1、第5章 動態電路的復頻域分析5.1 拉普拉斯變換5.2 復頻域電路模型5.3 電路的復頻域分析 小結學 習 目 標 理解并掌握拉普拉斯變換的定義及基本性質、常用 信號的拉普拉斯變換 理解并掌握拉普拉斯反變換的部分分式法 。 理解并掌握電路元件的電壓電流關系及電路的復頻 域模型、電路定律的復頻域形式 。 掌握線性電路的復頻域分析方法 。 5.1.1拉普拉斯變換的定義 一個定義在時間函數 的拉普拉斯變換記為 ，其定義為(5.1) 其中 稱為復頻率，積分限0_和 是固定的，所以積分的結果與 無關，而只取決于參數，即(5.2) 5.1 拉普拉斯變換 F(s)即為函數f(t)的拉普拉斯變換，F(s) 稱

2、為f(t)的象函數， 稱為F(s)的原函數。在電路中我們用U(s)的I(s)分別表示u(t)和i(t)的拉普拉斯變換。 如果F(s)已知，要求出它所對應的原函數f(t)，則由F(s)到f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，它的定義為（5.3） 應該認識到：u(t)和i(t)是時間的函數，即時域變量 ,時域是實際存在的變量。而它們的拉普拉斯變換U(s)和I(s)則是一種抽象的變量。我們之所以把直觀的時域變量變為抽象的復頻率變量，是為了便于分析和計算電路問題，待得出結果后再反變換為相應的時域變量。 5.1.2 拉普拉斯變換的基本性質二、 微分性質1 若 則 拉普拉斯變換的第二個重要性質是函數的拉普拉斯

3、變換與其導數的拉普拉斯變換之間存在著簡單的關系。 重復運算的微分定理，我們還可以得到下面關于函數的拉普拉斯變換及其高階的拉普拉斯變換之間關系的推論。5.1.2 拉普拉斯變換的基本性質三 、積分性質若 則 拉普拉斯變換的第三個重要性質是函數的拉普拉斯變換與其積分的拉普拉斯變換之間存在著簡單的關系。由此可見，在時域中的積分運算相當于復頻域中的除法運算。例： 正弦余弦信號的拉氏變換例：衰減余弦的拉氏變換5.1.4 拉普拉斯反變換的部分分式法 可以把任意一個有理函數分解成許多簡單項之和，而這些簡單項都可以在拉氏變換表中找到，這種方法稱為部分分式展開，或稱為分解定理。這是用拉氏變換法求解線性電路時，進行

4、反變換的主要方法。 令用部分分式展開有理分式F(s)時，第一步是把有理分式化為真分式5.1.4 拉普拉斯反變換的部分分式法 上式中的A是一個常數，其對應的時間函數為 。所以在下面的討論中都假定F(s)為真分式。 為用部分分式展開有理分式F(s)，首先必須求出D(s)=0的根。下面就這些根的不同情況分別討論F(s)的展開。1設D(s)=0有n個單根的情況。設n個單根分別為 。于是F(s)可以展開為 5.1.4 拉普拉斯反變換的部分分式法式中 等是待定系數。這些系數可以按下述方法確定，把上式兩邊都乘以 ，得令 ，則等式除第一項外都變為零，這樣就求得各待定系數的公式為 例5.1例5.3作業 P160

5、 5.1 5.2 5.3 5.2.1 電路元件的S域模型R.L.C元件的時域關系為：各式進行拉氏變換得：5.2 復頻域電路模型對電流解出得：5.2.2 電路的復頻域模型 通過上述分析，已經獲得了理想電路元件的復頻域電路模型。這樣，時域電路變換為復頻域電路就比較容易了。其步驟如下： 1、計算各儲能元件的初始條件，進而獲得其復頻域 電路模型； 2、用理想電路元件（不包括電源）的復頻域電路模型代替該元件； 3、用 、 代替相應的 及 ； 4、用 、 代替原電路中相應的 及 。解: 先求電感和電容的初始條件 和 在圖5.1 (a)中，開關動作前電路已處穩態，因而在t=0_時電感相當于短路，電容相當于開

6、路。故 由此獲得相應的復頻域電路模型如圖5.1(b)所示。作業 P160 5.5用拉氏變換分析電路的步驟如下： A. 將已知的電動勢、恒定電流進行拉氏變換。 B. 根據原電路圖畫出運算等效電路圖。 C. 用計算線性系統或電路穩定狀態的任何方法解運算電路，求出待求量的象函數。 D. 將求得的象函數變換為原函數。5.3.2 電路的復頻域分析方法例 5.5 用拉氏變換求R、L、C串聯電路的(a)單位階躍響應和(b)零輸入響應。設 。解: (a) 。此時有 令則可得查表5.1可得則可得由查表5.1可得例5.6 在圖5.7(a )所示電路中，直流電壓源的電壓，試求零狀態響應 。 (a) (b) 圖5.7

7、 例5.6的圖解：作出電路的復頻域模型，如圖5.7（b）所示。 方法1：用節點分析法求解其中：所以：其對應的時域形式為：方法2：用網孔法求解 網孔方程為：所以 方法3：用戴維南定理求解斷開電感支路如圖5.8 a所示，開路電壓和輸入運算阻抗分別為從而得到它的戴維南等效電路如圖5.8 b所示。 圖 5.8 戴維南等效電路所以 進行反變換得： 這與前面兩種方法所得的結果一致。 例5.7 電路如圖5.9所示，試求在單位沖激電壓激勵下的零狀態響應 和 。解：作電路的復頻域模型如圖5.9b，由節點分析法得即： 從以上結果可見，用復頻域分析法求沖激響應非常方便，這是因為單位沖激函數的拉普拉斯形式為1 。作業

8、 P161 5.7 5.8 5.12(1) 時間函數的拉普拉斯變換定義為F(s) 稱為 的象函數， 稱為F(s)的原函數。(2) 拉普拉斯變換有許多重要的性質，本書介紹在分析線性時不變電路中用到的一些最基本的性質：線性性質、微分性質和積分性質。小結(3) 拉普拉斯反變換一般采用部分分式法。電路響應的象函數通常表示為兩個實系數的s的多項式之比，也就是s的一個有理分式 式中的m和n為正整數，且 。令D(S)=0，解出的根有三種情況：不同的負實根；共軛復根和m重根。其部分分式法展開的各項系數求法也不同。 (4) 動態電路的復頻域分析法（亦稱運算法），它將時域中的電路問題變換成復頻域中的電路問題，并在復頻中應用電路定理及分析方法求出相應的解答，再通過拉氏反變換得到電路的時域響應。由于需要將時域中的電路問題變換成復頻域中對應的電路問題，因此，首先必須確定時域中電路的基本定律和元件的伏安關系在復頻