1、電磁場與交換技術第二章第1頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-2三種常用的正交坐標系（）直角坐標系 （方向矢量）直角坐標系中的長度元、面積元和體積元（1.4. 1）（1.4. 2）（1.4. 3）第2頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-3圓柱坐標系 （方向矢量） 圓柱坐標系中的長度元、面積元和體積元（1.4. 5）（1.4. 6）（1.4. 7）第3頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-4球面坐標系 （方向矢量）球面坐標系中的長度

2、元、面積元和體積元第4頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-5直角坐標系與圓柱坐標系之間的關系三種常用正交坐標系的轉換（）直角坐標系與球面坐標系之間的關系圓柱坐標系與球面坐標系之間的關系第5頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-6廣義坐標系 (方向單位矢量)廣義柱坐標系 (方向單位矢量)不同坐標系中的長度元、面積元和體積元線積分 或 、面積分 或 和體積分 不隨位置坐標而改變 隨著位置坐標的改變而改變(方向)三種常用的正交坐標系的相互轉換（坐標的轉換和方向矢量的轉換） 幾點說明第6頁，共

3、67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-7物理量的分類標量場矢量場1.1 矢量的代數運算物理量與位置無關的量 與位置有關的量（場量）時間、長度、重量 標量場（只有大小） 矢量場（大小+方向） 溫度、濕度、電位 速度、電場、磁場 第7頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-8 矢量與矢量的表示法 （1.1.1）單位矢量模等于1的矢量叫做單位矢量。（）矢量表示法在三維空間中，矢量 可表示為一根有方向的線段該線段的長度 代表該矢量的模，該線段的方向 代表該矢量的方向第8頁，共67頁，2022年，5月20

4、日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-9直角坐標系中矢量的表示（）（）（）例如：（）（）第9頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-10位置矢量與距離矢量 場點坐標 源點坐標 場點矢徑 源點矢徑第10頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-11位置矢量與距離矢量位置矢量由坐標原點出發引向空間某一點的有方向線段，稱為該點的位置矢量或矢徑。距離矢量由源點出發引向場點的矢量稱為距離矢量。（）第11頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢

5、量分析1-12 矢量的代數運算一個矢量經平移后所得到的新矢量與原矢量相等。在直角坐標系下，兩個相等的矢量必有相等的坐標分量。矢量與標量的乘積（）（）負矢量與原矢量大小相等，方向相反的矢量。第12頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-13矢量加法和減法矢量加法滿足交換律和結合律，矢量減法不滿足交換律。（）（）第13頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-14直角坐標系中矢量加法和減法只有矢量和矢量之間才能進行相加減。（）（）第14頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六14電磁

6、場與電磁波理論第1章 矢量分析1-15標量積(the dot product)和矢量積(the cross product)兩個矢量的標量積（點積）定義為這兩個矢量的模以及這兩個矢量 之間夾角的余弦三者的乘積。（）兩個矢量的矢量積（叉積）的模等于這兩個矢量的模以及這兩個矢量之間夾角的正弦三者的乘積，而方向垂直于兩矢量所構成的平面，其指向按“右手法則”來確定。（）第15頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-16“右手法則”和“右手螺旋法則” 第16頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六16電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-

7、17第17頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六17電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-18標量積滿足交換律和分配律，矢量積只滿足分配律。若兩個矢量垂直,即它們間夾角為90o,則標量積等于零,而矢量積最大,等于這兩個矢量模的乘積;若兩個矢量平行,即它們間夾角為零,則矢量積等于零,而標量積最大,等于這兩個矢量模的乘積。若兩個非零矢量的標量積等于零，則這兩個矢量必相互垂直；若兩個非零矢量的矢量積等于零，則這兩個矢量必相互平行。第18頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-19標量積和矢量積在直角坐標系中的計算（）（）思考題：兩個

8、矢量恒等式的證明，書Page.6。第19頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六若某空間中的每一個點都對應著某個物理量的一個確定值，就稱在該空間中定義了這個物理量的場或函數若這個物理量是標量，則這個場或函數稱為標量場或標量函數。如一幢建筑物內的溫度分布、一個區域內的電位分布等等若這個物理量是矢量，則這個場或函數稱為矢量場或矢量函數。如某河流區段內水流的速度分布、一個區域內電場強度的分布等若標量場中各點標量值的大小都相同，則稱場中物理量是常數若矢量場中各點矢量大小和方向都相同，則稱場中物理量為常矢若場中的物理量在各點所對應的值不隨時間而變化，則這個場稱為靜態場或恒定場；否則，就稱為

9、時變場。電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-201.2 場的微分運算 場的基本概念第20頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六20電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-21標量場的等值面等值面函數均取相同值的曲面。例如，靜電場中的等位面。在三維空間中，每一點對應著也僅對應著一個確定的函數值，因此它必屬于也僅屬于一個等值面。空間中所有的點均有等值面通過，所有的等值面均互不相交。對于同一個常數值 ，可以有多個互不相交的等值面。如果是在二維空間，函數均取相同值的點構成就是一條條的等值線，例如山體的等高線就是一種常用的等值線。第21頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期

10、六21電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-22矢量場的矢量線或通量線矢量線一系列有向曲線。線上每一點的切線方向代表該點矢量場方向，而橫向的矢量線密度代表該點矢量場大小。例如，電場中的電力線、磁場中的磁力線矢量場中的每一點均有一條矢量線通過，所以矢量線充滿了整個矢量場所在的空間矢量線可以匯聚于某一點，但是不能相互交叉。矢量場的矢量線滿足的微分方程第22頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六22電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-231.2.2 標量場的方向導數和梯度1. 標量場的方向導數方向導數空間某一點的標量場沿某一方向的變化率定義為該標量場在該點沿該方向的方向導數（） 其

11、中第23頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-24 根據求導法則（）方向余弦該方向上的單位矢量（）第24頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-25標量函數 在空間給定點沿 方向的方向導數等于該點的梯度矢量 在該方向上的投影 。2. 標量場的梯度（gradient）標量場 的梯度 大小等于標量函數在該點最大的方向導數值，方向指向使函數值增加最快的方向。（）（）第25頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六梯度的表示哈密頓（Hamilton）算子 （讀作del）電磁場與電磁波理

12、論第1章 矢量分析1-26直角坐標系中的哈密頓算子 （）直角坐標系中的梯度表示式 （）第26頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六算子 具有類似于矢量和微分的性質，稱為矢量微分算子電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-27梯度的基本公式（）（）（）（）（） 其中， 為常數； ， 為標量函數。第27頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六例1.2.1 試證明： ； 。式中 和 分別表示對場點坐標和源點坐標的哈密頓算子。電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-28證明：依梯度的基本公式第28頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章

13、矢量分析1-291.2.3 矢量場的通量和散度通量線或矢量線一系列有方向的曲線，該線上每一點的切線方向代表該點矢量場方向，而橫向的通量線密度代表該點矢量場的大小。1. 矢量場的通量 (flux) 通量 矢量場穿過曲面 的通量線的總數，它可表示為矢量沿該曲面 的面積分。（）（）第29頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-30開口曲面的正法線方向需要事先設定。通量的正、負與面積元矢量的方向選取有關。閉合曲面的正法線方向規定為由的內部指向外部，即外法線方向。通量可以用來描述矢量場在空間的分布。借助于通量的概念，矢量又稱為通量密度。例如，電位移也常

14、常稱為電通量密度。發出通量線的點稱為“源”，吸收通量線的點稱為“溝”。例如，靜電場中的正電荷是發出電力線的“源”，負電荷是吸收電力線的“溝”。穿過整個閉合曲面的總通量等于“源”發出的通量線減“溝”吸收的通量線。幾點說明第30頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-31通量概念描述了空間一個較大范圍內場與源之間的關系散度概念將描述空間每一點場與源之間的關系。矢量場的散度 矢量穿過閉合曲面的通量與該閉合曲面所包圍的小體積之比的極限。2. 矢量場的散度(divergence) （）一個矢量場的散度是一個標量，可理解為穿過包圍單位體積的閉合表面的通量

15、。因此，人們也習慣地將散度稱為通量源密度。第31頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-32三種典型的散度值對于靜電場，在有電荷存在的點上，散度不為零。且散度大于零處具有正電荷，散度小于零處具有負電荷對于恒定磁場，因為不存在磁荷，散度必處處為零第32頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-33直角坐標系中的散度表示式 （）第33頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-34散度的基本公式注意：這些基本公式均與坐標系的類型無關。它們不但在直角坐

16、標系中成立，在其它坐標系中仍然成立。 其中， 為常矢； 為常數； 為標量函數， 為矢量函數。（）（）（）（）第34頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六例1.2.2 設 表示空間兩點 與 之間距離，試求 。電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-35解：第35頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-36值得提醒注意的一點是：在上述計算中，需假設距離R不等于零。否則，函數(1/R)將出現奇異點。在第3章討論鏡像法時（3.7節）將會證明：但是即（）（）第36頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1

17、章 矢量分析1-371.2.4 矢量場的環量和旋度環量 矢量場沿空間一條閉合曲線的線積分。1. 矢量場的環量（circulation）（）矢量場的環量是一個標量用來描述一個矢量場的旋渦特性。大小和正負取決于矢量場的分布以及該閉合曲線積分的環繞方向。第37頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-38旋度在某一方向上的投影2. 矢量場的旋度（rotation或curl）矢量場的旋度 或 大小等于該點最大的環量密度，方向為取得最大環量密度的那塊小面積的法線方向環量密度矢量沿閉合曲線的環量與小面積之比的極限,其大小與矢量的分布和閉合曲線的方向有關。（

18、）第38頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-39不同閉合路徑位置情況下的環量第39頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六39電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-40直角坐標系中旋度的推導 （）第40頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-41直角坐標系中的旋度表示式 （）（）第41頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-42旋度的基本公式注意：這些基本公式均與坐標系類型無關。它們不但在直角坐標系中成立，在其它坐標系中仍

19、然成立 其中， 為常矢； 為常數； 為標量函數， 為矢量函數（）（）（）（）第42頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六例1.2.3 試證明： 。電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-43證明：第43頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-441.2.5 梯度、散度、旋度的比較一個標量函數的梯度是一個矢量函數，它描述了空間各點標量位的最大變化率及其方向；一個矢量函數的散度是一個標量函數，它描述了空間各點場矢量與通量源之間的關系；一個矢量函數的旋度是一個矢量函數，它描述了空間各點場矢量與旋渦源之間的關系。只有當場函數具有連續一階

20、偏導數時，梯度、散度、旋度的定義才是有意義的。在某些場量不連續的交界面上，就不可能定義梯度、散度和旋度。第44頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-45第45頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-46矢量場的“源”有兩種，建立散度的通量源和建立旋度的旋渦源。要使矢量場是非零場，則必存在產生這種場的一種源。非零矢量場不可能既是無源場又是無旋場若一個矢量場的散度處處為零，就不存在通量源，該矢量場稱為無源場(恒定磁場)。若一個矢量場的旋度處處為零，就不存在旋渦源，該矢量場稱為無旋場(靜電場)。

21、存在通量源的矢量場為有源場。在源區，該矢量場散度不為零；在非源區，該場散度仍然可以為零。存在旋渦源的矢量場為有旋場，但該場旋度僅在旋渦源所在空間點上不為零，在其它點上仍然可以為零。第46頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-471.3 矢量的恒等式和基本定理大部分矢量恒等式和矢量基本定理都可通過直接計算來證明。為簡單起見，可在直角坐標系中證明，對其它正交坐標系，也都是成立的。1.3.1 三個重要的恒等式（）（）（）第47頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-48恒等式 的意義任何一個標量

22、函數的梯度的旋度必等于零。任何一個梯度場必然為無旋場，而任何一個無旋場也必為有位場。例如靜電場。恒等式 的意義任何一個矢量函數的旋度的散度必等于零。任何一個旋度場必為無源場，而任何一個無源場必為有旋場。例如恒定磁場。第48頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-49拉普拉斯（Laplace）算子在直角坐標系中的拉普拉斯算子例如對于其它坐標系（）但（）第49頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-501.3.2 矢量場的基本定理高斯(Gauss)散度定理矢量場穿過空間任一閉合曲面的通量等于該矢

23、量的散度在曲面所包圍體積內的體積分。證明：將體積分割成 N 個的小體積（）第50頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-51斯托克斯（Stokes）定理 矢量場沿空間任一閉合曲線的環量等于該矢量場的旋度穿過以閉合曲線作為邊界曲線的任一開放曲面的通量。證明：將該曲面剖分為N 個小面積（）第51頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-52格林（Green）第一定理或格林第一恒等式這個定理可以通過令 ，利用高斯散度定理證明。格林（Green）第二定理或格林第二恒等式（）（）（）（）第52頁，共67

24、頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-53證明：采用反證法。假設同時存在兩個矢量場 和 ， 它們具有相同的散度和旋度以及邊界條件，即 令 則有唯一性定理若在區域 內矢量場 的散度 、旋度 以及在邊界面 上的切向分量 或(法向分量 )已給定，則矢量場在該區域內的解是唯一的。由矢量恒等式和格林定理，可證明要滿足上述兩式，必有得證。第53頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-54亥姆霍茲(Helmholtz)定理空間有限區域 內任一矢量場 均可以表示為一個無源場 (即 或 )和一個無旋場 (即 或 )之

25、和， 即（）（）（）第54頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-55亥姆霍茲定理的一個特例空間區域為無限大，而場源卻分布在一個有限區域內。在這種情況下，如假設矢量場在無限遠處以足夠快的速度減弱至零，即則有在無限大空間中，只要知道矢量場的散度和旋度，就能將其定量地確定下來。既無源又無旋的場是不存在的。（）（）（）（）第55頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-561.4 常用正交曲線坐標系正交曲線坐標系三個坐標面均為一般的曲面。任意兩坐標面的交線為第三個坐標變量的坐標軸，一般為曲線。空間任

26、一點有三個坐標軸通過，坐標軸上的單位矢量相互正交且符合右手螺旋法則。這三個單位矢量的方向隨空間點位置的不同而變化。正交曲線坐標系的類型很多, 已出現的有 10 多種。除直角坐標系這種特殊的正交曲線坐標系以外，其它還有圓柱、球面、橢圓柱、拋物柱等正交曲線坐標系。常用的就是直角坐標系，圓柱坐標系和球面坐標系。第56頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-571.4.1 三種常用的正交坐標系直角坐標系 （方向矢量）直角坐標系中的長度元、面積元和體積元（1.4. 1）（1.4. 2）（1.4. 3）第57頁，共67頁，2022年，5月20日，0點5分，星期六電磁場與電磁波理論第1章 矢量分析1-58圓柱坐標系 （方向矢量） 圓柱坐標系中的長度元、面積元和體積元（1.4