1、平穩隨機過程分析第1頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三2本章要解決的問題 隨機信號是否也可以應用頻域分析方法? 傅里葉變換能否應用于隨機信號？ 相關函數與功率譜的關系 功率譜的應用 白噪聲的定義 第2頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三33.1 隨機過程的譜分析 一 預備知識1 付氏變換設x(t)是時間t的非周期實函數，且x(t) 滿足 在 范圍內滿足狄利赫利條件 絕對可積，即 信號的總能量有限，即 有限個極值有限個斷點斷點為有限值第3頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三4則 的傅里葉變換為： 其反變換為： 稱 為 的頻譜密度，也簡稱為頻

2、譜。包含：振幅譜 相位譜第4頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三52 帕塞瓦等式即能量譜密度3.1.1 實隨機過程的功率譜密度第5頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三6二 隨機過程的功率譜密度 應用截取函數 第6頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三7當x(t)為有限值時， 的傅里葉變換存在 應用帕塞瓦等式 除以2T取集合平均第7頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三8令 ，再取極限，交換求數學期望和積分的次序 功率Q 非負存在（1）Q為確定性值，不是隨機變量（2） 為確定性實函數。注意：第8頁，共57頁，2022年，5月20

3、日，7點3分，星期三9兩個結論： 1表示時間平均 若平穩2第9頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三10功率譜密度： 描述了隨機過程X(t)的 功率在各個不同頻率上的分布 稱為隨機過程X(t)的功率譜密度。 對 在X(t)的整個頻率范圍內積分，便可得到X(t)的功率。 對于平穩隨機過程，有： 第10頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三11例：設隨機過程 ，其中 皆是實常數， 是服從 上均勻分布的隨機變量，求隨機過程 的平均功率。 解：不是寬平穩的第11頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三12第12頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分

4、，星期三133.1.2 實平穩功率譜密度與自相關函數之間的關系 確定信號：隨機信號：平穩隨機過程的自相關函數功率譜密度。 1 維納辛欽定理 若隨機過程X(t)是平穩的，自相關函數絕對可積，則自相關函數與功率譜密度構成一對付氏變換，即：第13頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三14 第14頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三15推論：對于一般的隨機過程X(t)，有： 平均功率為： 利用自相關函數和功率譜密度皆為偶函數的性質，又可將維納辛欽定理表示成： 第15頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三163單邊功率譜 由于實平穩過程x(t)的自相關函

5、數 是實偶函數，功率譜密度也一定是實偶函數。有時我們經常利用只有正頻率部分的單邊功率譜。 第16頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三17例：平穩隨機過程的自相關函數為 ，A0， ，求過程的功率譜密度。 解：應將積分按 和 分成兩部分進行 第17頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三18例：設 為隨機相位隨機過程其中， 為實常數 為隨機相位，在 均勻分布。可以推導出這個過程為廣義平穩隨機過程，自相關函數為 求 的功率譜密度 。第18頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三19解：注意此時 不是有限值，即不可積，因此 的付氏變換不存在，需要引入 函數

6、。第19頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三20例：設隨機過程 ，其中 皆為常數， 為具有功率譜密度 的平穩隨機過程。求過程 的功率譜密度。 解： 第20頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三21平穩隨機過程功率譜密度的性質 一 、 功率譜密度的性質 1 功率譜密度為非負的,即 證明：2 功率譜密度是 的實函數 第21頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三223 對于實隨機過程來說，功率譜密度是 的偶函數，即證明：是實函數又第22頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三234 功率譜密度可積，即 證明：對于平穩隨機過程，有： 平穩

7、隨機過程的均方值有限第23頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三24二 譜分解定理 1 譜分解 在平穩隨機過程中有一大類過程，它們的功率譜密度為 的有理函數。在實際中，許多隨機過程的功率譜密度都滿足這一條件。即使不滿足，也常常可以用有理函數來逼近 。這時 可以表示為兩個多項式之比，即 第24頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三25 若用復頻率s來表示功率譜密度，那么，對于一個有理函數，總能把它表示成如下的因式分解形式： 第25頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三26 據平穩隨機過程的功率譜密度的性質，可以導出關于 的零、極點的如下性質：（1）

8、 為實數。 （2） 的所有虛部不為0的零點和極點都成復共軛出現。 （3） 的所有零、極點皆為偶重的。 （4） MN。 第26頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三272 譜分解定理 根據上面的性質，可將 分解成兩項之積，即： 其中（零極點在s上半平面）（零極點在s下半平面）且譜分解定理 此時第27頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三283 為有理函數時的均方值求法（1）利用 （2）直接利用積分公式 （3）查表法 （4）留數法 第28頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三29補充知識：留數定理 設為 復變量s的函數，且其繞原點的簡單閉曲線C反時針

9、方向上和曲線C內部只有幾個極點 則： 一階留數 二階留數 第29頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三30 上式積分路徑是沿著 軸，應用留數法時，要求積分沿著一個閉合圍線進行。為此，考慮沿著左半平面上的一個半徑為無窮大的半園積分。根據留數定理，不難得出第30頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三31功率譜密度和復頻率面 （只是記號相同，函數形式不同）第31頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三32例: 考慮一個廣義平穩隨機過程X(t)，具有功率譜密度 求過程的均方值解: 用復頻率的方法來求解。用 代入上式得用復頻率s表示得功率譜密度：第32頁，共

10、57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三33因式分解： 在左半平面內有兩個極點：-1和-3。于是可以分別計算這兩個極點的留數為： 故：第33頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三343.2 兩個實隨機過程的互功率譜密度一、互譜密度 考慮兩個平穩實隨機過程X(t)、Y(t)， 它們的樣本函數分別為 和 ，定義兩個截取函數 、 為：第34頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三35 因為 、 都滿足絕對可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在。在時間范圍 (-T，T)內，兩個隨機過程的互功率 為:（注意 、 為確定性函數，所以求平均功率只需取時間平均） 由于 、

11、的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對它們也適用，即:第35頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三36 注意到上式中， 和 是任一樣本函數，因此具有隨機性，取數學期望，并令 得： 第36頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三37 定義互功率譜密度為：則第37頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三38同理，有：且第38頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三39二、互譜密度和互相關函數的關系自相關函數 功率譜密度 F互相關函數 互譜密度 F 定義：對于兩個實隨機過程X(t)、Y(t)，其互譜密度 與互相關函數 之間的關系為 即第39頁，共5

12、7頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三40若X(t)、Y(t)各自平穩且聯合平穩，則有即結論：對于兩個聯合平穩(至少是廣義聯合平穩)的實隨機過程，它們的互譜密度與其互相關函數互為傅里葉變換。第40頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三41三、互譜密度的性質性質1：證明： （令 ） 第41頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三42性質2： 證明： （令 ） 同理可證第42頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三43性質3： 證明：類似性質2證明。性質4： 若X(t)與Y(t)正交，則有 證明：若X(t)與Y(t)正交，則 所以第43頁，共57

13、頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三44性質5： 若X(t)與Y(t)不相關，X(t)、Y(t)分別具有常數均值 和 ，則 證明： 因為X(t)與Y(t)不相關，所以（ ）第44頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三45性質6： 例：設兩個隨機過程X(t)和Y(t)聯合平穩，其互相關函數 為: 求互譜密度 ， 。第45頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三46解： 第46頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三473.3 白噪聲一、理想白噪聲定義：若N(t)為一個具有零均值的平穩隨機過程，其功率譜密度均勻分布在 的整個頻率區間，即 其中 為

14、一正實常數，則稱N(t)為白噪聲過程或簡稱為白噪聲。第47頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三48自相關函數為 自相關系數為 第48頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三49總結：（1）白噪聲只是一種理想化的模型，是不存在的。（2）白噪聲的均方值為無限大而物理上存在的隨機過程，其均方值總是有限的。（3）白噪聲在數學處理上具有簡單、方便等優點。第49頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三50二、限帶白噪聲1低通型定義：若過程的功率譜密度滿足 則稱此過程為低通型限帶白噪聲。將白噪聲通過一個理想低通濾波器，便可產生出低通型限帶白噪聲。第50頁，共57

15、頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三51低通型限帶白噪聲的自相關函數為第51頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三52圖3.11示出了低通型限帶白噪聲的 和 的圖形，注意，時間間隔 為整數倍的那些隨機變量，彼此是不相關的（均值為0，相關函數值為0）。第52頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三532. 帶通型帶通型限帶白噪聲的功率譜密度為 由維納辛欽定理，得到相應的自相關函數為 第53頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三54 帶通型限帶白噪聲的 和 的圖形 第54頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三55三、色噪聲 按功率譜度函數形式來區別隨機過程，我們將把除了白噪聲以外的所有噪聲都稱為有色噪聲或簡稱色噪聲。第55頁，共57頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三56小 結 1.隨機過程的時