1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 15 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 15 頁2022屆上海市黃浦區高考二模數學試題一、單選題1若、均為非零實數，則不等式成立的一個充要條件為（）ABCD【答案】A【分析】利用基本不等式及充要條件的定義判斷即可；【詳解】解：因為、均為非零實數且，所以，因為，所以，所以，由，可得，所以，當且僅當，即時取等號，所以不等式成立的一個充要條件為；故選：A2如圖，已知、分別是正方體的棱、和的中點，由點、確定的平面截該正方體所得截面為（）A三角形B四邊形C五邊形D六邊形【答

2、案】D【分析】分別取的中點、，連接，由正方體性質可得答案.【詳解】如圖，分別取的中點、，連接，由正方體性質，所以平面，且，又交于同一點，所以平面，所以點、確定的平面即為六邊形故選：D3記方程：，方程：，方程：，其中，是正實數當，成等比數列時，下列選項中，能推出方程有兩個不相等的實根的是（）A方程有實根，且有實根B方程有實根，且無實根C方程無實根，且有實根D方程無實根，且無實根【答案】C【分析】首先可根據“方程有不相等的兩實根”得出“方程無實根”的充要條件，然后對四個選項依次進行分析，通過判別式即可得出結果.【詳解】解：若方程有不相等的兩實根，則，即，故“方程有不相等的兩實根”的充要條件為：，又

3、因為，成等比數列，所以，即，A項：因為方程有實根，且有實根，所以，即，無法證得，故A不正確；B項：因為方程有實根，且無實根，所以，即，故B不正確；C項：因為方程無實根，且有實根，所以，即，故C正確；D項：因為方程無實根，且無實根，所以，即，無法證得，故D不正確，故選：C.4將曲線()與曲線()合成的曲線記作設為實數，斜率為的直線與交于兩點，為線段的中點，有下列兩個結論：存在，使得點的軌跡總落在某個橢圓上；存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，那么（）A均正確B均錯誤C正確，錯誤D錯誤，正確【答案】C【分析】對，分析當時點的軌跡總落在某個橢圓上即可；對，設，則，利用點差法，化簡可得，故若存在，使得

4、點的軌跡總落在某條直線上則為常數，再化簡分析推出無解即可【詳解】設，則.對，當時，易得，故兩式相減有，易得此時，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得點的軌跡總落在橢圓上.故正確；對， .由題意，若存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，則，兩式相減有，即，又，故，即，又，故若存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，則為常數.即為定值，因為分子分母次數不同，故若為定值則恒成立，即，無解.即不存在，使得點的軌跡總落在某條直線上故選：C二、填空題5行列式的值為_【答案】【分析】根據行列式的計算方法求解即可【詳解】行列式的值為 故答案為：6若全集，集合，則_【答案】【分析】根據補集定義代入運算【詳解】根

5、據補集運算可得：故答案為：7在長方體中，設，若用向量、表示向量，則_【答案】【分析】根據空間向量的加法法則求解即可【詳解】由題意，故答案為：8某高中為了了解學生收看空中課堂的具體情況，利用分層抽樣的方法從高中三個年級的學生中隨機抽取了名進行問卷調查，其中從高一年級的學生中抽取了名，從高二年級的學生中抽取了名，若高三年級共有學生名，則該高中共有學生_名【答案】【分析】首先求出樣本中高三年級抽取的學生數，即可求出該高中共有的學生數；【詳解】解：依題意可得樣本中高三年級抽取了名學生，所以該高中共有學生名學生；故答案為：9已知復數z滿足，則的最大值為_【答案】3【分析】設，結合已知條件求出點在上運動，

6、然后將問題轉化為點到上一點的最大距離，再利用圓的性質即可求解.【詳解】不妨設，由可得，故點在上運動，又因為，所以，即點與點之間的距離，從而的最大值為點到上一點的最大距離，又因為是以圓心，半徑為1的圓，故圓心與點之間的距離，從而的最大值為.故答案為：3.10設，直線（為參數）的傾斜角的大小為_【答案】【分析】消去參數可得直線的直角坐標方程，再分析傾斜角即可【詳解】由題意，直線方程，即 斜率為，故傾斜角為故答案為：11已知若冪函數在區間上單調遞增，且其圖像不過坐標原點，則_【答案】【分析】根據冪函數的單調性與定義域判定即可【詳解】因為冪函數圖像不過坐標原點，故，又在區間上單調遞增，故故答案為：12

7、已知向量、，若，向量在方向上的投影的取值范圍為_【答案】【分析】設、所成角為，計算出向量在方向上的投影，即可求出的范圍，即可求出答案.【詳解】因為，設、所成角為，向量在方向上的投影為：，因為，所以，所以.故答案為:。13已知等比數列，其前項和為若，公比為，則_【答案】【分析】先求解的通項公式，再求解，進而求解極限即可【詳解】由題意，故故答案為：14設，若對任意實數都有，則滿足條件的有序實數組的組數為_【答案】【分析】由恒成立的等式可確定，；結合三角函數誘導公式的知識，分別討論不同取值時對應的的取值，結合的范圍可得結果.【詳解】對任意實數都有，與的最值和最小正周期相同，即，當，時，又，或，則或；

8、當，時，；又，或，則或；當，時，又，或，則或；當，時，；又，或，則或；綜上所述：滿足條件的有序實數組共有組.故答案為：.15一個袋子中裝有大小與質地均相同的個紅球和個白球（），現從中任取兩球，若取出的兩球顏色相同的概率等于取出兩球顏色不同的概率，則滿足的所有有序數對為_【答案】【分析】根據題意可得取出的兩球顏色相同的概率等于取出兩球顏色不同的概率等于，再列式求出關于的等式，再根據整數的性質分析即可【詳解】由題意，取出的兩球顏色相同的概率等于取出兩球顏色不同的概率等于，即，即，所以，整理得，即為平方數.又，故，或.當時，解得；當時，解得；當時，解得不合題意，故或故答案為：16對于給定的正整數()

9、，定義在區間上的函數滿足：當時，且對任意的，都成立若與有關的實數使得方程在區間上有且僅有一個實數解，則關于的方程的實數解的個數為_【答案】【分析】數形結合，畫出在區間上圖象，根據與的圖象交點分析即可【詳解】由題意，畫出在之間的圖象，又對任意的，都成立，可理解為區間的圖象由區間的圖象往右平移一個單位，再往上平移一個單位所得，即可畫出在上的圖象.故若與有關的實數使得方程在區間上有且僅有一個實數解，則與在區間上的圖象相切，且易得的圖象在與區間區間，上的公切線之間.故與在區間，上均有2個交點，故關于的方程的實數解的個數為個故答案為：三、解答題17如圖，直角邊長為的等腰直角三角形及其內部繞邊旋轉一周，形

10、成一個圓錐(1)求該圓錐的側面積；(2)三角形繞逆時針旋轉到，為線段中點，求與平面所成角的大小（結果用反三角函數值表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圓錐的底面積和半徑，由圓錐側面積的公式帶入即可求出答案.（2）聯結，因為平面，所以為在平面上的射影，于是為與平面所成的角求出，代入，即可求出答案.【詳解】(1)三角形是直角邊長為的等腰直角三角形，圓錐的母線，底面半徑，側面積(2)聯結，因為平面，所以為在平面上的射影，于是為與平面所成的角在直角中，因此，與平面所成角的大小為18設為常數，函數(1)若，求函數的反函數；(2)若，根據的不同取值，討論函數的奇偶性，并說明理由【答案】(1)，(2

11、)當時，函數是奇函數；當且時，函數既不是奇函數，也不是偶函數【分析】（1）利用把表示出來即可求得結果；（2）對分情況討論，利用函數奇偶性判斷即可得出結論.【詳解】(1)由，得，于是，且因此，所求反函數為，(2)當時，定義域為，故函數是奇函數；當且時，函數的定義域為，函數既不是奇函數，也不是偶函數19某公園要建造如圖所示的綠地，、為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄與的總長度為米，且設（）(1)當，時，求的長；（結果精確到米）(2)當時，求面積的最大值及此時的值【答案】(1)米(2)當時，養殖場最大的面積為平方米【分析】（1）在中，根據余弦定理求解即可；（2）當時，可得，再化簡可得，再根據正弦

12、函數的最值分析即可【詳解】(1)在中，由余弦定理，得，故因此的長約為米(2)連接由題意，在中，由正弦定理，得于是，當，即時，取到最大值，最大值為因此，當時，養殖場最大的面積為平方米20已知雙曲線：，為左焦點，為直線上一動點，為線段與的交點定義：(1)若點的縱坐標為，求的值；(2)設，點的縱坐標為，試將表示成的函數并求其定義域；(3)證明：存在常數、，使得【答案】(1)5(2)，(3)證明見解析【分析】（1）首先求出點的坐標，即可得到直線的方程，從而求出點坐標，即可得解；（2）設點的坐標為，由，即可得到、，代入橢圓方程整理可得；（3）當點不在軸上時，過作軸的垂線，垂足為，設直線與軸的交點為，點的

13、坐標為依題意可得又，再由距離公式求出，即可得到，從而求出、的值，再計算點在軸上時的情形，即可得證；【詳解】(1)解：由題意，點的坐標為，將代入雙曲線中，可得，所以，不妨取的坐標為，于是直線的方程為將代入直線的方程，得點的坐標為因此(2)解：由題意，點的坐標為，點的坐標為設點的坐標為，由，又、，即，所以，代入雙曲線方程，得，整理得由，即，結合，解得或又，即，結合，解得因此，(3)證明：點的坐標為當點不在軸上時，過作軸的垂線，垂足為設直線與軸的交點為，點的坐標為，即由為線段與的交點，得點的坐標滿足方程，即于是，又，故于是故存在常數、，使得當點在軸上時，所以，即，所以，即上述結論亦成立21已知數列滿足以下兩個條件：，當時，；若存在某一項，則存在，使得（且）(1)若，求，；(2)若對一切正整數，均成立的的最小值為，求該數列的前項之和；(3)在所有的數列中，求滿足的的最小值【答案】(1)，(2)1(3)【分析】（1）先根據條件取絕對值可得或，得，或再根據條件逐個分析是否滿足題意即可；（2）根據條件結合周期性得或，再逐個分析是否滿足條件即可；（3）先根據條件可得（）必為數列中的項，再結合條件可得分析即可【詳解】(1)條件即：當時，或（1）由，得，于