1、深圳市龍城高級中學 蔣柏林第 第 頁4.4數學歸納法深圳市龍城高級中學 蔣柏林一、內容與內容解析1. 內容：數學歸納法的概念，會用數學歸納法解決證明問題，體會數學歸納法的思想.2. 內容解析：（1）學習數學歸納法的必要性：本節為選學內容，不作為考試要求，但是是一種非常有用的數學證明方法.（2）數學歸納法概念：一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行。(歸納奠基)證明當nn0(n0N*)時命題成立；(歸納遞推)以“當nk(kN*，kn0)時命題成立”為條件，推出“當nk1時命題也成立”.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法.

2、 （3）本節內容編寫思路是：問題情境引發數學歸納法的學習欲望一一多米諾骨牌蘊含的原理分析一一用多米諾骨牌原理解決數學問題一從具體問題中概括出數學歸納法。在這個過程中，學生首先需要從生活實例中抽象出數學原理，然后需要利用該原理對數學問題進行嚴格證明。因此，本節內容是培養學生嚴密的推理能力、訓練學生的抽象思維能力的好素材。3. 教學重點：（1）通過游戲模型和生活實例，了解數學歸納法的基本思想；（2）學握數學歸納法的證明步驟及每個步驟的作用目標與目標分析目標：（1）知識目標：了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明數列中的一些簡單命題。（2）能力目標：通過歸納法概念形成的過程，使學生學會數學演繹證明

3、的方法（3）素養目標：通過利用數學歸納法證明與自然數n有關的數學命題，發展學生的邏輯推理和數學運算素養目標解析：（1） 通過具體情境，體會學習數學歸納法的必要性；（2） 借助生活實例和體驗操作，感知數學歸納法的原理，體會數學及生活的緊密結合性；通過從解決具體數學問題的思維中概括出數學歸納法訓練學生的抽象思維能力；（3）在證明過程中，培養學生嚴密的推理能力。學情與難點分析學情分析：高二學生具備一定的抽象思維能力和邏輯推理能力。但對于數學歸納法，學生理解和接受它是一件很困難的事情，因為學生缺少體驗和認知基礎。所以需為學生創設及數學歸納法有類似想法的實際體驗。教學難點：（1）如何類比多米諾骨牌原理解

4、決數學問題，了解數學歸納法的基本步驟；（2）如何理解數學歸納法中第二步的本質一一建立遞推關系。教學思路與方法分析 教學過程分為問題呈現階段、探索與發現階段、應用知識階段教學過程設計情景引入探究1 已知數列滿足，計算，猜想其通項公式，并證明你的猜想.分析：計算可得，再結合，由此猜想：，如何證明這個猜想呢？我們先從多米諾骨牌游戲說起，碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌倒下。這樣，只要推到第1塊骨牌，就可導致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導致第3塊骨牌倒下；，總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。你覺得這種理解方式怎么樣？問題1 多米諾骨牌都倒下的關

5、鍵點是什么？（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.問題2 你認為條件（2）的作用是什么？如何用數學語言來描述它？ 遞推作用：當第k塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下.【設計意圖】問題情境引發數學歸納法的學習欲望，挖掘多米諾骨牌全部倒下的原理，通過類比、遷移“骨牌原理”獲得證明數學命題的方法.合作探究探究1 已知數列滿足，計算，猜想其通項公式，并證明你的猜想.分析：計算可得，再結合，由此猜想：，如何證明這個猜想呢？探究2 證明前面的猜想“數列的通項公式是”與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？證明：（1）第一塊骨牌倒下；若第K塊

6、骨牌倒下時，則使相鄰的第K+1塊骨牌也倒下。根據（1）和 （2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。【設計意圖】多米諾骨牌蘊含的原理分析，進而用多米諾骨牌原理解決數學問題.探究1 已知數列滿足，計算，猜想其通項公式，并證明你的猜想.證明：（1）當時，猜想成立；（2）若時猜想成立，即，那么，當時，所以，當時，猜想也成立.根據（1）和（2），可知對任意的正整數n,猜想都成立.生成概念數學歸納法的定義：一般地,證明一個與正整數n有關的命題,可按下列步驟進行:第一步：證明當n取第一個值n0(n0N*)時命題成立；第二步：以當“n=k(kn0,kN*)時命題成立”為條件, 推出“當n=k+1時命題也成

7、立”只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立.這種證明方法叫做數學歸納法.數學歸納法證明的形式改寫如下：條件：(1)P(n0)為真；(2)若P(k)為真，則P(k1)也為真，結論：P(n)為真.(1)第一步驗證(或證明)了當nn0時結論成立，即命題P(n0)為真；(2)第二步是證明一種遞推關系，實際是要證明一個新命題：若P(k)為真，則P(k1)也為真.只要將兩步交替使用，就有P(n0)為真，P(n01)真，P(k)真，P(k1)真.從而完成證明.數學應用例1 用數學歸納法證明：.證明：（1）當時，式的左邊，右邊，所以式成立.（2）假設當時，式成立，即，兩邊同時加上，

8、有，即當時，式也成立.由（1）（2）可知，式對任何都成立.【反思提高】用數學歸納法證明恒等式時,應關注以下三點:(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;(3)證明n=k+1時結論也成立,要設法將待證式與歸納假設建立聯系,并朝n=k+1證明目標的表達式變形.證明：(1)當n1時，左邊eq f(1,2)，右邊1eq f(1,2)eq f(1,2)，等式成立(2)假設當nk(kN)時，等式成立，即eq f(1,2)eq f(1,22)eq f(1,23)eq f(1,2k1)eq f(1,2k)1eq f(1,2k)，那么當nk

9、1時，eq f(1,2)eq f(1,22)eq f(1,23)eq f(1,2k1)eq f(1,2k)eq f(1,2k1)1eq f(1,2k)eq f(1,2k1)1eq f(21,2k1)1eq f(1,2k1).所以，當nk1時，等式也成立根據(1)和(2)，可知等式對任何nN都成立【設計意圖】呼應引言中的問題，使學生熟悉用數學歸納法證明數學命題的基本過程和表述規范.課堂小結注意：1.用數學歸納法進行證明時，要分兩個步驟，兩個步驟缺一不可.2.(1)(歸納奠基)是遞推的基礎.找準n0 (2)(歸納遞推)是遞推的依據nk時命題成立作為必用的條件運用，而nk+1時情況則需要利用假設及已知的定義、公式、定理等加以證明.課堂檢測設計1.某個命題當n=k (kN )時成立，可證得當n=k+1時也成立。現在已知當n=5時該命題不成立，那么可推得（ ）A. n=6時該命題不成立 B. n=6時該命題成立C. n=4時該命題不成立 D. n=4時該命題成立2.用數學歸納法證明“2nn2+1對于n大于等于n0的自然數n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取（ ）A. 2 B. 3 C. 5 D. 6【設計意圖】通過練習鞏固檢測本節所學知識總結提升問題1 數學歸納法能夠解決哪一類問題？一般被應用于證明某些與正整數有關的數學命題問題2 數學歸納法證明命題