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文檔簡介

1、北京大學數學學院期中試題 20142015學年第二學期考試科目 高等代數II 考試時間 201姓 名 學 號 一（23分）記 A =, B =. 設 S : X a A X X B是2級方陣空間M 2 ( Q ) 到自身的線性映射. 1) 求 Im S 的維數 r 與一組基 1 , r , 以及 1 , r M 2 ( Q ) , 使得S 1 = 1 , S r = r ;2) 求 Ker S 的一組基 r + 1 , , 4 ; 3) 證明: 1 , , r , r + 1 , , 4 構成M 2 ( Q )的基底.二（15分）設 f ( x ) = x 3 x + 2 , g( x ) =

2、 x 2 + 1 Q x .證明: ( f ( x ) , g( x ) ) = 1 ;求u( x ) , v( x )Q x , 使得u( x ) f ( x ) + v( x ) g( x ) = 1 ;求一個次數 4的多項式h( x )Q x , 使得h( x ) 被f ( x ) 除余 4 x , 被g ( x ) 除余 4 . 三（12分） 判斷以下多項式在Q上是否可約; 若可約, 求因式分解.1) f ( x ) = x 5 x + 2 ; 2) g ( x ) = x 5 + 9 x 4 26 x 2 + 3 .四（14分）設1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 依次是A

3、= 的列向量. 設 U = , W = 是Q4 的子空間. 1 ) 求 U + W 與 U W 的維數與基底; 2 ) 在商空間Q4/ W中, 判斷向量組1 + W, 2 + W, 3 + W能否線性表出 + W , 這里 = 0 1 1 1 T. 若可以, 求所有表出系數.五（10分）已知 A , B是線性空間V上的線性變換, 滿足條件A B = BA . 證明: 1) 對任意Im B , 有A Im B ;2) 對任意Ker B , 有A Ker B . 六（14分）設 q , q, q是 f ( x ) = x 3 3 x + 1 的三個復根. 1) 求 f ( x )的判別式 ( q q )2 ( q q )2 ( q q )2 ; 2) 求所有3元組 ( a , b , c )Q3 , 使得 f ( a q 2 + b q + c ) = 0 . 七.（12分）判斷對錯. 正確的請給出證明, 錯誤的請舉出反例. 1) 設A是有限維實線性空間V到自身的線性變換. 若V = Im A Ker A , 則A一定滿足A = A2 . 2) 若非零多項式

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