1、電磁感應(yīng)和電磁波例題第1頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五例16.1 如圖所示,用一根硬導(dǎo)線彎成半徑為r的一個(gè)半圓.使這根半圓形導(dǎo)線在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以頻率f旋轉(zhuǎn),整個(gè)電路的電阻為R,求感應(yīng)電流的表達(dá)式和最大值.分析:rG電路中的半圓在做切割磁感線的運(yùn)動(dòng),穿過(guò)回路的磁通量在發(fā)生變化,半圓中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).解答:連接半圓的兩端,構(gòu)成閉合回路ACBA.ABC設(shè)某時(shí)刻t,半圓ACBA平面的法向與磁場(chǎng)的夾角為,則穿過(guò)ACBA的磁通量為據(jù)電磁感應(yīng)定律有第2頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五若設(shè)初始時(shí)刻,半圓ACBA平面的法向與磁場(chǎng)的夾角為0,即回路的

2、環(huán)繞方向?yàn)轫槙r(shí)針(ACB A).則而對(duì)閉合回路ACBA來(lái)說(shuō),輔助線BA不產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì).于是得到半圓中產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)即為易知電路中的感應(yīng)電流為可見(jiàn)電路的電流隨時(shí)間做正弦變化.在圖中位置時(shí),電流沿順時(shí)針.感應(yīng)電流的最大值為第3頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五例16.2 有兩根相距為d的無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線.它們通以大小相等流向相反的電流,且電流均以dI/dt的變化率增長(zhǎng).若有一邊長(zhǎng)為d的正方形線圈與兩導(dǎo)線處于同一平面內(nèi),如圖所示.求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).OXIIxdxx分析:長(zhǎng)直導(dǎo)線中的電流發(fā)生變化,其周圍的磁場(chǎng)也發(fā)生改變,那么穿過(guò)矩形線圈的磁通量就隨時(shí)間改變,線圈中就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)

3、勢(shì).解答:建立如圖坐標(biāo)系,并在x處取寬為dx的矩形面元.矩形面元處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為向里為正向第4頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五若取矩形面元的法向也向里.則穿過(guò)面元的磁通量為穿過(guò)整個(gè)矩形回路的磁通量為根據(jù)電磁感應(yīng)定律得到電動(dòng)勢(shì)為正,說(shuō)明與矩形平面法向成右手螺旋關(guān)系,即沿順時(shí)針.當(dāng)然也可根據(jù)楞次定律來(lái)判斷.第5頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五例16.3 如圖所示,把一半徑為R的半圓形導(dǎo)線OP置于磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中,當(dāng)導(dǎo)線以速率v水平向右平動(dòng)時(shí),求導(dǎo)線中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小,哪一端電勢(shì)高?d解答1:建立如圖坐標(biāo)系,并在導(dǎo)線上取線元 ,其產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為

4、由于線元運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)垂直,而二者叉乘方向沿Y軸,所以得到整個(gè)半圓導(dǎo)體中產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為EOP為正,說(shuō)明電動(dòng)勢(shì)方向從O指向P,即P端電勢(shì)較高.第6頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五分析:此題也可用電磁感應(yīng)定律來(lái)解決.使用電磁感應(yīng)定律的前提是,要求得穿過(guò)一個(gè)面的磁通量,這就必然要求導(dǎo)體為閉合回路.但本題中運(yùn)動(dòng)的半圓形導(dǎo)體并不是閉合的,這時(shí)可以做輔助線,構(gòu)成閉合回路.解答2:連接OP,構(gòu)成閉合回路OPAO由于整個(gè)回路在磁場(chǎng)中一起運(yùn)動(dòng),顯然穿過(guò)回路所在平面的磁通量保持不變.根據(jù)電磁感應(yīng)定律有即整個(gè)回路中產(chǎn)生的總電動(dòng)勢(shì)為0.所以半圓導(dǎo)體產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)應(yīng)與直徑OP中的相等.即有容易判斷

5、方向從O指向P第7頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五例16.4 如圖所示,長(zhǎng)為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒OP,處于均勻磁場(chǎng)中,并繞OO軸以角速度旋轉(zhuǎn),棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為,磁感強(qiáng)度B與轉(zhuǎn)軸平行.求OP棒在圖示位置處的電動(dòng)勢(shì).解答1:在導(dǎo)體棒OP上取線元其中產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為而由圖示可知,線元運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)垂直,二者叉乘方向與轉(zhuǎn)軸垂直.所以導(dǎo)體棒OP上產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為EOP為正值,說(shuō)明電動(dòng)勢(shì)方向由O指向P,即P端電勢(shì)較高.第8頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五解答2:此問(wèn)題也可用電磁感應(yīng)定律來(lái)解決.做輔助線構(gòu)成OPQO閉合回路.由于閉合回路OPQO所在平面始終與磁場(chǎng)平行(平面

6、法向與磁場(chǎng)垂直),所以由電磁感應(yīng)定律知,閉合回路OPQO中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為0.即即有所以第9頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五例16.5 如圖所示,金屬桿AB以勻速v=2.0m/s平行于一長(zhǎng)直導(dǎo)線移動(dòng),此導(dǎo)線通有電流I=40A.問(wèn):此桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為多大?哪一端的電勢(shì)高?IABO解答1:建立如圖坐標(biāo)系,并在導(dǎo)體棒AB上取線元其中所產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為根據(jù)圖示,可以得到又因?yàn)樗訣AB為負(fù)值,說(shuō)明電動(dòng)勢(shì)方向由B指向A,即A端電勢(shì)較高.第10頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五CD解答2:IABdxOy做一U字形輔助線,與AB棒構(gòu)成閉合回路ABCDA.建立如圖坐

7、標(biāo)系,并設(shè)在某時(shí)刻AB棒的位置為y.在閉合回路ABCDA所在平面,取面元ds,則穿過(guò)其中的磁通量為穿過(guò)閉合回路ABCDA總的磁通量為由電磁感應(yīng)定律得到閉合回路ABCDA中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為由于BC,CD,DA都靜止,故有第11頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五例16.6 如圖所示,在無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線的近旁,放置一矩形導(dǎo)體線框,該線框在垂直于導(dǎo)線方向上以勻速率v向右運(yùn)動(dòng),求在圖示位置處,線框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向.解答1:由于矩形框efgh所在平面與磁場(chǎng)(長(zhǎng)直載流直線產(chǎn)生的)垂直,ef與直導(dǎo)線平行,且做平動(dòng),故知ef邊各處的磁場(chǎng)都相等.所以同理可得線框efghe中總電動(dòng)勢(shì)為方

8、向?yàn)轫槙r(shí)針E=BLv垂直,平動(dòng),均勻第12頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五解答2:穿過(guò)線框efghe的磁通量為線框中的電動(dòng)勢(shì)為電動(dòng)勢(shì)E為正,說(shuō)明與回路環(huán)繞方向一致,即順時(shí)針?lè)较?線框在圖中位置時(shí),有所以O(shè)Xdx第13頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五例16.7 如圖所示,在半徑為R的圓柱形空間中存在著均勻磁場(chǎng),B的方向與柱的軸線平行.有一長(zhǎng)為l的金屬棒放在磁場(chǎng)中,設(shè)B隨時(shí)間的變化率dB/dt為常量.試證棒上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為OROPQ證明1:連接OP,OQ,構(gòu)成閉合回路PQOP.易求得其面積為穿過(guò)其中的磁通量為根據(jù)電磁感應(yīng)定律得到閉合回路PQOP

9、中的電動(dòng)勢(shì)為第14頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五OROPQ由于磁場(chǎng)具有軸對(duì)稱性,變化時(shí)產(chǎn)生的感生電場(chǎng)也具有相應(yīng)的軸對(duì)稱性:感生電場(chǎng)線是以磁場(chǎng)中心軸為圓心的一系列同心圓.這樣,在半徑QO和OP上,線元與感生電場(chǎng)處處垂直,即所以于是可知EPQ為正值,說(shuō)明電動(dòng)勢(shì)方向由P指向Q,即Q端電勢(shì)較高.第15頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五OROPQ證明2:在導(dǎo)體棒OP上任取一線元由于磁場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性,產(chǎn)生的感生電場(chǎng)也具有相應(yīng)的軸對(duì)稱性.于是過(guò)線元,以O(shè)為圓心作一個(gè)圓,并設(shè)環(huán)繞方向沿逆時(shí)針.根據(jù)感生電場(chǎng)的環(huán)路定理即有于是得到方向與回路環(huán)繞方向一致,即沿逆時(shí)

10、針.根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的定義,可得第16頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五例16.8 有兩根半徑均為a的平行長(zhǎng)直導(dǎo)線，它們中心距離為d。試求長(zhǎng)為l的一對(duì)導(dǎo)線的自感。（導(dǎo)線內(nèi)部的磁通量可略去不計(jì)）XIIO第17頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五解：兩平行長(zhǎng)直導(dǎo)線可以看成是無(wú)限長(zhǎng)但寬度為d的矩形回路的一部分。設(shè)在回路中通有逆時(shí)針?lè)较虻碾娏鱅，然后計(jì)算圖中陰影部分的磁通量。該區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)可以看成兩無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線分別在該區(qū)域產(chǎn)生的磁場(chǎng)的疊加。XIIOxdx第18頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五例16.9 如圖所示，在一柱形紙筒上繞有兩組相同線圈

11、AB和，每個(gè)線圈的自感均為L(zhǎng)，求：（1）A和 相接時(shí)，B和 間的自感 L1；（2） 和 B相接時(shí)，A和 間的自感L2。 第19頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五解：（1）當(dāng)A和A連接時(shí)，AB和AB線圈中的電流流向相反，且由于兩線圈緊密結(jié)合，通過(guò)回路的磁通量也相反，故穿過(guò)大回路的總通量為：（2）當(dāng)A和B連接時(shí)，AB和AB線圈中的電流流向相同，且由于兩線圈緊密結(jié)合，通過(guò)回路的磁通量也相同.r若一個(gè)線圈單獨(dú)存在時(shí)磁通量為,則穿過(guò)大回路的總通量為：可參閱趙凱華的電磁學(xué)下冊(cè)第五章“兩個(gè)線圈串連的自感系數(shù)”內(nèi)容。第20頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五例16.10 如圖所示，兩同軸單匝線圈 A、C的半徑分別為R和r，兩線圈相距為d。若r很小，可認(rèn)為線圈A在線圈C處所產(chǎn)生的磁場(chǎng)是均勻的。求兩線圈的互感。若線圈C的匝數(shù)為N匝，則互感又為多少？ACdRr第21頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)51分，星期五ACdRr解：設(shè)線圈A中有電流I通過(guò)，它在線圈C所包圍的平面內(nèi)各點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度近似為：穿過(guò)C線圈的磁鏈為：則兩線圈的互感為：若線圈C的匝數(shù)為N匝，則互感為上述值的N倍。第22頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月2