1、精選優質文檔-傾情為你奉上精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業專心-專注-專業精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業蒙娜麗莎教育初一升初二暑期培優教材 暑期培優教材（數學） 編者：雷老師 成都2015.6 目 錄第一部分溫故知新專題一 整式運算1 專題二 乘法公式3 專題三 平行線的性質與判定9專題四 三角形的基本性質11專題五 全等三角形14專題六 如何做幾何證明題17專題七 軸對稱22 第二部分提前學習專題一 勾股定理25專題二 平方根與算數平方根29專題三 立方根32專題四 平方根與立方根的應用 35專題五 實數的分類39專題六 最簡二次根式及分母有理化42專題七 非負數的性質

2、及應用46專題八 二次根式的復習49第一部分溫故知新 專題一 整式運算1.由數字與字母 組成的代數式叫做單項式。單獨一個數或字母也是單項式。單項式中的 叫做單項式的系數單項式中所有字母的 叫做單項式的次數2.幾個單項式的和叫做多項式多項式中 叫做這個多項式的次數3.單項式和多項式統稱為 4.整式加減實質就是 后 5.同底數冪乘法法則：（m.n都是正整數）；逆運算 6.冪的乘方法則： （m.n都是正整數）；逆運算 7.積的乘方法則： （n為正整數）；逆運算 8.同底數冪除法法則：（a0，m.n都是正整數）；逆運算 9.零指數的意義：；10.負指數的意義：11.整式乘法：（1）單項式乘以單項式；（

3、2）單項式乘以多項式；（3）多項式乘以多項式12.整式除法：（1）單項式除以單項式；（2）多項式除以單項式知識點1.單項式多項式的相關概念歸納：在準確記憶基本概念的基礎上，加強對概念的理解，并靈活的運用例1.下列說法正確的是（ ）A沒有加減運算的式子叫單項式 B.的系數是 C.單項式-1的次數是0 D.是二次三項式例2.如果多項式是關于x的二次二項式，求m，n的值知識點2.整式加減歸納：正確掌握去括號的法則，合并同類項的法則 例3.多項式中不含xy項，求k的值知識點3.冪的運算歸納：冪的運算一般情況下，考題的類型均以運算法則的逆運算為主，加強對冪的逆運算的練習，是解決這類題型的核心方法。例4.

4、已知 求（1）的值 （2）的值例5.計算 （1） （2）知識點4.整式的混合運算歸納：整式的乘法法則和除法法則是整式運算的依據，注意運算時靈活運用法則。例6.先化簡，再求值：，其中知識點5.運用冪的法則比較大小歸納：根據冪的運算法則，可以將比較大小的題分為兩種：化為同底數比較；化為同指數比較例7.比較大小 （1） （2） 1.若A是五次多項式，B是三次多項式，則A+B一定是（ ） A.五次整式 B.八次多項式 C.三次多項式 D.次數不能確定2.已知，則、的大小關系是（ ） A B C D3.若，則等于（ ） A5 B.3 C.1 D.14.下列敘述中，正確的是（ ）A.單項式的系數是0，次數

5、是3 B.a、0、22都是單項式 C.多項式是六次三項式 D.是二次二項式5.下列說法正確的是（ ） A.任何一個數的0次方都是1 B. 多項式與多項式的和是多項式 C. 單項式與單項式的和是多項式 D.多項式至少有兩項下列計算： 正確的有（ ） A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個7.在的積中，不想含有項，則必須為 .8.若中不含有項，則 ， .9.比較大小 （1） （2） (3)10.計算（1） （2）專題二 乘法公式1.平方差公式： 平方差公式的一些變形：（1）位置變化： （2）系數變化： （3）指數變化： （4）符號變化：= （5）數字變化：98102=（100-2）（100

6、+2）=10000-4=9996（6）增項變化： （7）增因式變化： 2.完全平方公式：完全平方公式的一些變形：形如的計算方法 （2）完全平方公式與平方差公式的綜合運用 （3）冪的運算與公式的綜合運用 （4）利用完全平方公式變形，求值是一個難點。已知： ：，已知： ：，已知：已知：運用完全平方公式簡化復雜的運算 知識點1.平方差公式的應用例1.計算下列各題（1） （2） （3）9991001例2.計算（1） （2）知識點2.完全平方公式例3.計算（1） （2）例4.已知求（1） (2) 例5.已知，求xy的值知識點3.配完全平方式歸納：配完全平方式求待定系數有三種情況，求一次項系數（2個答案）

7、求另一個平方項（1個答案）求另一個平方項的底數（2個答案）例6.已知是一個完全平方式，則的值為（ ） A.2 B. C. 4 D. 知識點4.技巧性運算歸納：觀察規律，找突破口，準確判斷是添項還是拆項，熟記常見題型例6.（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）例7.（1-）（1-）（1-）（1-）（1-）例8.（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）例9.1990-1989+1988-1987+2-11.已知m+n=2，mn= -2，則m+n的值為（ ）A.4 B.2 C.16 D.82.若為正整數，且，則的值為（ ）A.833 B.2891 C.3283 D.

8、12253.若，則等于（ ） A.9 B.10 C.2 D.14.下列說法正確的是（ ） A2x3的項是2x，3 Bx1和1都是整式 Cx2+2xy+y2與都是多項式 D3x2y2xy+1是二次三項式5.若單項式3xmy2m與2x2n2y8的和仍是一個單項式，則m，n的值分別是（ ） A1，5 B5，1 C3，4 D4，36.下列多項式中是完全平方式的是( ) A.2x2+4x4 B.16x28y2+1 C.9a212a+4D.x2y2+2xy+y27.若a=2，則a2+的值為（ ） A0 B2 C4 D68.如果多項式是一個完全平方式，則m的值是（ ） A.3 B.3 C.6 D.69.的個

9、位數字為（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 810.下列敘述中，正確的是（ ）A.單項式的系數是0，次數是3 B.a、0、22都是單項式 C.多項式是六次三項式 D.是二次二項式11.下列說法正確的是（ ） A.任何一個數的0次方都是1 B. 多項式與多項式的和是多項式 C. 單項式與單項式的和是多項式 D.多項式至少有兩項12.下列計算： 正確的有（ ） A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個已知,x、y是非零數，如果，則.乘積=_. 若，則= .已知，則 =_ =_.已知，則的值是 .已知的值為 .已知的值為 .當= ，= 時，多項式有最小值，此時這個最小值是 .若的值是

10、.若的值為 .若有意義，則的取值范圍是 .若代數式的值為0，則 ， .計算的結果為 .已知的值為 .多項式是一個六次四項式，則 .若代數式的值是8，則代數式的值為 .已知的值為 .計算的結果為 .已知，則= .若的值為 .（1） （2）35.若，求y-x的值36.（1）若，求 （2）已知 ，求xy的值37.計算 ：38.已知，且xy，求x-y的值39.已知，求的值.40.已知ab=2，bc=3，求a2+b2+c2abbcca的值專題三 平行線的性質與判定 1.平行線的判定（1）同位角相等，兩直線平行（2）內錯角相等，兩直線平行（3）同旁內角互補，兩直線平行2.平行線的性質（1）兩直線平行，同位

11、角相等（2）兩直線平行，內錯角相等（3）兩直線平行，同旁內角互補3.余角性質： 或 的余角相等 補角性質： 或 的補角相等例1.如圖，AB，CD被EF所截，且AEG=CFG,EM,FN分別例1圖NMHFGCE例1圖NMHFGCEDBA例2圖NMHFGCEDB例2圖NMHFGCEDBA例3.如圖，已知ABCD，分別探索下列兩個圖中B,D，E之間的關系(圖2)(圖2)EDBCA(圖1)ECDBA例4.已知，ABCD，ABE和CDE的平分線相交于F點，E=140，求：BFD的度數（例4圖)（例4圖)EDBCAF1.已知，ABCD，DCB=70，CBF=20，EFB=130，求證：EFABBBAFED

12、C2. 如圖，已知ABCD，分別探索下列三個圖中B,D,E之間的關系圖1圖1EDCBA圖2EDCBA圖3EDCBA3. 如圖，已知ABCD，猜想下列三個圖中B,D,E，F之間的關系圖3EB圖3EBFDCA圖2FEDCBA圖1FEDCBA4.如圖，已知l1l2，MN分別和直線l1、l2交于點A、B，ME分別和直線l1、l2交于點C、D點P在MN上（P點與A、B、M三點不重合）（1）如果點P在A、B兩點之間運動時、之間有何數量關系？請說明理由（2）如果點P在A、B兩點外側運動時、有何數量關系？（只須寫出結論） 專題四 三角形的基本性質1三角形三邊的關系（1）三角形任意兩邊之和大于第三邊（2）三角形

13、任意兩邊之差小于第三邊設a，b，c為三角形的三邊，用不等式表示三邊的關系 2三角形內角和定理及推論（1）定理：三角形三個內角的和等于180（2）直角三角形的兩個銳角互余3.三角形的外角（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角（2）三角形外角性質。三角形的一個外角等于和它不相鄰的 三角形的外角和等于 4.三角形具有穩定性5.三角形中的三種重要線段（1）三角形的角平分線：三角形內一個內角的平分線與這個角對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段，叫做三角形的角平分線。（2）三角形的中位線：在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做三角形的中位線（3）三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對

14、邊所在直線做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線注意：（1）三角形的角平分線、中線、高線都是 ；角的平分線是 （2）三角形的三條角平分線、三條中線均相交于三角形 一點：三角形的三條高線：銳角三角形在三角形 ；鈍角三角形在三角形 ；直角三角形在三角形 。知識點1.三角形三邊的關系歸納：三角形三邊的關系常用來判斷三條已知線段能否構成三角形，確定三角形第三邊的范圍，以及證明線段的不等關系。三角形邊長問題中，一定要注意判斷三角形的存在性。例1.如果三角形的兩條邊長分別為23cm和10cm，第三邊與其中一邊的長相等，那么第三邊的長為 cm例2.在ABC中，AB=AC，中線BD把ABC的周長分為15

15、和6兩部分，求ABC各邊的長知識點2.三角形內角與外角歸納：（1）在角的計算中，盡量轉化在同一三角形內，根據內角和定理進行計算 （2）三角形外角性質是非常重要的知識點，通常結合角平分線、高線及三角形內角定理來解題較為常見例3圖CBDA例3. 如圖，某零件中BAC=90，B，C應分別是21例3圖CBDA檢驗工人量得BDC=148，就斷定此零件不合格，為什么？例4.已知ABC中，C=ABC=2A，BD是AC邊上的高，求DBC的大小CCDA例4題B例5.如圖，射線AD，BE，CF構成如圖所示的角，求1+2+3等于多少？例5圖例5圖321FCAEBD1.已知三角形的三個內角度數比是1:5:6，則最大內

16、角的度數為（ ）.現有長的四根木棒，任選三根組成一個三角形，那么可以組成三角形的個數為（）個個個個CDA第5題B.已知為直角三角形，CDA第5題B則等于4.直角三角形兩個銳角的平分線所構成的鈍角是 度5.已知中，為中線，=則與的周長相差 6.如圖，中，第6題圖為邊上的高，平方第6題圖7.已知，（）圖，若點是和的角平分線的交點，求與的關系（）圖，若點是和外角的角平分線的交點，求與的關系（）圖，若點是外角和的角平分線的交點，求與的關系圖圖圖 專題五 全等三角形1.全等三角形的性質（1）全等三角形的對應邊相等（2）全等三角形的對應角相等（3）全等三角形對應邊上的高，中線以及對應角的平分線 （4）全等

17、三角形的周長、面積 2. 三角形全等的判定（1）三邊分別對應相等的兩個三角形全等（簡稱SSS）（2）兩邊及夾角分別對應相等的兩個三角形全等（簡稱SAS）（3）兩角及夾邊分別對應相等的兩個三角形全等（簡稱ASA）（4）兩角及其一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（簡稱AAS）（5）斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡稱HL）注意：兩邊一角（SSA）和三角（AAA）對應相等的兩個三角形不一定全等知識點1.三角形全等的證明問題歸納：靈活運用三角形全等證明線段的關系及角與角之間的關系是三角形全等中常見的問題。例1.如圖，一直DCE=90，CD=CE,ADAC于A，BEAC于B，試說明AB+AD

18、=BEEEC例1圖DBA例2.如圖，在MNP中，MNP=45，H是高MQ和NR的交點，證明：HN=PM例2圖例2圖NQHMRP知識點2.多次證明三角形全等歸納：有些線段或角的問題只用一次三角形全等無法證明，所以，需要進行2次證明三角形全等。AEF例3圖AEF例3圖BDC知識點3.三角形中的和、差、倍、分問題歸納：利用三角形全等來證明線段的“和”“差”“倍”“分”，一般采用截長或補短的方法截長法：就是在長線段上截取一段，使截取的線段等于兩條線段中的一條線段，然后證明剩下的線段等于兩條短線段中另一條線段。當遇到角平分線時，以角平分線為公共邊在較長的邊上截取相等部分的方法，構造三角形全等例4.如圖，

19、ADBC，1=2，3=4，點D、E、C在同一直線上，證明：AD+BC=AB例4圖例4圖4321DECBA補短法：就是延長兩條短線段中的一條線段，使延長線的部分等于兩條短線段中的另一條線段，再證明延長后的線段等于長線段當遇到中線時，通常延長中線一倍，采用補短的方法，構造三角形全等例5.如圖，D為ABC的邊BC上的一點，且CD=AB，ADB=BAD，AE是ABD的中線，CECEDBA例5圖1.下面兩個等腰三角形一定全等的是（ ）A.邊長分別為2和3的兩個等腰三角形 B.邊長分別為3和5的兩個等腰三角形C.邊長分別為4和7的兩個等腰三角形 D.邊長分別為5和11的兩個等腰三角形A第2題圖NMDBA第

20、2題圖NMDBEC3.如圖，在ABC中，1=2,ABC=2C，求證：AB+BD=ACAA第3題圖1DB2C4.如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，E是BC中點，過E做EFAD，交AB于G，交CA的延長線于F，求證：BG=CFAA第4題圖GDBEC5.如圖，在RtABC中，AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD，CE交BD的延長線于E，2E2EC1DBA6.證明：在直角三角形中30所對的直角邊等于90角所對的斜邊的一半 專題六 如何做幾何證明題 1. 幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養學生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數量關系；二是有關平面圖形

21、的位置關系。這兩類問題常常可以相互轉化，如證明平行關系可轉化為證明角等或角互補的問題。 2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法： （1）綜合法（由因導果），從已知條件出發，通過有關定義、定理、公理的應用，逐步向前推進，直到問題的解決； （2）分析法（執果索因）從命題的結論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結論繼續推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止； （3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設與結論的距離，最后達到證明目的。 3. 掌握構造基本圖形的方法：復雜的圖

22、形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構造基本圖形，在構造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達到集中條件、轉化問題的目的。1、證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質，其它如線段中垂線的性質、角平分線的性質、等腰三角形的判定與性質等也經常用到。 例1.已知：如圖所示，中，。 求證：DEDF分析：由是等腰直角三角形可知，由D是AB中點，可考慮連結CD，易得，。從而不難發現說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助

23、線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應該連結CD，因為CD既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長ED到G，使DGDE，連結BG，證是等腰直角三角形。有興趣的同學不妨一試。 例2. 已知：如圖所示，ABCD，ADBC，AECF。求證：EF說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時應注意： （1）制造的全等三角形應分別包括求證中一量；（2）添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形。2、證明直線平行或垂直 在兩條直線的位置關系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內錯角或同旁內角的關系

24、來證，也可通過邊對應成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉化為證一個角等于90，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。例3. 如圖所示，設BP、CQ是的內角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。 求證：KHBC 分析：由已知，BH平分ABC，又BHAH，延長AH交BC于N，則BABN，AHHN。同理，延長AK交BC于M，則CACM，AKKM。從而由三角形的中位線定理，知KHBC。 說明：當一個三角形中出現角平分線、中線或高線重合時，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對稱）而成一個等腰三角形。例4. 已知：如圖所示，AB

25、AC，。 求證：FDED 說明：有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。 說明：證明兩直線垂直的方法如下： （1）首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見本題證二。 （2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個銳角互余。 （3）證明二直線的夾角等于90。3、證明一線段和的問題 （一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法） 例5. 已知：如圖，在中，BAC、BCA的角平分線AD、CE相交于O。 求證：ACAECD 分析：在AC上截取AFAE。易知，。由，知。，得：（二）延長一較短線段，使延長部

26、分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補短法） 例6. 已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，。 求證：EFBEDF 分析：此題若仿照例1，將會遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長CB至G，使BGDF。1.如圖，四邊形ABCD中，ADBC，點E是AB上一個動點，若B60，ABBC，且DEC60；求證：BCADAE2.如圖所示，已知為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AEBD，連結CE、DE。 求證：ECED3. 已知如圖，在RtABC中，AB=CD，ABC=90，ABD=DBC，CEBD的延長線于點E，證明：BD=2CE

27、 A E D B C 4.圖(1)中,C點為線段AB上一點,ACM,CBN是等邊三角形,AN與BM相等嗎?說明理由;如圖（2）C點為線段AB上一點, 等邊三角形ACM和等邊三角形CBN在AB的異側,此時AN與BM相等嗎?說明理由;如圖（3）C點為線段AB外一點,ACM,CBN是等邊三角形,AN與BM相等嗎? M N C B M N C BA N A CM B BCMBCMN 圖(1) 圖(2) 圖(3) 專題七 生活中的軸對稱1.角平分線（1）角平分線上的一點到角兩邊的 相等（2）角的內部到角兩邊距離相等的點，一定在這個角的 2.線段垂直平分線（1）線段垂直平分線上的點到這條線段的兩端點的 相

28、等（2）到線段的兩端點的距離相等的點在這條線段的 3.等腰三角形（1）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，兩邊相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形底邊上的中線、高線、頂角的角平分線重合叫做“ ”（3）等邊三角形：是特殊的等腰三角形，其中有一個角為60的等腰三角形是等邊三角形等邊三角形同樣具備“三線合一”的性質4含30的直角三角形在直角三角形中30所對的直角邊等于90角所對的斜邊的一半知識點1.角平分線及線段垂直平分線例1.如圖，AD為等腰直角三角形ABC的底角平分線，C=90，證明：AC+CD=ABDD例1圖CBAABCDE例2圖例2.如圖，ABCDE例2圖例3.如圖

29、，在RtABC中，C=90，CAB的平分線AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求，B的度數AABCDE例3圖知識點2.等腰三角形與等邊三角形例4.等腰三角形的一腰上的高于另一腰的夾角為20，則頂角為多少度？ACEBD例5圖例5.如圖，在ABC中，AB=AC，E為BC中點，BDAC，垂足為D，若ACEBD例5圖例6.如圖，在等邊ABC的AC邊上取中點D，BC的延長線上取一點E，使CE=CD，證明：BD=DEAACEBD例6圖1.如圖，DE是AC的垂直平分線，AB=10cm，BC=11CM,則ABD的周長為 cm2.如圖，在ABC內有一點D，且DA=DB=DC，若DAB=20，DAC=30，則BD

30、C= 度3.如圖，ABC為等邊三角形，BAD=CBE=ACF，則BEC= 度BDABDAC第2題圖BDFCE第3題圖AACDBE第1題圖4.如圖，DE是ABC中AB邊的垂直平分線，分別交AB，BC與D，E，AE平方BAC，若B=30，求C的度數AADCB第4題圖E5.如圖，在ABC中，AB=AC,D,E都在BC上，且AD=AE，求證：BD=CEEEDB第5題圖CA6.如圖，ABC，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，且BD=CE，連接DE交BC于F，試探究DF與EF的數量關系BBCEFDA 第二部分提前學習 專題一 勾股定理勾股定理：1.內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

31、2.表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a ,b ,斜邊為c ,那么a+b=c。二、勾股定理的證明：常用的是拼圖法用拼圖法驗證勾股定理的思路是：1)圖形經過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積是不會改變的；2）根據同一圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推到出勾股定理。常見的方法如下：方法一：做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即， 整理得 .方法二：以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角

32、形的面積等于. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形. 它的面積等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于. . .方法三：以a、b 為

33、直角邊（ba）， 以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH是一個邊長為ba的正方形，它的面積等于. . .三、勾股定理的適用范圍： 勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間嗦存在的數量關系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊不具備這一特征，因而在應用勾股定理的時候，必須知道考察的對象是直

34、角三角形。四、勾股定理的應用： 1.已知直角三角形的任意兩邊，求第三邊 知道直角三角形一邊，可得到另外兩邊之間的數量關系五、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a ,b ,c ,滿足a+b=c，那么這個三角形就是直角三角形，c邊就是斜邊。1.勾股定理的逆定理是判定三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它是通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a+b與最長邊的平方c作比較，若a+b=c，則是直角三角形，若a+bc，則是銳角三角形。注：不要誤認為三角形的最長邊一定就是c邊，也可用是a ,b 邊，要看清題目。六、勾股數： 1. 3 4 5 6 8 10 5 1

35、2 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 11 60 61 以及它們各自的相同倍數（整數倍，小數倍） 2.對于兩個任意的正整數m ,n（mn）,則m+n, m-n,2mn也成勾股數。且(m-n)+(2mn)=(m+n)。七、有關“螞蟻怎樣走最近”的問題：通常的做法是將立體圖形展開成為平面圖形，然后再在平面圖形上找準與立體圖形相對應的點，連結兩點之間的線段就是最短距離。1.勾股定理的直接應用：例1.正方形的面積是2，它的對角線長為_。2.求第三條邊的長：例2.在直角三角形中，a=3 b=4.第三邊的平方是_。例3.已知兩條線段的長為6cm和8cm，當第三條線段取_時，這三條線段能

36、組成一個直角三角形。3.與高，面積有關：例4.兩個直角分別是3和4的直角三角形斜邊上的高是_。例5.等腰三角形的底邊為10cm，周長為36cm，則它的面積是_cm.4.判斷三角形的形狀:通常做法是找較短的兩條邊，求它們的平方和，再和最長的邊的平方進行比較。5.求線段的長：例6.在直角三角形中，C=90度，1=2，CD=1.5 BD=2.5，求AC的長。6.求最短距離： 例7.如圖所示，螞蟻要從棱長為5cm的正方體的A點爬到B點，問最短距離是多少？7.有關梯子的問題：一般情況下，隱含的條件是墻與地面垂直，自己做示意圖，再求解。例8.長為4m的梯子搭在墻上與地面成45度角，作業時調整為60度角，則

37、梯子頂端沿墻角而升高了_m.8.有關旗桿的問題：一般情況下隱含的條件是旗桿與地面垂直，自己作示意圖，再求解。例9.小明想知道學校旗桿的高度，他發現旗桿頂端的繩子垂到地面還多1m，當他把繩子的下端拉開5m后，發現下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。1.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（ ）A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm2.求下列各圖字母中所代表的正方形的面積。225225400A225400B256112C144400D 2.8米9.6米3.如圖，一次“臺風”過后，一根旗

38、桿被臺風從離地面米處吹斷，倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部2.8米9.6米4.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊和長為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為_cm5.如圖，一個圓柱形紙筒的底面周長是40cm，高是30cm，一只小螞蟻在圓筒底的A處，它想吃到上底與下底面中間與A點相對的B點處的蜜糖，試問螞蟻爬行的最短的路程是多少？ AEBAEBCDF7.如圖所示，已知四邊形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，DC=12cm，BC=13cm，且ABAD。求四邊形ABCD的面積。8.如圖14.2.7，已知CD6m， AD8m， ADC90， BC24

39、m， AB26m求圖中陰影部分的面積 9.如圖，設四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去（1）記正方形ABCD的邊長為a1=1，按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，an，請求出a2，a3，a4的值；（2）根據以上規律寫出an的表達式10.A、B與建筑物底部D在一直線上，從建筑物頂部C點測得A、B兩點的俯角分別是30、60，且AB=20，求建筑物CD的高。11.某樓梯的側面視圖如圖4所示，其中米，因某種活動要求鋪設紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應為 BCBCA30如圖，要為一段高5米長1

40、3米的樓梯鋪上紅地毯，至少需要紅地毯_米。 專題二 平方根與算數平方根 算術平方根：如果一個正數的平方等于，即，那么這個正數就叫做的 算術平方根，記作“” ，讀作“根號”。注意：（1）規定0的算術平方根為0，即；（2）負數沒有算術平方根，也就是有意義時，一定表示一個非負數； （3）（）。二、平方根：如果一個數的平方等于，即，那么這個數就叫做的平方根（也叫二次方根）。 注意：（1）一個正數必須有兩個平方根，一個是的算術平方根“” ，另外一個是“-”,讀作“負根號” ，它們互為相反數； （2）0只有一個平方根，是它本身； （3）負數沒有平方根。三、開平方：求一個數的平方根的運算。其中叫做被開方數。

41、 例1、求下列各數的算術平方根與平方根（1） （2）100 （3）1 （4）0 （5） （6）7例2、計算 （1） （2） （3）- （4） （5） （6）例3、計算 （1） （2） （3） （4） （5） （6）例4、當有意義時，a的取值范圍是多少？1、求下列各數的算術平方根和平方根 （1）16 （2） （3）12 （4）0.01 （5）2、計算（1） （2） （3） （4）3、判斷（1）52的平方根為5（ ）（2）正數的平方根有兩個，它們是互為相反數 （ ）（3）0和負數沒有平方根（ ）（4）4是2的算術平方根（ ）（5）的平方根是3 （ ）（6）因為的平方根是,所以=（ ）4、有意義，則

42、的范圍_5、如果a(a0)的平方根是m，那么（ ）A.a2=mB.a=m2C.=mD.=m1、下列各數中沒有平方根的數是（ ）A.(2)3 B.33C.a0D.（a2+1）2、等于（ ）A.aB.aC.aD.以上答案都不對3、若正方形的邊長是a,面積為S，那么（ ）A.S的平方根是aB.a是S的算術平方根C.a=D.S= 4、當_時，是二次根式5、要使有意義，則的范圍為_6、計算：（1）- （2） 7、解下列方程:（1） （2） （3）8、若，求的值。 專題三 立方根 1、立方根的概念：如果一個數x的立方等于a ，即=a，那么這個數x就叫做a的立方 根（或叫做三次方根）。 2、立方與立方根的關

43、系：若有x3=a成立，則a是x的立方，x就是a的立方根。 注：任何數均有立方根，立方根是唯一的；任何數不一定有平方根，平方根是不唯一3、開立方的概念：求一個數a的立方根的運算叫做開立方，a叫做被開方數。 注： ，4、正數的立方根是正數；0的立方根是0；負數的立方根是負數 注：正數的立方根大于負數的立方根，0是介于兩者之間。例1、（1）由于的-27，則 是 的立方根。（2）若=成立，則 是 的立方； 是 的立方根。例2、（1）2的立方等于多少？是否有其他的數，他的立方等于8？（2）3的立方等于多少？是否有其他的數，它的立方也是27？例3、求下列各數的立方根（1）512 （2） （3）0 （4）例

44、4、比較三個數的大小:,0,例5、若=0，則的立方根是多少？例6、已知 x=是m+n+3的算術平方根，y=是m+2n的立方根，求y-x的立方根.一、填空題： 1、若=0.125，則 是 的立方根 2、64的立方根是_ 3、的立方根是_二、判斷并加以說明 1、的立方根是（ ） 2、沒有立方根 （ ） 3、的立方根是（ ） 4、是的立方根（ ） 5、負數沒有平方根和立方根（ ） 6、a的三次方根是負數，a必是負數（ ） 7、立方根等于它本身的數只能是0或1（ ） 8、如果x的立方根是，那么（ ） 9的立方根是（ ） 10、的立方根是沒有意義 （ ） 11、的立方根是（ ） 三、選擇題：1、 8的立

45、方根是（ ）A、2 B、-2 C、4 D、+22、的立方根是（ ） A、16 B、 C、4 D、8 3、計算的結果是（ ）.A.3 B.7 C.-3 D.-74下列敘述正確的是（ ） A 是7的一個立方根 B的立方是11 C如果x有算術平方根，則x0 D如果x有平方根，它一定有立方根 四、計算題1、已知=0，求 的立方根。 2、若3x+1的平方根是+4，求9x+19的立方根.一、判斷題： 1、的立方根是+ （ ） 2、負數沒有立方根 （ ） 3、-是-7的立方根 （ ） 4、若，則x=y （ ） 5、若，則（ ） 二、選擇題 1、若m0,則m的立方根是（ ） A、 B、 - C、+ D、 2、

46、如果是6-x的立方根，那么（ ） A、x6 B、x=6 C、 D、x是任意實數三、填空題 1、若x0,= ,= 2、比較大小 ： 3、的算術平方根與的立方根的乘積是 4、若，則= 四、求下列各數的立方根（1） （2） （3） （4） 五、能力拓展題。 已知，（為整數，為正的純小數），求 的平方根。 專題四 平方根與立方根的應用1、算術平方根、平方根與立方根的區別與聯系：（1）區別： A、根指數不同：平方根的根指數為2，且可以省略不寫；立方根的根指數為3，且不能省略不寫。 B、被開方的取值范圍不同：平方根中被開方數必需為非負數；立方根中被開方數可以是任何數。 C、結果不同：平方根的結果除0之外，

47、有兩個互為相反的結果；算術平方根只有一個，且是正數;立方根的結果只有一。（2）聯系：二者都是與乘方運算互為逆運算。 特別注意： 2、無理數的相反數、倒數、絕對值與有理數的相反數、倒數、絕對值類似。3、比較兩個無理數的大小：（1） （2） 或 4、含有二次根號式子取最小值時，當且僅當被開方數為0，且被開方數為非負數有意義。5、簡單方程的解法以及二次根式非負性的性質。例1、下列說法，正確的有（ ）（1）只有非負數才有平方根和立方根；（2）如果a 有立方根，那么a一定是正數 ；（3）如果a 沒有平方根，那么a一定是負數 ；（4）立方根等于它本身的數是0；（5）一個正數的平方根一定大于它的立方根。 A

48、1個 B 2個 C3個 D4例2、a.由于，則 是 的立方； 是 的立方根。 b.若 0,則 ; 例3、的相反數是 ；的絕對值是 ；的倒數是 。例4、A.若a=,b=-，c=,則a、b、c的大小關系是（ ）.A. abc B. cab C. bac D. cba B.比較大小： ； ； 例5、多項選擇題：下列各數沒有算術平方根的是（ ），有立方根的是（ ）A2 B C D11.1例6、如果+1有意義，則x可以取的最小整數為 ，若有意義，最小值是 。例7、A、解方程 B、若=0，則的立方根是多少？一、 判斷題（1）只有正數才有平方根、算術平方根和立方根（ ）（2）如果a沒有平方根 ，那么a也沒有

49、立方根 （ ） （3）如果a有立方根 ，那么a也有平方根 （ ） （4）算術平方根等于它本身的數為0 （ ） （5）a的三次方根是負數，a必是負數（ ） （6） =4 （ ） 二、填空題1、 的平方根是_，的算術平方根是_，的算術平方根是 ；2、的最小值是_，此時a的取值是_。3、若一個正數的平方根是和，則，這個正數是 ；4、 當時，有意義；當時，有意義；5、的相反數是 ；的倒數是 ；三、選擇題 1、的算術平方根是2，則（ ） A. B. C. D. 2、 若一個實數的算術平方根等于它的立方根，則這個數是( )A. 0 B. 1 C. 0 和1 D. -1和1 3、若-a-b0，則=（ ）.

50、A. -a-b B. C. D. 4、比較大小：A.若a=,b=-1，c=,則a、b、c的大小關系是（ ）.A. abc B. cab C. bac D. cba 5、若a0，則下列各數有平方根的是（ ） A. - B. C. D. 四、計算題1、 解方程： （1） 4(x+1)2=8 （2） 2、若0，=0成立，則的算術平方根、平方根及立方根分別是多少？一、判斷題： 1、下列說法中正確的是（ ）A、4沒有立方根B、1的立方根是1C、的立方根是D、5的立方根是2、在下列各式中： = =0.1, =0.1,=27,其中正確的個數是（ ）A. 1B. 2 C. 3D. 4 3、下列說法中，正確的是

51、（ ）A、一個有理數的平方根有兩個，它們互為相反數B、一個有理數的立方根，不是正數就是負數C、負數沒有立方根D.如果一個數的立方根是這個數本身，那么這個數一定是1，0，1 4、若+有意義，則=_.二、.判斷下列各式是否正確成立.(1) 若ab,則a2b2（ ） （2）若，則，且 （ ） (2) =（ ） 三、填空題 1、 平方根是它本身的數是_； 立方根是其本身的數是_；算術平方根是其本身的數是_。2、 若a0，則()3=_.3、 若a2=1，則=_.4、的5次方根是_.5、若，則a是 。6、0.008的立方根的平方等于_.四、解方程 (x1)3=. 專題五 實數的分類實數的概念：有理數和無理

52、數統稱為實數，實數有兩種分類方法。按定義分：實數可以分為有理數和無理數；整數和分數都是有理數，即有限小數或無限循環小數；無理數是無限不循環小數按正負分：實數可以分為正實數、0、負實數；正實數分為正有理數和正無理數；正有理數分為正整數和正分數。負實數分為負有理數和負無理數；負有理數分為負整數和負分數。注：對實數進行分類時，可以有不同的方法，但要按同一標準，做到不重不漏。也是無理數。實數的性質（重點）：有理數的相反數、絕對值、倒數的定義完全適用于實數。（1）與互為相反數，且互為相反數的兩個數的絕對值相等。（2）與互為倒數，正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，零沒有倒數。（3）絕對值的非負性：3、比

53、較兩個實數的大小：做差法；平方法；取近似值法；倒數法在數軸上，右邊的數總比左邊的數大；正數大于負數；正數大于0；負數小于0；兩個負數相比較，絕對值大的反而小。4、實數的四則運算及化簡（1）有理數的運算法則與運算律對實數仍然適用（交換律、結合律、分配律）（2）化簡遵循無理數的化簡原則，一直化為最簡的為止。例1、把下列各數按要求分別填入相應的集合內：，0.3，-，-，0，中， 有理數集合： 無理數集合： 正數集合： 負數集合： 例2、(1) 的相反數是 ，倒數是 ，絕對值是 .(2) 在數軸上離原點距離是的點表示的數是 .(3) 的立方根是 ，的立方根是 ，0的立方根是 。正數的立方根是 數；負數

54、的立方根是 數；0的立方根是 .例3、比較下列各組數的大小：（1）與 （2）與（3）與 （4）與例4、計算下列各式（1） （2） （3） （4）例5、若y=則是多少？填空題在數軸上表示與的點距離最近的整數點表示的數是 。已知數軸上兩點A、B到原點的距離分別是和，則 。若，則 。計算：= 。 （5）已知的三邊長為，且滿足，則的取值范圍為 .2、比較下列各組數大小 12 3、已知為實數，且，求 4、已知,且,求的值.一、填空題 1、一個的算術平方根是8，則這個的立方根的相反數是 . 2、若，則 . 3、-的相反數是 ；絕對值是 . 4、化簡(1) = ； (2)= . 5、若互為相反數，互為倒數，

55、則 .6、比較大小：(1) ； (2) ； 7、已知有意義，則x的平方根為 。 8、已知，求的值_。9、若與互為相反數，則= 。 二、解答題 1、已知x、y為實數，且求的值三、計算題（1） （2） （3） 專題六 最簡二次根式及分母有理化 1、二次根式的重要性質 ： 注1：式子中中的可以取任意實數，同時注意與的區別。注2：中既可以是單個數字，單個字母，單項式，也可以是可進行因式分解的多項式，等等，總之它是一個整體概念。2、最簡二次根式的概念：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式：被開方數的因數是整數，因式是整式； 被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。3、同類二次根式的概念：幾個二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數相同，則這幾個二次根式成為同類二次根式4、分母有理化的概念：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。5、有理化因式的概念：兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數式互為有理化因式。注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它們可以相差一個倍數。6、熟記一些常見的有理化因式：的有理化因式是；的有