1、2實際問題中的函數模型自主預習新知導學合作探究釋疑解惑易 錯 辨 析隨 堂 練 習課標定位素養闡釋1.培養學生由實際問題轉化為數學問題的建模能力,即根據實際問題進行信息綜合,列出函數解析式.2.會建立函數模型解決實際問題.3.通過學習函數基本模型的應用,體會實踐與理論的關系,初步滲透理論與實踐的辯證關系.4.體會函數思想在解決現實問題中的應用. 自主預習新知導學一、實際問題的函數刻畫【問題思考】1.做一做:“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領先的兔子看著慢慢爬行的烏龜,驕傲起來,睡了一覺,當它醒來時,發現烏龜快到終點了,于是急忙追趕,但為時已晚,烏龜還是先到達了終點.用s1,s2分別表示烏龜和兔子

2、所行的路程,t為烏龜和兔子行駛的時間,則與故事情節相吻合的是()解析:烏龜距離起點的距離始終在增加,符合一次函數的增長模型,兔子距離起點的距離先增加,再停止增加一段時間后又更快的增加,總之,烏龜與兔子行進的路程是一樣的,烏龜用的時間少,兔子用的時間長,綜合以上分析,選B.答案:B2.填空:在現實世界里,事物之間存在著廣泛的聯系,當面對的實際問題中存在幾個變量,并且它們之間具有依賴關系時,我們往往用函數對其進行刻畫.函數刻畫的方法可以使用圖象,但常見的還是使用解析式.二、用函數模型解決實際問題【問題思考】1.填空:數學模型是針對或參照某種事物的主要特征、主要關系,用形式化的數學語言,抽象概括地、

3、簡化近似地表述出來的一種數學結構.其中,函數模型是應用最廣泛的數學模型之一.實際問題一旦被認定是函數關系,就可以通過研究這個函數的性質,使問題得到解決.2.解決實際問題的基本過程是什么?提示:(1)分析問題,(2)建立函數模型,(3)解決函數問題,(4)回到實際問題.3.做一做:某物體一天內的溫度T是時間t的函數,且滿足T(t)=t3-3t+60,時間單位是h,溫度單位為,t=0時表示中午12:00,則上午8:00時的溫度為.解析:由于t=0時表示中午12:00,則上午8:00時t=-4,代入函數T(t)=t3-3t+60中,可得T(-4)=8.答案:8三、常見的函數模型【問題思考】1.常見的

4、幾種函數模型2.做一做:某水果市場規定,批發蘋果不少于100 kg時,批發價為每千克2.5元.小王攜帶現金3 000元到市場采購蘋果,并以批發價買進,如果購買的蘋果為x kg,小王付款后剩余現金y元,那么y與x之間的函數關系為.答案:y=3 000-2.5x(100 x1 200) 【思考辨析】 判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“”,錯誤的畫“”.(1)商場將某種商品按進貨價提高40%,然后再按八折優惠銷售,結果每件商品比進貨價多賺了270元,那么這種商品的進貨價是每件2 000元.( )(2)某種產品每件80元,每天可售出30件,如果每件定價120元,那么每天可售出20件,如果

5、售出件數是定價的一次函數,那么這個函數解析式為 .( )(3)某種放射性元素的原子數y隨時間x的變化規律是y=1 024e-5x,則該函數是增函數.( )(4)已測得(x,y)的兩組值為(1,2),(2,5),現有兩個函數模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1.若又測得(x,y)的一組對應值為(3,10.2),則選用甲作為函數模型較好.( )(5)有關平均增長率的實際問題一定是指數函數模型.( ) 合作探究釋疑解惑探究一探究二探究三探究一 利用已知函數模型解決實際問題(1)求p%的值.(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?(3)該森林今后最多還能砍伐多少年?用函數模型解決實際問題的思想【變

6、式訓練1】 我們知道:人們對聲音有不同的感覺,這與聲音的強度有關系.聲音的強度用I(W/m2)表示,但在實際測量時,常用聲音的強度水平LI表示,它們滿足以下關系: (單位為分貝,LI0,其中I0=110-12 W/m2).回答以下問題:(1)樹葉沙沙聲的強度是110-12 W/m2,耳語的強度是110-10 W/m2,恬靜的無線電廣播的強度是110-8 W/m2,試分別求出它們的強度水平;(2)某一新建的小區規定:小區內公共場所的聲音的強度水平必須保持在50分貝以下,試求該小區內公共場所的聲音強度I的范圍.探究二 分段函數模型【例2】 如圖所示,等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2,BC=1,

7、BAD=45,直線MNAD交AD于點M,交折線ABCD于點N,記AM=x,試將梯形ABCD位于直線MN左側的面積y表示為x的函數,并寫出函數的定義域和值域.解:如圖,過點B,C分別作AD的垂線,垂足分別為點H和G,分段函數模型是日常生活中常見的函數模型.對于分段函數,一要注意規范書寫格式;二要注意各段的定義域的表示方法,對于中間的各個分點,一般是“一邊閉,一邊開”,以保證在各分點的“不重不漏”.【變式訓練2】 某廠生產某種零件,每個零件的成本為40元,出廠單價定為60元,該廠為鼓勵銷售訂購,決定當一次訂購量超過100個時,每多訂購1個,訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元,但實際出廠單價不

8、能低于51元.(1)當一次訂購量為多少個時,零件的實際出廠單價恰降為51元?(2)設一次訂購量為x個,零件的實際出廠單價為P元,寫出函數P=f(x)的解析式.(3)當銷售商一次訂購500個零件時,該廠獲得的利潤是多少元?如果訂購1 000個,利潤又是多少元?(工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價-成本)(3)設銷售商一次訂購量為x個時,工廠獲得的利潤為L元,當x=500時,L=6 000;當x=1 000時,L=11 000.因此,當銷售商一次訂購500個零件時,該廠獲得的利潤是6 000元;如果訂購1 000個,利潤是11 000元.探究三 函數模型的選擇【例3】 在某種新型材料的研制中,實

9、驗人員獲得了下列一組實驗數據:現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律,其中最接近的一個是()分析:把各組數據代入,逐個檢驗即可選出最接近的一個.解析:對于選項A,各組數據都很接近,對于選項B,當x=5.15時,y=8.3,與實際數據相差較大,當x=6.126時,y=10.252,與實際數據相差較大,故選項B不合適;對于選項C,當x=4時,y=2,與實際數據相差較大,故選項C不合適;答案:A 【變式訓練3】 通過市場調查,得到某商品的價格在近四個月的市場平均價f(x)(單位:元/kg)與時間x(單位:月)的數據如下:現有三種函數模型:f(x)=bx+a,f(x)=ax2+bx+c,

10、 ,找出你認為最適合的函數模型,并估計12月此商品市場平均價為()元/kg.A.28B.25C.23D.21解析:因為f(x)的值隨x值的增大先增后減,所以選f(x)=ax2+bx+c最合適.將(8,28),(10,36),(11,34)分別代入f(x)=ax2+bx+c,可求得a=-2,b=40,c=-164,則f(x)=-2x2+40 x-164.當x=12時,f(x)=28.答案:A易 錯 辨 析因題意理解不正確致誤【典例】 WAP手機上網每月使用量在500 min以下(包括500 min),按30元計費;超過500 min的部分按0.15元/min計費.假如上網時間過短,即在1 min

11、以下,則不計費,在1 min以上(包括1 min)60 min以下按0.5元/min計費.WAP手機上網不收通話費和漫游費.(1)寫出上網時間x min與所付費用y元之間的函數關系式.(2)12月小王WAP上網使用量為20 h,要付多少錢?(3)小王10月付了90元的WAP上網費,那么他上網的時間是多長?(2)當x=2060=1 200(min)時,x500,應付y=0.151 200=180(元).(3)90元已超過30元,所以上網時間超過500 min,由0.15x=90可得x=600,即上網時間為600 min.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:

12、以上錯解中主要對“超過500 min的部分按0.15元/min計費”中的“超過部分”理解出錯,產生了與事實相違的結論,如第(2)小題上了1 200 min的網,要180元,是30元包月用500 min的6倍,而時間上才2倍多,與事實不符;又如第(3)小題,用了90元,是30元的3倍,而上網時間才多了100 min,與事實不符.正解:(1)設上網時間為x min,由已知條件知所付費用y關于x的函數關系式為(2)當x=2060=1 200(min)時,x500,應付y=30+0.15(1 200-500)=135(元).(3)90元已超過30元,所以上網時間超過500 min,由30+0.15(x

13、-500)=90可得x=900,即上網時間為900 min.1.認真讀題、審題,弄清題意,明確題目中的數量關系.2.充分借助圖象、表格信息確定解析式,對于分段函數圖象要特別注意虛實點,寫準定義域,同時要注意它是一個函數.隨 堂 練 習1.某商品價格前兩年每年遞增20%,后兩年每年遞減20%,則四年后的價格與原來價格比較,變化的情況是()A.減少7.84%B.增加7.84%C.減少9.5%D.不增不減解析:設某商品價格為a,依題意得a(1+0.2)2(1-0.2)2= a1.220.82=0.921 6a,所以四年后的價格與原來的價格比較(0.921 6-1)a=-0.078 4a,即減少7.8

14、4%.答案:A2.某商場在銷售空調旺季的4天內的利潤如下表所示.現構建一個銷售這種空調的函數模型,應是下列函數中的()A.y=log2xB.y=2xC.y=x2D.y=2x解析:逐個檢驗可得答案為B.答案:B3.某化工廠在1月生產某種產品200 t,3月生產y t,則y與月平均增長率x之間的關系是()A.y=200 xB.y=200 x2C.y=200(1+x)D.y=200(1+x)2解析:1月為200 t,2月為200 x+200=200(x+1)t,3月為200(x+1)x+200(x+1)=200(x+1)(x+1)=200(x+1)2t,即y=200(x+1)2.答案:D答案:36.72 5.環境污染已經嚴重危害人們的健康,某工廠因排污比較嚴重,決定著手整治,一個月時污染度為60,整治后前四個月的污染度如下表:污染度為0后,該工廠即停止整治,污染度又開始上升,現用下列三個函數模型表示從整治后第一個月開始工廠的污染情況:f(x)=20|x-4|(x1), ,h(x)=30|log2x-2|(x1),其中x表示月數,f