1、綠色圃中小學教育網 圓 的 對 稱 性綠色圃中小學教育網 圓的對稱性圓是軸對稱圖形嗎？ 想一想P881如果是,它的對稱軸是什么?你能找到多少條對稱軸？O你是用什么方法解決上述問題的?圓是中心對稱圖形嗎？如果是,它的對稱中心是什么?你能找到多少條對稱軸？你又是用什么方法解決這個問題的?綠色圃中小學教育網 圓的對稱性圓是軸對稱圖形. 想一想P882圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線,它有無數條對稱軸.O可利用折疊的方法即可解決上述問題.圓也是中心對稱圖形.它的對稱中心就是圓心.用旋轉的方法即可解決這個問題.綠色圃中小學教育網 綠色圃中小學教育網 圓的相關概念圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧.直

2、徑將圓分成兩部分,每一部分都叫做半圓(如弧ABC). 讀一讀P883連接圓上任意兩點間的線段叫做弦(如弦AB).O經過圓心弦叫做直徑(如直徑AC).AB以A,B兩點為端點的弧.記作 ,讀作“弧AB”.AB小于半圓的弧叫做劣弧,如記作 (用兩個字母).AmB大于半圓的弧叫做優弧,如記作 (用三個字母).ABCmD綠色圃中小學教育網 AM=BM,垂徑定理AB是O的一條弦.你能發現圖中有哪些等量關系?與同伴說說你的想法和理由. 做一做P894作直徑CD,使CDAB,垂足為M.O右圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?小明發現圖中有:ABCDM由 CD是直徑 CDAB可推得AC=BC,AD=BD.

3、做一做綠色圃中小學教育網 垂徑定理如圖,小明的理由是:連接OA,OB, 做一做P905OABCDM則OA=OB.在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，RtOAMRtOBM.AM=BM.點A和點B關于CD對稱.O關于直徑CD對稱,當圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,AC和BC重合,AD和BD重合.AC =BC,AD =BD.綠色圃中小學教育網 垂徑定理三種語言定理 垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.老師提示:垂徑定理是圓中一個重要的結論,三種語言要相互轉化,形成整體,才能運用自如. 想一想 P906OABCDMCDAB,如圖 CD是直徑,AM=BM, AC =BC,

4、 AD=BD.綠色圃中小學教育網 CDAB,垂徑定理的逆定理AB是O的一條弦,且AM=BM.你能發現圖中有哪些等量關系?與同伴說說你的想法和理由. 做一做P917過點M作直徑CD.O右圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?小明發現圖中有:CD由 CD是直徑 AM=BM可推得AC=BC,AD=BD. MAB平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對的兩條弧.綠色圃中小學教育網 你可以寫出相應的命題嗎?相信自己是最棒的!垂徑定理的逆定理如圖,在下列五個條件中:只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結論. 想一想P918OABCDM CD是直徑, AM=BM, CDAB,AC=BC,AD

5、=BD.綠色圃中小學教育網 垂徑定理及逆定理 想一想P919OABCDM條件結論命題垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.弦的垂直平分線經過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,并且平分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心,并且垂直平分弦.綠色圃中小學教育網 6.已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D

6、兩點。你認為AC和BD有什么關系？為什么？證明：過O作OEAB，垂足為E， 則AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD.ACDBOE5.在半徑為30的O中，弦AB=36，則O到AB的距離是= ，OAB的余弦值= 。 OABP0.624mm注意：解決有關弦的問題，過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也是一種常用輔助線的添法綠色圃中小學教育網 挑戰自我垂徑定理的推論 如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所對的弧相等嗎?老師提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況:隨堂練習P9210OABCD1.兩條弦在圓心的同側OABCD2.兩條弦在圓心的兩側垂徑定理的推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

7、綠色圃中小學教育網 試一試P9311挑戰自我畫一畫如圖,M為O內的一點,利用尺規作一條弦AB,使AB過點M.并且AM=BM.OM綠色圃中小學教育網 試一試P9312挑戰自我填一填1、判斷： 垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧. （ ）平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧. （ ）經過弦的中點的直徑一定垂直于弦.（ ）圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行. （ ）弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧. （ ）綠色圃中小學教育網 試一試P9315挑戰自我畫一畫4.如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的長.ABCD0EFG

8、H綠色圃中小學教育網 試一試P9312駛向勝利的彼岸挑戰自我填一填1、判斷： 垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧. （ ）平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧. （ ）經過弦的中點的直徑一定垂直于弦.（ ）圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行. （ ）弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧. （ ）綠色圃中小學教育網 練習2:在圓O中，直徑CEAB于 D，OD=4 ，弦AC= ， 求圓O的半徑。反思：在 O中，若 O的半徑r、 圓心到弦的距離d、弦長a中， 任意知道兩個量，可根據定理求出第三個量：CDBAO例2：如圖，圓O的弦AB8 ， DC2，直徑CEAB于D，

9、 求半徑OC的長。垂徑直徑MNAB,垂足為E,交弦CD于點F.綠色圃中小學教育網 例3：如圖，已知圓O的直徑AB與 弦CD相交于G，AECD于E， BFCD于F，且圓O的半徑為 10，CD=16 ，求AE-BF的長。練習3:如圖，CD為圓O的直徑，弦AB交CD于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的長。圖中相等的線段有 :綠色圃中小學教育網 試一試P9313駛向勝利的彼岸挑戰自我畫一畫2.已知：如圖,O 中,弦ABCD,ABCD,直徑MNAB,垂足為E,交弦CD于點F.圖中相等的線段有 : .圖中相等的劣弧有: .FEOMNABCD綠色圃中小學教育網 小 結直徑平分弦 直徑垂直于弦

10、=直徑平分弦所對的弧 直徑垂直于弦 直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦所對的弧 直徑平分弧所對的弦 直徑平分弧 直徑垂直于弧所對的弦=、圓的軸對稱性、垂徑定理及其逆定理的圖式綠色圃中小學教育網 2. 圓對稱性(2)綠色圃中小學教育網 垂徑定理三種語言定理 垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.老師提示:垂徑定理是圓中一個重要的結論,三種語言要相互轉化,形成整體,才能運用自如. 想一想 P901OABCDMCDAB,如圖 CD是直徑,AM=BM, AC =BC, AD=BD.綠色圃中小學教育網 垂徑定理的應用例1 如圖，一條公路的轉變處是一段圓弧(即圖中弧CD,點O是弧CD的圓心),其中CD

11、=600m,E為弧CD上的一點,且OECD垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑. 想一想P912解:連接OC.OCDEF老師提示:注意閃爍的三角形的特點.綠色圃中小學教育網 趙州石拱橋1.1300多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對是弦的長)為 37.4 m,拱高(弧的中點到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m). 隨堂練習P923你是第一個告訴同學們解題方法和結果的嗎？綠色圃中小學教育網 趙州石拱橋隨堂練習P924解：如圖，用 表示橋拱， 所在圓的圓心為O，半徑為Rm，經過圓心O作弦AB的垂線OD，D為垂足，與 相交于點C.根

12、據垂徑定理，D是AB的中點，C是 的中點，CD就是拱高.由題設在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R27.9（m）.答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m.RD37.47.2綠色圃中小學教育網 船能過拱橋嗎2 . 如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？相信自己能獨立完成解答. 做一做P補5綠色圃中小學教育網 船能過拱橋嗎解:如圖,用 表示橋拱, 所在圓的圓心為O,半徑為Rm,經過圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與 相交于點C.根據垂徑定理,D是AB的中點,C是 的中點

13、,CD就是拱高.由題設得 做一做P補6在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R3.9（m）.在RtONH中，由勾股定理，得此貨船能順利通過這座拱橋.綠色圃中小學教育網 垂徑定理三角形在a,d,r,h中，已知其中任意兩個量,可以求出其它兩個量. 想一想 P補7d + h = r已知：如圖，直徑CDAB，垂足為E .若半徑R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的長. 若半徑R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的長.由 、兩題的啟發，你還能編出什么其他問題？綠色圃中小學教育網 垂徑定理的應用在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB = 600mm，求油的最大

14、深度. 做一做P補8ED 600綠色圃中小學教育網 垂徑定理的逆應用在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB = 600mm，求油的最大深度. 想一想P補9BAO600 650DC綠色圃中小學教育網 挑戰自我1、要把實際問題轉變成一個數學問題來解決.2、熟練地運用垂徑定理及其推論、勾股定理，并用方程的思想來解決問題.隨堂練習P補103、對于一個圓中的弦長a、圓心到弦的距離d、圓半徑r、弓形高h，這四個量中，只要已知其中任意兩個量，就可以求出另外兩個量，如圖有：d + h = r綠色圃中小學教育網 2. 圓對稱性(3)綠色圃中小學教育網 圓的對稱性及特性圓是軸對稱

15、圖形,圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線,它有無數條對稱軸. 想一想P942圓也是中心對稱圖形,它的對稱中心就是圓心.用旋轉的方法可以得到:一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度,都能與原來的圖形重合.這是圓特有的一個性質:圓的旋轉不變性O綠色圃中小學教育網 AB圓心角圓心角 頂點在圓心的角(如AOB).弦心距 過圓心作弦的垂線,圓心與垂足之間的距離(如線段OD).如圖,在O中,分別作相等的圓心角和AOB和AOB, 將其中的一個旋轉一個角度,使得OA和OA重合. 想一想 P942 你能發現那些等量關系?說一說你的理由.OOABDOABDABABABABABABDDDDDDABD綠色圃中小學教育網

16、圓心角圓心角, 弧,弦,弦心距之間的關系定理如圖,如果在兩個等圓O和O中,分別作相等的圓心角和AOB和AOB,固定圓心,將其中的一個旋轉一個角度,使得OA和OA重合. 想一想 P943OABOAB 你又能發現那些等量關系?說一說你的理由.OABOABABABABABABABDDDD綠色圃中小學教育網 圓心角, 弧,弦,弦心距之間的關系定理在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等. 議一議P954OABDABDOABDOABD由條件:AOB=AOBAB=ABAB=AB OD=OD可推出綠色圃中小學教育網 拓展與深化在同圓或等圓中,如果輪換下面五組條件:兩個圓心角,兩條弧,兩條弦,兩條弦心距,你能得出什么結論?與同伴交流你的想法和理由. 猜一猜P955OABDABDOABDOABD如由條件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB綠色圃中小學教育網 推論在同圓或等圓中,如果兩個圓心角,兩條弧,兩條弦,兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等. 猜一猜P966OABDABDO