龍巖市一級校聯盟2024—2025學年第二學期半期考聯考高二數學試題（考試時間：120分鐘總分：150分）注意事項：1．考生將自己的姓名、準考證號及所有的答案均填寫在答題卡上．2．答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設函數滿足，則（）A．1 B．2 C． D．32．已知，，不共面，若，，且A，B，C三點共線，則（）A． B．1 C．2 D．33．下列導數運算正確的是（）A． B．C． D．4．若直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則l與所成的角為（）A． B． C．或 D．或5．某中學體育運動會上，甲、乙兩人進行乒乓球項目決賽，采取“三局兩勝制”，即先勝兩局者獲得冠軍．已知甲每局獲勝的概率為，且比賽沒有平局．記事件A表示“甲獲得冠軍”，事件B表示“比賽進行了三局”，則（）A． B． C． D．6．給出下列四個圖象：函數的大致圖像可以是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④7．給定事件A，B，C，且，現有下列結論：①若，且A，B互斥，則A，B不可能相互獨立；②若，則A，B，C兩兩獨立；③若，則A，B相互獨立；④若，則A，B互為對立事件．其中正確的結論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個8．若，，，則（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．若函數在上單調遞減，則實數a的值可能為（）A． B． C．3 D．410．已知為隨機試驗的樣本空間，事件A，B滿足，，則下列說法正確的是（）A．若，且，，則B．若，且，，則C．若，，則D．若，，，則11．在棱長為1的正方體中，下列說法正確的是（）A．若動點M是內部一點（含邊界，除點外），則對任意M，都有平面B．若P，Q分別為，的中點，則平面BPQ截該正方體所得的截面周長為C．若動點M滿足，則的最小值是D．若動點M在AC上，點N在上，則的最小值為第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．若隨機事件A，B相互獨立，，，則__________．13．如圖，在三棱錐中，G為的重心，，，，，，若PG交平面DEF于點M，且，則的最小值為__________．14．已知且，若函數有且僅有兩個零點，則實數a的取值范圍是__________．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為矩形，E，F分別為PA，CD的中點．（1）證明：平面PBF．（2）若，，求直線PD與平面PBF所成角的正弦值．16．（本題滿分15分）已知函數，．（1）若曲線在處的切線與直線相互垂直，求m的值；（2）若，求的極值．17．（本題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，側面底面ABCD，，，且E，F分別為PC，CD的中點．（1）證明：．（2）若直線PF與平面PAB所成的角為，求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．18．（本題滿分17分）甲、乙兩人進行知識問答比賽，共進行多輪搶答賽，每輪比賽中有3道搶答題，每道題均有人搶答，其計分規則如下：初始甲、乙雙方均為0分，答對一題得1分，答錯一題得分，未搶到題得0分，最后總分累計多的人獲勝．假設甲、乙搶到每題的成功率相同，且甲、乙每題答題正確的概率分別為和．（1）求甲在一輪比賽中獲得1分的概率；（2）求甲在每輪比賽中獲勝的概率；（3）求甲前三輪累計得分恰為6分的概率．19．（本題滿分17分）已知定義在區間D上的函數，，若，，存在一個正實數M，滿足，則稱是的“M—陪伴函數”．（1）已知，判斷函數是否為函數的“M—陪伴函數”，并說明理由；若是，求M的最小值．（2）證明：在同一給定閉區間上的函數是函數的“M—陪伴函數”．（3）已知，若函數是函數的“3—陪伴函數”，求實數m的取值范圍．龍巖市一級校聯盟2024－2025學年第二學期半期考聯考高二數學參考答案題號1234567891011答案DADBCDCDBCDACDBCD12．0.58 13． 14．11．【詳解】對于選項A，當M運動到B點時，易知不垂直于，所以不垂直于平面，故A錯誤．對于選項B，如圖，作直線PQ分別與直線，CD交于點S，T，連接BS交于點E，達接BT交AD于點F，連接QF，PE，則五邊形BEPQF即截面．由題意得為等腰直角三角形，，由，得，則，，所以，，同理可得，．因為P，Q分別為，的中點，所以，則截面周長為，故B正確．對于選項C，由，得平面上點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，空間中點M的軌跡是球面，球心O在直線AC上，，半徑R為，所以的最小值為，故C正確．對于選項D，的最小值即異面直線AC和的距離，以D為坐標原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系（圖略）．設為直線AC和的法向量，又因為，，，則令，則，所以異面直線AC種的距離為，即的最小值為，故D正確．故選BCD．14．【詳解】略15．【詳解】（1）如圖，取PB的中點G，連接EG，GF．，G分別是PA，PB的中點，，且．，且，，四邊形EGFD為平行四邊形，．又平面PBF，平面PBF，平面PBF．（2）以A為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，，．設平面PBF的法向量為，則取，則，則，直線PD與平面PBF所成角的正弦值為．16．【詳解】（1），則．則，依題意得，所以．（2）當時，的定義域為，則，當時，，當時，，因此在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得極小，無極大值．17．【詳解】（1）如圖，取PB的中點M，連接AM，EM．因為E為PC的中點，所以，．又因為，，所以，，所以四邊形ADEM為平行四邊形，則．因為，，所以．因為平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAB．又平面PAB，所以，又，所以．（2）由（1）知平面PAB．取AB的中點G，連接FG，PG，則，所以平面PAB，所以PF與平面PAB所成的角為，即．又因為，所以．又因為，所以．以G為坐標原點，GB，