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1、*第 7 章量子力學中的矩陣形式與表象變換 一、直角坐標系中的類比 取平面直角坐標系x1x2的基矢為e1和e2,長度為1，彼此正交 標積 我們將其稱之為基矢的正交歸一關系.平面上的任一矢量 可以用它們來展開A1、A2代表A在坐標系中的投影.稱為矢量A在坐標系x1x2中的表示.7.1 量子態(tài)的不同表象，么正變換 二、坐標系順時針轉(zhuǎn)動 現(xiàn)在將坐標系x1x2順時針方向轉(zhuǎn)動，得到 x1x2,其基矢為e1和e2,滿足在此坐標系中,矢量A表示成其中投影分量是 同一個矢量A在兩個坐標系中的表示有什么關系？根據(jù)(2)和(2)式上式分別用e1和 e2點乘,得表成矩陣的形式為或記為把A在兩坐標中的表示聯(lián)系起來的變

2、換矩陣 矩陣R的矩陣元是兩個坐標系的基矢之間的標積，它表示基矢之間的關系.故當R 給定，則任何一個矢量在兩坐標系間的關系也隨之確定. 三、變換矩陣的性質(zhì)變換矩陣R 具有下述性質(zhì)：是R的轉(zhuǎn)置矩陣真正交矩陣（實矩陣） 四、不同表象中基矢的關系量子態(tài)和力學量(算符)的不同表示形式,稱為表象。 形式上與此類似，在量子力學中，按態(tài)疊加原理，任何一個量子態(tài)，可以看成抽象的Hilbert空間中的一個“矢量”.體系的任何一組對易力學量完全集F的共同本征態(tài)，可以用來構成此空間的一組正交歸一完備的基矢（稱為F表象）對于任意態(tài)矢量y ，可以用它們展開 其中這一組數(shù) 就是態(tài)(矢)在F表象中的表示，它們分別是態(tài)矢y與各基矢的標積.與平常解析幾何不同的是：這里的“矢量”(量子態(tài))一般是復量；空間維數(shù)可以是無窮的，甚至不可數(shù)的.現(xiàn)在考慮同一個態(tài)y在另一組力學量完全集 F中的表示.F表象的基矢,即F的本征態(tài) ya ,它們滿足正交歸一性對于任意態(tài)矢量y ，可以用它們展開 這一組系數(shù) 就是態(tài)(矢)y在F表象中的表示，顯然(14)左乘(取標積),得與有何關系？其中 F表象基矢與F表象基矢的標積 (15)式也可以寫成矩陣的形式：簡記為 式(17)就是同一個量子態(tài)在F表象中的表示與它在F表象中表示的關系，它們通過

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