1、導熱基本定律及穩態導熱講義第1頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三2第四章導熱的理論基礎及計算4-1 導熱的基本概念和定律4-2 導熱微分方程4-3 初始條件和邊界條件4-4 熱擴散率4-5 一維穩態導熱4-6 通過肋片的導熱分析第2頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三3一、溫度場1. 溫度場：各時刻物體中各點溫度分布稱為溫度場，它是時間和空間坐標的函數 ，記為：t為溫度; x,y,z為空間坐標; t-時間 4-1 導熱的基本概念和定律第3頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三穩態溫度場 穩態導熱（Steady-state conduc

2、tion）非穩態溫度場 非穩態導熱（Transient conduction）三維穩態溫度場： 一維穩態溫度場: 第4頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三52.等溫面與等溫線：等溫面：溫度場中同一瞬時溫度相同各點連成的面。第5頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三6等溫線：用一個平面與各等溫面相交，在這個平面上得到一個等溫線簇等溫面與等溫線的特點：(1) 溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交(2) 在連續的溫度場中，等溫面或等溫線不會終止，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止于物體的邊界上(3)物體的溫度通常用等溫面或等溫線表示。第6頁，共5

3、5頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三7等溫線的疏密可反映出不同區域導熱熱流密度的大小。如圖所示是用等溫線圖表示溫度場的實例。第7頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三8二、導熱基本定律1、傅立葉定律定義：在導熱現象中，單位時間內通過單位截面積的導熱量正比于垂直于截面方向上的溫度變化率，而熱量傳遞的方向與溫度升高的方向相反。數學表達式：負號表示熱量傳遞的方向指向溫度降低的方向第8頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三9（負號表示熱量傳遞方向與溫度升高方向相反） 傅里葉定律用熱流密度表示： 其中 熱流密度(單位時間內通過單位面積的熱流量) 物體溫度沿

4、 x 軸方向的變化率 第9頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三102.溫度梯度（Temperature gradient）是空間某點的溫度梯度； 是通過該點等溫線上的法向單位矢量，指向溫度升高的方向； 是該處的熱流密度矢量。 式中：第10頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三11熱流線 ：熱流線是一組與等溫線處處垂直的曲線，通過平面上任一點的熱流線與該點的熱流密度矢量相切。熱流密度矢量與熱流線的關系：相鄰兩個熱流線之間所傳遞的熱流密度矢量處處相等，構成一熱流通道。 3、溫度梯度與熱流密度矢量的關系第11頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期

5、三12三、導熱系數（ Thermal conductivity ）定義 :導熱系數在數值上等于單位溫度梯度作用下單位時間內通過單位面積的熱量。w/(mk) 導熱系數:物性參數.導熱系數的數值取決于物質種類與溫度等因素。第12頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三13物質導熱性能比較：保溫材料：導熱系數小的材料稱為保溫材料。國家標準：凡平均溫度不高于350導熱系數不大于0.12w/(m.k)的材料稱為保溫材料。 第13頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三14同一種物質的導熱系數也會因其狀態參數的不同而改變，因而導熱系數是溫度和壓力的函數。 一般把導熱系數僅僅

6、視為溫度的函數，而且在一定溫度范圍還可以用一種線性關系來描述 第14頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三154-2 導熱微分方程一維導熱問題：根據傅立葉定律積分，可獲得用兩側溫差表示的導熱量。 多維導熱問題：首先獲得溫度場的分布函數，然后根據傅立葉定律求得空間各點的熱流密度矢量。第15頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三16定義：根據能量守恒定律與傅立葉定律，建立導熱物體中的溫度場應滿足的數學表達式，稱為導熱微分方程。 導熱微分方程的數學表達式 ：導熱微分方程的推導，假定導熱物體是各向同性的。 導熱微分方程 理論基礎：能量守恒定律與傅立葉定律 第16頁，

7、共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三17 導熱微分方程式通過空間任一點任一方向的熱流量也可分解為 x 、 y 、 z 坐標方向的分熱流量。第17頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三18 導熱微分方程式 通過 x-x 、 y-y 、 z-z ，三個微元表面而導入微元體的熱流量：x 、y 、z 的計算。 根據傅立葉定律得 (a)第18頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三19 導熱微分方程式 通過 x+dx 、 y+dy 、 z+dz 三個微元表面而導出微元體的熱流量x+dx 、y+dy 、z+dz 的計算。根據傅立葉定律得： (b)第19頁，

8、共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三20 導熱微分方程式 對于任一微元體根據能量守恒定律，在任一時間間隔內有以下熱平衡關系： 導入微元體的總熱流量 + 微元體內熱源的生成熱 = 導出微元體的總熱流量 + 微元體熱力學能（內能）的增量 （C）第20頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三21 導熱微分方程式微元體熱力學能的增量=微元體內熱源的生成熱=其中 微元體的密度、比熱容、單位時間內單位體積內熱源的生成熱及時間。第21頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三22導入微元體的總熱流量導出微元體的總熱流量 導熱微分方程式第22頁，共55頁，2022

9、年，5月20日，19點9分，星期三23將以上各式代入熱平衡關系式，并整理得： 這是笛卡爾坐標系中三維非穩態導熱微分方程的一般表達式。 物理意義：物體的溫度隨時間和空間的變化關系。 導熱微分方程式第23頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三241）對上式化簡： 導熱系數為常數 式中， ，稱為熱擴散率。導熱系數為常數 、無內熱源（傅里葉方程） 導熱微分方程式第24頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三25 導熱微分方程式導熱系數為常數 、穩態（泊松方程） 導熱系數為常數 、穩態 、無內熱源（拉普拉斯方程） 第25頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，

10、星期三26 導熱微分方程式1）圓柱坐標系中的導熱微分方程： 2）球坐標系中的導熱微分方程： 第26頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三27 導熱微分方程式說明： （ 1 ）導熱問題仍然服從能量守恒定律； （ 2 ）等號左邊是單位時間內微元體熱力學能的增量（非穩態項）； （ 3 ）等號右邊前三項之和是通過界面的導熱使微元體在單位時間內增加的能量 ( 擴散項 ) ； （ 4 ）等號右邊最后項是源項；（ 5 ）若某坐標方向上溫度不變，該方向的凈導熱量為零，則相應的擴散項即從導熱微分方程中消失。 第27頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三28導熱過程的單值性條件

11、：對特定的導熱過程：需要得到滿足該過程 的唯一解單值性條件：確定唯一解的附加說明條件單值性條件包括四項：幾何、物理、時間、邊界完整數學描述：導熱微分方程 + 單值性條件4-3 初始條件和邊界條件第28頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三1、幾何條件如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等說明導熱體的幾何形狀和大小2、物理條件如：物性參數 l、c 和 r 的數值，是否隨溫度變化；有無內熱源、大小和分布；是否各向同性說明導熱體的物理特征3、時間條件穩態導熱過程不需要時間條件 與時間無關說明在時間上導熱過程進行的特點對非穩態導熱過程應給出過程開始時刻導熱體內的溫度分布時間條件又稱為初始條件

12、（Initial conditions）第29頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三、邊界條件說明導熱體邊界上過程進行的特點反映過程與周圍環境相互作用的條件邊界條件一般可分為三類：第一類、第二類、第三類邊界條件（Boundary conditions）（1）規定了邊界上的溫度值，稱為第一類邊界條件。對于非穩態導熱，這類邊界條件要求給出以下關系式：第30頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三（2）規定了邊界上的熱流密度值，稱為第二類邊界條件。對于非穩態導熱，這類邊界條件要求給出以下關系式：（3）規定了邊界上物體與周圍流體間的表面傳熱系數及周圍流體的溫度，稱為第

13、三類邊界條件。第三類邊界條件可表示為第31頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三若 l 為常數：熱擴散率 反映了導熱過程中材料的導熱能力（ l ）與沿途物質儲熱能力（ r c ）之間的關系 值大，即 l 值大或 r c 值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內各部分溫度趨向于均勻一致的能力4-4 熱擴散率：第32頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三33一維、穩態、常物性、無內熱源情況，考察平板和圓柱內的導熱。一、單層平壁的導熱幾何條件：單層平板； 物理條件：、c、 常數；無內熱源 時間條件：穩

14、態導熱 邊界條件：第一類ot1tt24-5 一維穩態導熱第33頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三34xot1tt2直接積分，得：根據上面的條件可得：第一類邊條件：帶入邊界條件線性關系第34頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三35熱阻分析法適用于一維、穩態、無內熱源的情況帶入Fourier 定律第35頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三36二、多層平壁的導熱t1t2t3t4t1t2t3t4三層平壁的穩態導熱多層平壁：由幾層不同材料組成第一類邊界條件：熱阻：第36頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三37由熱阻分析法第

15、一層： 第二層：第 i 層： 第37頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三38單位：tf1t2t3tf2t1t2t3t2三層平壁的穩態導熱h1h2多層、第三類邊界條件第38頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三39 通過多層平壁的導熱第39頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三40三、單層圓筒壁的導熱圓柱坐標系：假設單管長度為l，圓筒壁的外半徑小于長度的1/10一維、穩態、無內熱源、常物性：(a)第一類邊界條件第40頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三41對方程(a)積分兩次:溫度呈對數曲線分布第41頁，共55頁，202

16、2年，5月20日，19點9分，星期三42圓筒壁內溫度分布：第42頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三43圓筒壁內部的熱流密度和熱流分布:雖然此時為穩態情況，但熱流密度 q 與半徑 r 成反比！長度為 l 的圓筒壁的導熱熱阻第43頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三44四、n層圓筒壁由不同材料構成的多層圓筒壁，其導熱熱流量可按總溫差和總熱阻計算第44頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三45單層圓筒壁，第三類邊界條件，穩態導熱h1h2 通過單位長度圓筒壁傳熱過程的熱阻 mK/W第45頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三

17、46 通過多層圓筒壁的導熱第46頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三47對于穩態、無內熱源、第一類邊界條件下的一維導熱問題，可以不通過溫度場而直接獲得熱流量。此時，一維Fourier定律：五、其它變面積或變導熱系數問題求解導熱問題的主要途徑分兩步：求解導熱微分方程，獲得溫度場根據Fourier定律和已獲得的溫度場計算熱流量 第47頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三48當 隨溫度呈線性分布時，即 則分離變量后積分，當 時，第48頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三491 通過等截面直肋的導熱l已知：矩形直肋肋跟溫度為t0，且t0 t肋

18、片與環境的表面傳熱系數為 h.l，h和Ac均保持不變(Ac-截面積)求：溫度場 t 和熱流量 F六、 通過肋片的導熱第49頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三分析：嚴格地說，肋片中的溫度場是三維、穩態、無內熱 源、常物性、第三類邊條的導熱問題。但由于三維 問題比較復雜，故此，在忽略次要因素的基礎上， 將問題簡化為一維問題。簡化：a 寬度 l d 且肋片寬度方向溫度均勻 b l 大、d H，認為溫度沿厚度方向均勻邊界：肋根：第一類；肋端：絕熱；四周：對流換熱第50頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三51能量守恒：Fourier 定律：Newton冷卻公式：關于溫度的二階非齊次常微分方程第51頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三52導熱微分方程：混合邊界條件：引入過余溫度 。 令則有：第52頁，共55頁，2022年，5月20日，19點9分，星期三方程的通解為：應用邊界條件可得：最后可得等截面內的過余溫度分布：雙曲余弦函數雙曲正切函數雙曲正弦函數第53頁，共55頁，2022年