1、 幾何證明的思路與方法（一）寶山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院張波圖形與幾何的學(xué)習(xí)，幫助我們認(rèn)識(shí)了豐富多彩的幾何圖形、發(fā)展了我們的空間觀念、增進(jìn)了我們邏輯推理的意識(shí)與能力，并增強(qiáng)了運(yùn)用這些知識(shí)認(rèn)識(shí)世界與改造世界的能力。學(xué)習(xí)幾何離不開(kāi)幾何證明。幾何學(xué)是適合培養(yǎng)我們邏輯思維能力的絕好資源。但是，我們發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生害怕幾何，害怕幾何證明。原因之一是大家感到幾何證明似乎找不到一種通用的方法，不同的問(wèn)題常常需要不同的處理。我們很容易掌握解方程，因?yàn)樗鼈冇兄^為固定的處理程序。如解一個(gè)一元一次方程，我們只要按照“去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并、未知數(shù)的系數(shù)化為1”這樣的步驟，就可以求出一元一次方程的解。而幾何問(wèn)題的解決就很難

2、形成這樣的程序步驟，它常常需要我們根據(jù)具體的問(wèn)題做出具體的分析，才能找到解決問(wèn)題的路徑和方法。但這并不是說(shuō)幾何問(wèn)題的解決沒(méi)有規(guī)律。我們還是可以在實(shí)踐與反思的基礎(chǔ)上，整理、歸納出一些思考問(wèn)題的一般次序，這樣的思維序列可以指導(dǎo)我們面對(duì)幾何問(wèn)題如何去思考，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的辦法。下面我們就來(lái)一起梳理處理幾何證明問(wèn)題時(shí)值得總結(jié)的思維角度與思維次序。一、思路梳理：我們都知道，證明題的結(jié)構(gòu)基本上由“題設(shè)”和“結(jié)論”兩部分組成，通常的表現(xiàn)形式是“已知，求證。”這里的“已知”就是題設(shè)，或者稱為條件，“求證”就是結(jié)論。拿到一個(gè)幾何證明題，我們都是如何思考的呢？我們都思考什么？有哪些思考的角度？有沒(méi)有一個(gè)思考的次

3、序？很多同學(xué)可能會(huì)說(shuō)：“拿到一個(gè)幾何證明題，我要先弄清楚已知條件。”很好。那么，怎樣算是弄清楚了已知條件呢？你都做些什么事情去幫助自己弄清楚已知條件？同學(xué)們會(huì)說(shuō)：“我會(huì)把已知條件在圖上標(biāo)記出來(lái)。”這是一個(gè)不錯(cuò)的做法，在圖上做標(biāo)記。事實(shí)上，圖形是幾何證明題的一個(gè)重要組成部分。幾何問(wèn)題離不開(kāi)圖形，如果一個(gè)幾何問(wèn)題沒(méi)有相應(yīng)的圖形，我們首先要做的事情就是畫(huà)一張符合條件的圖形。又有同學(xué)說(shuō)：“我會(huì)思考條件的作用，由某些條件會(huì)推出些什么樣的結(jié)論。”這也是一個(gè)好的習(xí)慣，思考條件的可能作用。大家還會(huì)說(shuō)：“在清楚條件之后，我會(huì)從結(jié)論入手，進(jìn)行分析。”非常好！從結(jié)論入手，分析要證結(jié)論成立，需要證什么。不同的結(jié)論形式

4、，我們會(huì)有不同的想法。如“要證明線段相等，我們可能會(huì)想證明三角形全等、或者等角對(duì)等邊、或者平行四邊形對(duì)邊相等，還有線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，或者通過(guò)等量代換等等，最近，我們有時(shí)還會(huì)利用比例式去證明線段相等。”要證明某個(gè)結(jié)論成立，可能的路徑、方法有很多種。我們又如何選擇呢？大家可能會(huì)說(shuō)，這時(shí)要結(jié)合條件進(jìn)行判斷，也有的同學(xué)會(huì)說(shuō)，要看圖形，看圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，直覺(jué)判斷有怎樣的可能，或者排除某些方法。非常好！圖形結(jié)構(gòu)。這又是解決幾何問(wèn)題時(shí)，一個(gè)非常值得關(guān)注的部分。事實(shí)上，幾何離不開(kāi)圖形，圖形中蘊(yùn)含著重要的信息。對(duì)圖形及其結(jié)構(gòu)的整體感覺(jué)，我們可以稱為“圖感”。就像學(xué)習(xí)語(yǔ)言需要“語(yǔ)感”、學(xué)習(xí)音樂(lè)

5、需要“樂(lè)感”一樣，“圖感”對(duì)幾何學(xué)習(xí)也是非常重要的。我們?cè)趲缀螌W(xué)習(xí)過(guò)程中，要有意識(shí)地去積累、豐富和不斷完善我們的圖形感覺(jué)。比如，最近我們研究相似形有關(guān)內(nèi)容時(shí)，就提煉和總結(jié)了許多的圖形結(jié)構(gòu)。在我們優(yōu)化學(xué)習(xí)系列講座的前面幾講中，老師們?cè)偨Y(jié)過(guò)如下的一些基本圖形結(jié)構(gòu)：C看到這些基本的圖形結(jié)構(gòu)，我們就會(huì)非常迅速地做出與之相應(yīng)的反應(yīng)。立即想到可能有怎樣的線段成比例，或者某兩個(gè)三角形相似。小結(jié)：拿到一個(gè)幾何證明題（事實(shí)上，幾何計(jì)算等其它幾何問(wèn)題也基本如此），我們常常從條件、圖形結(jié)構(gòu)和結(jié)論等方面去加以思考。我們可以根據(jù)已知條件在圖上適當(dāng)做標(biāo)記，并思考條件的可能作用；我們可以觀察圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)觀察，獲得

6、一定的直覺(jué)判斷（如某兩條線段或某兩個(gè)角可能相等、某兩條直線可能平行或垂直、兩個(gè)三角形可能全等或相似等等）；我們看問(wèn)題的結(jié)論，分析要證明結(jié)論成立，需要證什么。事實(shí)上，結(jié)論本身也是重要的信息。二、證明舉例：例1.已知ABC中，AB=AC,D是邊BC上一點(diǎn)，且BD:DC=1:2,CE丄AD,垂足為點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE。求證：ZDBE=ZDAB.A【分析】看題目中的條件，作標(biāo)記、思考條件的可能作用本題的條件似乎都較為明了，沒(méi)有特別復(fù)雜的條件。看結(jié)論（即要證明的目標(biāo)），分析要證明結(jié)論成立，需要證什么。要證：ZDBE=ZDAB，結(jié)合已知圖形，我們應(yīng)該很容易發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟悉的結(jié)構(gòu)一一“A”型圖。于是，要證：ZDBE=

7、ZDAB，想證ADBEsADAB.這兩個(gè)三角形有一個(gè)公共角ZBDE=ZADB,因此要么證明另一對(duì)角相等，要么證明夾邊成比例。結(jié)合已知條件，應(yīng)該選擇證明夾邊成比例，DEDB即想證明=，也就是想證明DB2二DE-DA.DBDADEDB要證D=DA（或DB2=。已-DA），我們的目光肯定會(huì)向圖形的右側(cè)轉(zhuǎn)移。因?yàn)閮H僅看上述的“A”型圖，所有條件都幾乎派不上用場(chǎng)。E這時(shí)，我們又會(huì)看到一個(gè)基本的圖形結(jié)構(gòu)（如右圖）。DEDFDEEFDEFC很多種方式進(jìn)行替換。如：D=DA、百=DA或瓦=DA等等DEDF然后，我們逐一地觀察。我們大多會(huì)選擇=DFDA于是，我們聯(lián)結(jié)AE,進(jìn)而想證ADEF與ADF相似。我們不難注

8、意到ADEF是等腰三角形，我們自然希望ADF也是等腰三角形，由圖形的對(duì)稱性，我們不難證明它確實(shí)是。又它們有一個(gè)公共的底角ZADF，因此它們相似，從而得證。【法一】取DC的中點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)EF.、AF,則DF=EF又易證AABD=AACF，所以AD=AF,DEDF從而得到DEFsdfa,即=DFDA又DF二DB，所以DEDBDBDA所以ADBEsADAB,ZDBE二ZDAB.DEDB回到我們的目標(biāo)，要證=，并且我們的目光轉(zhuǎn)移到右側(cè)。我們重新審視整個(gè)DBDA條件與圖形結(jié)構(gòu)。我們也可能從厶ABC是等腰三角形著手。對(duì)等腰三角形而言，作底邊上的高，從而三線合一，是最基本、最常用的輔助線。【思路二】作AH丄B

9、C,垂足為點(diǎn)H。高AH一出現(xiàn)，我們應(yīng)該注意到AH、CE是ACD的兩條高（我們的目光正在關(guān)注右側(cè)的圖形）又有一個(gè)熟悉的圖形結(jié)構(gòu)，呈現(xiàn)在我們眼前，我們不難發(fā)現(xiàn)ACDEsAADH.DEDCC于是，我們得到=，即DE-DA=DH-DC.DHDA我們心中應(yīng)該一直在想著我們的目標(biāo)：DB2=DE-DA。于是，現(xiàn)在只要證DB2=DH-DC.對(duì)此，我們應(yīng)該感覺(jué)到前途光明。因?yàn)锽D:DC=1:2,點(diǎn)H又是BC的中點(diǎn)。因此線段BC、BC、BC之間存在著豐富的數(shù)量關(guān)系（如設(shè)BC1，則BD=巧,DC=丁,DH=BHBD=只T=-）33236這些數(shù)量關(guān)系可以幫助我們解決問(wèn)題。【法二】作AH丄BC、垂足為點(diǎn)H,易證ACDE

10、sAADH,從而=，即DE-DA=DH-DC.DHDA設(shè)BC二1，則BD=-,DC=-,DH=BH-BD=-.33236于是DH-DC=-x-=-，即DH-DC=DB2639所以DE-DA=DB2，從而ADBEsADAB,ZDBE二ZDAB. 小結(jié)：幾何證明的基本思考角度與思考次序：看條件，根據(jù)已知條件在圖上適當(dāng)做標(biāo)記，并思考條件的可能作用；看結(jié)論，分析要證明結(jié)論成立，需要證什么。分析的過(guò)程是一個(gè)逆向的思維過(guò)程，即逐步地分析使得結(jié)論成立的各種可能條件，從中尋找與題設(shè)及圖形結(jié)構(gòu)相匹配的條件和路徑。同時(shí)，我們還應(yīng)該關(guān)注圖形，事實(shí)上，幾何證明題不僅僅只有“條件”和“結(jié)論”兩個(gè)要素，圖形是幾何證明題的

11、又一個(gè)非常重要的組成部分。下圖反映了我們的思維角度與思維次序。接下來(lái)，我們以最近研究比較多的“證明線段比例式（或乘積式）”為例，進(jìn)一步梳理幾何證明的思維次序與方法（以思路分析為主，證明過(guò)程略）。在前面的復(fù)習(xí)過(guò)程中，老師和同學(xué)們一起梳理過(guò)，要證明線段成比例（乘積式總是先化為比例式），我們常常會(huì)想證相似。進(jìn)而，我們會(huì)觀察比例式中四條線段所處的位置（橫看或豎看），找到兩個(gè)三角形，然后想辦法去證明這兩個(gè)三角形相似。如果不成功，我們會(huì)想辦法替換，替換的方式有兩種，一種是替換線段，一種是替換比式。在剛才的討論中，證三角形相似替換我們來(lái)看具體的例子。例2.如圖，已知D、E分別是ABC的邊AB、AC上的點(diǎn),A

12、B_AECD與BE相交于點(diǎn)F,求證:DF_BF分析】（一）根據(jù)上述討論，做標(biāo)記，思考條件的作用。ABAE條件中的哪些部分引起你更多的注意？應(yīng)該是“=”ACADABAE條件“=”引起你怎樣的思考？它可能會(huì)有什么作用？ACAD同學(xué)們肯定會(huì)說(shuō)看到這個(gè)條件，我會(huì)想到相似。那么，是哪兩個(gè)三角形相似？我們會(huì)“橫看”：分子上，線段AB、AE，是ABE的兩條邊；分母上，線段AC、AD，是ACD的兩條邊；又ZA是公共角，從而我們得到厶ABE-ACD。我們還可能“豎看”：等式左邊的比式中，線段AB、AC，是ABC的兩條邊;等式右邊的比式中，線段AE、AD，是AED的兩條邊;又ZA是公共角，從而我們得到厶ABC-A

13、ED。所得到的相似三角形是否有用，又有怎樣的作用，我們可能還要看目標(biāo)的需要。二）看圖形結(jié)構(gòu)。該圖形中有好幾個(gè)基本圖形，看到這些基本圖形，我們也會(huì)有相似三角形的直覺(jué)判斷。（三）看結(jié)論，分析要證明結(jié)論成立，需要證什么。DFBF要證的的結(jié)論是=，即要證明四條線段成比例。因此，我們想證三角形相似。EFCF證哪兩個(gè)三角形相似呢？我們觀察比例式中的四條線段，“橫看”或者“豎看”。我們就會(huì)看到這四條線段分別是DBF與厶ECF的兩條邊（橫看），或者分別是DEF與厶BCF的兩條邊（豎看）。因此我們就想要證明DBF-ECF或者DEF-BCF.然后，我們應(yīng)該在需要證明的結(jié)論與已知推出的結(jié)論之間不斷地觀察與比較，然后

14、找到解決問(wèn)題的路徑。通過(guò)上述幾方面的分析，我們不難找到本題的證明思路：ABAE=ABEACD=二ZABE二ZACDACAD|二DBFoqAECFi:事實(shí)上，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，上述幾方面的思考，任何一方面都可能幫助我們找到解決問(wèn)題的辦法。當(dāng)然，如果問(wèn)題復(fù)雜一些，就可能需要多方面的思考，并把這些思考有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，而且這三方面的思考可能是交替使用、多次反復(fù)的。例3.如圖：已知ABC,AD平分ZBAC,F為AD中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線，交AB于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)H,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求證：DE2=BE-CE我們依然按照上述的思考步驟和方法進(jìn)行思考。【分析】（一）看已知條件，根據(jù)已知條件在圖上適當(dāng)做標(biāo)記，思

15、考條件的作用。A根據(jù)條件，我們?cè)趫D上做出標(biāo)記（如圖）。什么條件引起你更多的注意？部分同學(xué)可能會(huì)說(shuō)，角平分線、線段的垂直平分線等條件會(huì)讓我們想到角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)。（二）看圖形結(jié)構(gòu)。初看，可能沒(méi)有什么引起大家特別注意的地方。（三）看結(jié)論，分析要證明結(jié)論成立，需要證什么。DECE要證的的結(jié)論是DE2=BE-CE，立即化為比例式=。因此，我們想證三角BEDE形相似。我們觀察比例式中的四條線段（“橫看”與“豎看”）。我們發(fā)現(xiàn)這四條線段都位于同一條直線上，因此，不可能是某個(gè)三角形的兩條邊。這時(shí)，我們?cè)趺崔k？我們常規(guī)的思考是什么？我們常規(guī)的思考是考慮“替換”。那么替換什么？又如何進(jìn)行替換

16、呢？我們說(shuō)可以替換線段，也可以替換比式。先考慮替換線段。我們會(huì)觀察圖中有沒(méi)有和DE、BE或CE相等的線段，如果有，我們就用這樣的線段替換比例式中的線段。這時(shí)，我們可能會(huì)想到線段垂直平分線的性質(zhì)，于是，聯(lián)結(jié)AE，則AE=DE.AECE用線段AE替換要證結(jié)論中的DE，則我們的目標(biāo)式變?yōu)椋?BEAE我們觀察新的比例式中的四條線段（“橫看”或者“豎看”）。我們就會(huì)看到這四條線段A這時(shí)，我們眼中出現(xiàn)的應(yīng)該是右邊這樣一張圖，憑直觀觀察，我們差不多可以判斷厶ABEsCAE。我們應(yīng)該看到，它是一個(gè)典型的基本圖形，兩個(gè)三角形有一個(gè)公共角（ZAEB=ZCEA），還需要再證明另外一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，比如想證ZABE二Z

17、CAE.那么，如何證ZABE=ZCAE呢？通過(guò)全等？等邊對(duì)等角？相似？我們會(huì)在心中快速地搜索可行的方案。【我們?cè)?jīng)觀察過(guò)不少學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題的思考過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)許多同學(xué)基本上能夠作出上述的思考、分析和判斷，但其中有相當(dāng)一部分同學(xué)在證明ZABE=ZCAE時(shí)受阻。我們?nèi)绾芜x擇證明ZABE=ZCAE的路徑？這時(shí)，我們應(yīng)該結(jié)合已知條件及圖形結(jié)構(gòu)特征。我們會(huì)排除全等、相似等方法。這時(shí)，我們可能會(huì)回到原圖，進(jìn)一步搜索可以利用的條件和信息。我們有可能發(fā)現(xiàn)ZEDA=ZEAD，即ZB+ZDAB=ZCAE+ZCAD，從而ZABE=ZCAE在上述思考過(guò)程中，部分同學(xué)可能會(huì)遇到各種各樣的困難。當(dāng)我們遇到困難時(shí)，我們可以

18、再一次地思考條件、觀察圖形結(jié)構(gòu)、分析目標(biāo)成立所需要的條件等等。A（四）再次觀察圖形結(jié)構(gòu)。有的同學(xué)注意到AF平分ZGAH,且AF丄GH這個(gè)圖形局部。因此就會(huì)作出GF=FH的反應(yīng)。于是AD與GH互相垂直平分，所以如果聯(lián)結(jié)DG、DH，貝y四邊形AGDH是菱形。這樣我們就不難得到DHAB且DGAC，而平行線曠飛飛會(huì)推出比例式。由DHABDGACDEEH推出=，BEEGCEEH推出=，DEEG從而得證。CE這里的思考過(guò)程中，同學(xué)們抓住了一個(gè)特殊的條件組合（AF平分ZGAH，且AF丄GH），及其相應(yīng)的圖形結(jié)構(gòu)。從而作出了合理的反應(yīng)：AF平分GH（事實(shí)上還有AG=AH，ZAGH=ZAHG等）。這樣的條件組合

19、，我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，是使用過(guò)的。如題1.已知ABC中，AB二AC，ZBAC=90。，BD平分ZABC，CE丄BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：CE=2BD。簡(jiǎn)析：延長(zhǎng)CE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則CE=EF，即CE=2CF,又AACF二AABD，所以CF=BD，從而CE=題2.已知ABC中，ABAC,AD平分ABAC,BE丄AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F是BC的中點(diǎn)，求證：EF=2(AB-AC)。簡(jiǎn)析：延長(zhǎng)BE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,則BE=EG，AG=AB，又BF=CF，1-(AG-AC)=-(AB-22A所以EF=2CG=在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們要注意積累和總結(jié)這樣的條件組合及相應(yīng)的圖形結(jié)構(gòu)。

20、它們是幾何問(wèn)題與幾何圖形的重要構(gòu)成模塊，就像是圍棋中的定式。這樣的模塊積累的越多、熟悉程度越高，我們面對(duì)幾何問(wèn)題時(shí)的思考就會(huì)越迅速和有效。事實(shí)上，前面曾總結(jié)過(guò)的基本圖形都是一定的條件組合及其圖形結(jié)構(gòu)。類似地，如圖1，AD平分ZEAC，ADBC，則AB=AC.如圖2，ZBAC=90。，AD丄BC，則ZCAD=ZB，ZBAD=ZC.如圖3，AB丄AC，CD丄AC，ZBED=90。，則AABEsACED.如圖4，AB=AC，ZEDF=ZB，則ZFDC=ZB，AEBDsADCF.等等。C（圖3）（圖4）小結(jié)：（1）證明線段成比例的思考流程如下圖所示。要證明線段成比例（乘積式總是先化為比例式），我們通常

21、會(huì)想證相似。然后我們會(huì)觀察比例式中四條線段所處的位置，通過(guò)橫看或豎看，判斷這四條線段是否分別是兩個(gè)三角形的兩條邊。如果是，我們?cè)僦庇^判斷它們是否相似，如果也是，我們就想辦法去證明這對(duì)三角形相似；如果這四條線段不能夠得到兩個(gè)三角形，或者，雖然得到兩個(gè)三角形，但是它們不相似，這時(shí)，我們常常會(huì)考慮替換。替換的方式有兩種，一種是替換線段，一種是替換比式。替換后得到新的比例式，要證這個(gè)新的比例式成立，我們又會(huì)重復(fù)上述思考。（2）我們要注意撲捉問(wèn)題中的特殊條件與條件組合，及其相應(yīng)的圖形結(jié)構(gòu)，并作出合理的反應(yīng)。例4.已知ABC中，AB=AC,ZBAC=90,D是邊BC上一點(diǎn)，EF丄AD,EF交AB于點(diǎn)E，交

22、AC于點(diǎn)F。求證：AE_BD7FDC【分析】（一）看已知條件，看圖形結(jié)構(gòu)。根據(jù)已知條件在圖上適當(dāng)做標(biāo)記，思考條件的作用,關(guān)注圖形結(jié)構(gòu)，特別是一些特殊的條件組合及其對(duì)應(yīng)的圖形模塊。根據(jù)已知條件，這圖上作出適當(dāng)?shù)臉?biāo)記。條件中的哪些部分引起你更多的注意？同學(xué)會(huì)注意到等腰直角三角形，從而會(huì)聯(lián)想它的有關(guān)特征。還應(yīng)該發(fā)現(xiàn)圖中有一個(gè)基本圖形結(jié)構(gòu)直角三角形及其斜邊上的高，從而會(huì)立即想到其中有許多角的關(guān)系。如：ZEAH_ZAFE,ZFAH_ZAEF等。這些信息是否有用？有什么用？又需要結(jié)合目標(biāo)分析（二）看目標(biāo)，分析要證明結(jié)論成立，需要證什么。AEBD要證的的結(jié)論是四條線段成比例：_。因此，我們想證三角形相似。A

23、FDC于是，我們觀察比例式中的四條線段“橫看”與“豎看”）。我們發(fā)現(xiàn)線段AE、AF是AAEF的兩條邊，但是線段BD、DC位于同一條直線上，不是某個(gè)三角形的兩條邊。因此，我們考慮“替換”。先考慮替換線段。我們會(huì)觀察圖中有沒(méi)有與要證的比例式中所涉及的線段AE、AF、BD或DC相等的線段，如果有，我們就用這樣的線段替換比例式中的線段。經(jīng)過(guò)觀察與思考，我們發(fā)現(xiàn)沒(méi)有這樣的線段。BD接下來(lái)，我們嘗試替換比式。我們想把哪個(gè)比式換掉呢？應(yīng)該是。因?yàn)榫€段AE、AF是AAEF的兩條邊，而且AAEF還是一個(gè)直角三角形，AE、AF是其兩條直角邊。但BD、DC位于同一條直線上，不是某個(gè)三角形的兩條邊，所以想替換BD比式

24、DC，并且希望替換以后的兩條線段恰好是一個(gè)直角三角形的兩條直角邊。BD那么DC等于哪兩條線段之比呢？經(jīng)過(guò)觀察與思考，我們可能有以下方法。【法一】過(guò)點(diǎn)D作DH丄AB交AB于點(diǎn)H.于是DHAC，從而B(niǎo)DDCBHHA根據(jù)上述分析，我們希望BH、HA是某個(gè)直角三角形的兩條直角邊。現(xiàn)在是嗎？不是。BH、HA也是在一條直線上。這時(shí)，有一部分同學(xué)容易放棄當(dāng)前的處理方法，而去考慮另外的辦法。這很可惜。我們應(yīng)該再用我們的思維流程思考一下。由于BH、HA在一條直線上，因此，我們想要替換。先考慮替換線段。即圖中有與線段BH或HA相等的線段嗎？當(dāng)我們清楚地去問(wèn)自己這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，我們差不多就解決問(wèn)題了。我們不難發(fā)現(xiàn)D

25、H=BH，而DH、HA恰好是直角三角形AHDA的兩條直角邊。繼而，我們想證AAEFsAHDA，這是不難實(shí)現(xiàn)的。BD當(dāng)然，要替換比式，也可能有其他做法。【法二】過(guò)點(diǎn)B作BKAC交AD的延長(zhǎng)線BDBK于占K貝q。于人DCAC。E【法三】部分同學(xué)可能看到DC會(huì)想到面積比。BDS即AABDDCSAACD以下請(qǐng)自己思考是否可行，若可行，完成證明。進(jìn)而，我們可以發(fā)現(xiàn)把AABD與AACD的邊AB、AC看作底邊，它們也是等底的。因此過(guò)點(diǎn)D分別作DM丄AB、DN丄AC，垂足分別DMDNS是點(diǎn)M、N，則SAACDAEDM從而要證明原題結(jié)論成立，只需證喬-而，這應(yīng)該是不困難的事情。三）根據(jù)前面的分析，如果我們注意到

26、線段AE、AF是直角三角形AAEF的兩條直角邊。因此就希望找到（如果找不到，就想辦法作出）一個(gè)直角三角形，使其兩條直角邊分別是線段BD、DC。這樣的想法也是合理的。D按照這樣的想法，由于我們?cè)诂F(xiàn)有的圖形中找不到這樣的直角三角形，因此，我們就有可能過(guò)點(diǎn)D或點(diǎn)C去作CD的垂線，從而構(gòu)造出符合條件的直角三角形。【法四】過(guò)點(diǎn)D作DP丄BC交AB于點(diǎn)P.我們本需要截取DP二BD，注意到ZB二45。,因此，這個(gè)交點(diǎn)P就是滿足DP=BD的點(diǎn)。從而APDC就是以線段BD、DC為直角邊的直角三角形。AEBDAEPD現(xiàn)在要證明=，就是要證明=，因此想證明AAEFsADPC。AFDCAFDC從合情的角度思考，如果所

27、證的結(jié)論正確，則一定有AAEFsADPC。那么如何證明AAEFsADPC呢？顯然兩個(gè)三角形都是直角三角形，并且已經(jīng)有一對(duì)角相等。即ZEAF=ZPDC=90。.因?yàn)檫叧杀壤切枰ㄟ^(guò)相似得到的，所以這里應(yīng)該想證明另外一對(duì)角相等。選擇證哪一對(duì)角相等呢？是去證明ZAEF=/DPC，還是去證明ZAFE二ZDCP?當(dāng)我們無(wú)法判斷時(shí)，可以分別去觀察和思考一下。（如果我們具備四點(diǎn)共圓的知識(shí)，那么證明其中任何一對(duì)都是一樣的。）當(dāng)我們觀察與思考如何證明ZAFE二ZDCP時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)ZDCP也是ABCP的一個(gè)內(nèi)角，彳A而ZAFE二ZBAD，因此只需要證明/BAD=ZBCP，這時(shí)，我們的眼前會(huì)出現(xiàn)一個(gè)基本圖形（

28、如右圖）。P/y因此我們想證ABADsABCP。這是可以實(shí)現(xiàn)的。因?yàn)?B是公共角，45/所以ABADsABPC.從而/BAD=/BCP，進(jìn)而/AFE=/DCP,所以AAEFsADPC，問(wèn)題得證。（如果有的同學(xué)說(shuō)我過(guò)點(diǎn)D作DP丄BC的時(shí)候,是向下作的，并截取DP=BD。那么我想證明AAEFsADPC，可以嗎？結(jié)論是肯定的。整個(gè)思路與上述方法類似留給同學(xué)們自己去完成。）P，也有的同學(xué)可能會(huì)選擇過(guò)點(diǎn)C作CQ丄BC，這也是合【法五】過(guò)點(diǎn)C作CQ丄BC，并截取CQ=BD。聯(lián)結(jié)DQ，進(jìn)而想證明AAEFsACQD。D這時(shí)，我們是否會(huì)聯(lián)結(jié)AQ，發(fā)現(xiàn)AACQ是由AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90得到。因此AACQ

29、仝AABD，從而得到AQ=AD，AQ丄AD，所以ZADQ=45。這時(shí)，我們的眼前就會(huì)出現(xiàn)ZADQ=ZABC=這又是一個(gè)基本的圖形結(jié)構(gòu)，我們不難得到ZQDC=又ZBAD=ZAFE，所以ZQDC=ZAFE,所以AAEFsACQD。如果我們看到AABC中，AB=AC，想到等腰三角形三線合一，于是就可能、會(huì)有A以下嘗試。【法六】作AS平分ZBAC交BC于點(diǎn)S.通過(guò)觀察，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)ZSAC=45。，ZAFE=ZBAD，于是，如果記AS與EF的交點(diǎn)T,則AAFTsABAD.AFAT從而=，即AF-BD二AB-AT.ABBD即證明AEABATCDDS與要證結(jié)論的比較，我們發(fā)現(xiàn)只要證明AE-CD二AB-AT.A通過(guò)橫看、豎看，我們發(fā)現(xiàn)橫看得到AAET,但分母中的AB、CD不是一個(gè)三角形的兩條邊。這時(shí)，我們?cè)趺崔k？對(duì)，替換。替換什么？先考慮替換線段。即我們會(huì)去觀察圖形中是否有和AB或CD相等的線段。這樣，我們就不難發(fā)現(xiàn)DSAB二AC。而AC、CD是AACD的兩條邊。這時(shí)我們可以重畫(huà)一張圖（如果需要），我們主要關(guān)注AAET和AACD，我們就不難發(fā)現(xiàn)：ZEAT=ZACD=45。,ZAET=Z