：令 f x 0 即 3 x 22 ax 4 ,02由求根公式

17、得：x 1,2 a a3 12 x 1 x 2 所以 f x 3 x 22 ax 4 在 , x 和 x 2 , 上非負；由題意可知,當 x2 或 x2時,f x 0,從而 x12,x22,即2 a12a6解不等式組得： 2a2；2 a126a .a 的取值范疇是 2,2；解題后反思：（1）極大值,微小值是否就是最大值, 最小值,要與區間兩端點的函數值進行比較,才能下結論；（2）在已知函數 f（x）是增函數（或減函數）求參數的取值范疇時,應令f 0 或 f 0 恒成立,解出參數的取值范疇,然后檢驗參數的取值能否使 f （x）恒等于 0,如能恒等于 0,就參數的這個值應舍去,如 f （x）不恒為

18、 0,就由 f 0 或 f 0,x , a b 恒成立解出的參數的取值范疇確定；第 11 頁（北京高考）已知函數f x xk2xf x 1 e,求 ke k（1）求f x 的單調區間；,都有（2）如對于任意的x0,的取值范疇；思路分析：（1）求導,對k 分類爭辯,解fx0fx0得出函數的單調區間；（2）不等式f x e恒成立問題轉換為最值問題；解答過程：x（1）f 1k x 2k 2 e k,令 f 0, x k ,當 k 0 時,f x 與 f 的情形如下表：所以,f x 的單調遞增區間是 , k 和 , ；單調遞減區間是 k k ,當 k 0 時,f x 與 f x 的情形如下表：所以,f

19、 x 的單調遞減區間是 , k 和 k , ；單調遞增區間是 , k ；k 1（2）當 k 0 時,由于 f k 1 e k e,所以不會有 x 0, , f x 1e；當 k 0 時,由（1）知 f x 在 0, 上的最大值是24 kf k e2所以 x 0, , f x 1e等價于 f k 4 ke e,解得12 k 0；故當 x 0, , f x 1 e時, k 的取值范疇是 2,0）；第 12 頁解題后反思： 利用求導對含有參數的函數求 最值的時候, 應留意參數對最值的影響, 確定要 分類爭辯, 對于不等式恒成立問題, 常轉化為最 值問題；已知 f（x）ax3bx2cx（a 0）在 x1 時取得極值,且 f（1） 1；（1）試求常數 a、b、c 的值；（2）試判定 x1 是函數的微小值仍是極 大值,并說明理由；錯解分析： 此題難點是在求導之后, 不會應 用 f（1）0 的隱含條件,因而造成明白決問 題的最大思維障礙；思路分析： 考查函數 f（x）是實數域上的可 導函數, 可先求導確定可能的極值, 再通過極值 點與導數的關系, 建立由極值點 x1 所確定的 相等關系式,運用待定系數法求值；解：（1）f（x）3ax22bxcx1 是函數 f（x）的極值點,x1 是方程 f（x） 0,即 3ax22bxc0 的兩根；由根與系數的關系,得2