1、關于概率論第一張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月書例1 擲一顆均勻的骰子,觀察其落下時向上一面的點數,B=擲出偶數點, A=擲出的點數小于4,求在事件B已發生的條件下事件A發生的概率(記為P(A|B).第二張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月1. 定義一、條件概率第三張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月2. 性質條件概率具有概率的所有性質，如第四張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月（1）在縮減的樣本空間中計算事件發生的概率,所得結果對原樣本空間來說即是所求的P(A|B).計算條件概率的方法：（2）在原樣本空間S中,先計算P(B),P(AB),第五張，PPT共六十四頁，

2、創作于2022年6月書例2 箱中有6個紅球,4個白球,不放回地依次取出兩球,求在第一次取到白球的情況下第二次取到紅球的概率.第六張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月書例3 某種動物由出生算起活到20歲以上的概率為0.8, 活到25歲以上的概率為0.4, 如果現在有一個20歲的這種動物, 問它能活到25歲以上的概率是多少? 設 A 表示“ 能活 20 歲以上 ” 的事件; B 表示 “ 能活 25 歲以上”的事件,則有解第七張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月二、乘法公式定理1(乘法公式)主要用于求幾個事件同時發生的概率第八張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月書例4 有100張

3、訂貨單,其中5張是訂購貨物甲的, 現從這些訂貨單中任取3張, 問第三張才取得訂購貨物甲的訂貨單的概率是多少？設 =第i張訂單是貨物甲的(i=1,2,3),解 按題意所求事件為所求概率為第九張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月書例5 現有一批零件是由甲、乙二人加工而成的,其中甲加工了60% ,乙加工了 40% ,甲加工的零件的次品率為10% , 乙加工的零件的次品率為15%,從這批零件中任取一只,求取到次品的概率.設 A =取到的零件為次品,解 =甲加工的零件, =乙加工的零件,第十張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月定理2(全概率公式)全概率公式三、全概率公式和貝葉斯公式第十一張，

4、PPT共六十四頁，創作于2022年6月說明 全概率公式的主要用途在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最終結果.第十二張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月書例6 現有一批零件是由甲、乙二人加工而成的,其中甲加工了60% ,乙加工了 40% ,甲加工的零件的次品率為10% , 乙加工的零件的次品率為15%,從這批零件中任取一只,求取到次品的概率.設 A =取到的零件為次品,解 =甲加工的零件, =乙加工的零件,第十三張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月由全概率公式得第十四張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月書例7 有

5、三個箱子,第一箱裝有4個黑球4個白球,第二箱裝有5個黑球3個白球, 第三箱裝有6個黑球2個白球.現從三個箱子中任取一箱,再從該箱中任取一球,求取出的是白球的概率解: 設 A=取出的是白球,Bi=取出的球屬于第i箱則由全概率公式得第十五張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月書例8 現有一批零件是由甲、乙二人加工而成的,其中甲加工了60% ,乙加工了 40% ,甲加工的零件的次品率為10% , 乙加工的零件的次品率為15%,從這批零件中任取一只, (1)求取到次品的概率; 設 A =取到的零件為次品,解： =甲加工的零件, =乙加工的零件,(2)已知取出的產品為次品，求是甲加工的概率；由全概率

6、公式得第十六張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月稱此公式為貝葉斯公式. 3. 貝葉斯(Bayes)公式第十七張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月 注:1)貝葉斯公式是已知“最后結果” ,求“原因”的概率. 2) B1, B2, ., Bn可以看作是導致A發生的原因; 3) P(Bj|A)是在事件A發生的條件下, 事件Bj發生的 概率, 稱為 “后驗概率”; 4)Bayes公式又稱為“后驗概率公式”或“逆概率公式”; 5)稱P(Bj) 為“先驗概率”.第十八張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月例8 某商品由三個廠家供應,其供應量為：一廠家是二廠家的2倍, 二、三兩廠相等. 各廠

7、出產品的次品率為2%, 2%, 4%. 若從市場上隨機地抽取一件此種商品， (1)求它是次品的概率： (2)若已知取到的是次品,求它是由一廠生產的概率.解第十九張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月(1) 由全概率公式得(2) 由貝葉斯公式得第二十張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月解書例10設A=肝癌患者,B=檢查呈陽性，第二十一張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人肝癌患者.第二十二張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月解書例11第二十三張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月 由貝葉斯公式得所求概

8、率為后驗概率先驗概率第二十四張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月1.條件概率全概率公式貝葉斯公式四、小結乘法定理第二十五張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月第二十六張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月備份題1 8支步槍中有5支已校準過， 3支未校準. 一名射手用校準過的槍射擊時,中靶的概率為 0.8;用未校準的槍射擊時,中靶的概率為0.3.現從8槍中任取一支用于射擊,結果中靶,求所用的是校準過的概率.解：設B1=使用的槍校準過,B2=使用的槍未校準,A=射擊時中靶,第二十七張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月則B1, B2是S的一個劃分, 且由貝葉斯公式,得故所用的槍是

9、校準過的概率為40/49.第二十八張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月備份題2 設一倉庫中有10 箱同種規格的產品, 其中由甲、乙、丙三廠生產的分別有5箱 , 3箱, 2 箱,三廠產品的廢品率依次為 0.1, 0.2, 0.3 從這 10箱產品中任取一箱 , 再從這箱中任取一件產品,求取得的正品概率. 設 A 為事件“取得的產品為正品”, 分別表示“任取一件產品是甲、乙、丙生產的”,由題設知解第二十九張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月故第三十張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月備份題3 五個鬮, 其中兩個鬮內寫著“有”字, 三個鬮內不寫字 , 五人依次抓取,問各人抓到“有”

10、字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關? 第三十一張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月第三十二張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月依此類推故抓鬮與次序無關.第三十三張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月備題4 (卜里耶模型) 設箱中有b只黑球,r只紅球,隨機從中取出一只,觀其顏色后放回,并再放入c只與所取到的那只球同顏色的球.這樣下去共取了n次球,問前 次取到黑球 后 取到的紅球概率是多少？ 設 =第一次取出黑球 ， =第 次取出紅球，則=第 次取出黑球， =第 次取出紅球， 解第三十四張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月因此第三十五張，PPT共六十四頁，創作于20

11、22年6月一、兩個事件的獨立性二、多個事件的獨立性 1.6 隨機事件的獨立性三、小結第三十六張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月定義1一、 兩個事件的獨立性 直觀說法:兩個事件獨立,是指其中一個事件的發生不影響另一個事件的發生.第三十七張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月定理1 設A、B 是兩個事件,若 P(B)0, 則A與B 獨立 的充分必要條件是 P(A|B)=P(A).定理2 如果A、B獨立,則 均相類似有:若 P(A)0, 則A與B獨立 互獨立.第三十八張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月且A與B相互獨立證第三十九張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月獨立與互斥的

12、關系這是兩個不同的概念.兩事件相互獨立兩事件互斥二者之間沒有必然聯系例：將一枚硬幣連擲三次,觀察正面H、反面T 出現的情況.第四十張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月由此可見兩事件相互獨立但兩事件不互斥.兩事件相互獨立兩事件互斥.解：S= HHH, HHT, HTH,THH, HTT, THT, TTH, TTT A= HHH, HHT, HTH, HTT B=HHH, HHT, THH ,THT 若事件A表示第一次出現正面，事件B表示第二次出現正面，則顯然而第四十一張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月A、B 獨立 與A、B 互斥不能同時成立.證若A與B 獨立, 則 即 A與B 不

13、互斥(相容).結論2 結論1 兩事件相互獨立兩事件互斥.第四十二張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月結論3 必然事件S 及不可能事件與任何事件A相互獨立.證 SA=A, P(S)=1 P(SA) = P(A)=1 P(A)= P(S) P(A)即 S與A獨立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即 與A獨立.第四十三張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月甲,乙兩射手獨立地射擊同一目標,他們擊中目標的概率分別為0.9和0.8, 求在一次射擊中(每人各射擊一次)目標被擊中的概率.解設 A= 甲擊中目標 B= 乙擊中目標 C=目標被擊中 依題設,書例1第四十四

14、張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月= 0.98= 0.98第四十五張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月1. 三事件兩兩獨立的概念二、多個事件的獨立性定義第四十六張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月2. 三事件相互獨立的概念定義第四十七張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月 設 A1，A2 ， ，An為n 個事件，若對于任意k(2kn), 及 1i 1 i 2 i kn 3. n 個事件的獨立性定義若事件 A1，A2 ， ，An 中任意兩個事件相互獨立，即對于一切 1 i j n, 有定義第四十八張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月兩個結論第四十九張，PPT共六十四

15、頁，創作于2022年6月n 個獨立事件和的概率公式:設事件 相互獨立,則結論的應用“ 至少有一個發生”的概率為至少有一個不發生”的概率為“第五十張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月甲乙丙三射手獨立地射擊同一目標,他們擊中目標的概率分別為0.9, 0.8, 0.7, 求在一次射擊中(每人各射擊一次)目標被擊中的概率.解設 A= 甲擊中目標 B= 乙擊中目標 C= 丙擊中目標 D=目標被擊中 依題設,書例1第五十一張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月第五十二張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月書例2 三個人獨立地破譯一密碼, 他們能單獨譯出的概率分別為 求此密碼被譯出的概率.第五

16、十三張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月事件的獨立性在可靠性理論中的應用：一個元件的可靠性：該元件正常工作的概率.一個系統的可靠性：由元件組成的系統正常工作的概率.例如一個系統由兩個獨立工作的元件構成,每個元件的可靠性均為r,Ai=第i個元件正常工作.1212(1)串聯(2)并聯P(A1A2)=r2P(A1A2) = 1(1 r)2系統的可靠性第五十四張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月書例3 一個系統由四個獨立工作的元件聯接而成,設每個元件的可靠性為r,分別在下列兩種聯接下,求系統的可靠性. 設Ai =第i個元件正常工作,13241324解B=系統正常工作.第五十五張，PPT共六

17、十四頁，創作于2022年6月第五十六張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月 書例4 設有三門炮同時向敵機各射擊一次.已知它們擊中敵機的概率分別為0.4,0.5,0.6.若敵機被一門炮擊中時被擊落的概率為0.3,被兩門炮擊中時被擊落的概率為0.7,被三門炮擊中時即被擊落.求敵機被擊落的概率.Cj=第j門炮擊中敵機,Ai=有i門炮擊中敵機B=敵機被擊落解 第五十七張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月=0.40.50.4+ 0.60.50.4+0.60.50.6=0.38第五十八張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月=0.40.50.4+ 0.40.50.6+ 0.60.50.6=0.40.50.6=0.12=0.380.3+0.380.7+0121=0.5=0.38第五十九張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月三、小結第六十張，PPT共六十四頁，創作于2022年6月第六十一張，PPT共六十四頁，創作于2022年