1、2021 浙江省“超全能生高考數(shù)學(xué)聯(lián)試卷（3 月） 一、選題（共 10 題）1已知集合 P|24，Q|13，則 PQ（ ）Ax|23 Bx|23 Cx|2 Dx|32歐拉公式 cos+isine 自然底數(shù)，i 虛數(shù)單位）是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉最早發(fā)現(xiàn)的是數(shù)學(xué)界最著名、最美麗的公式之一根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù) ei 對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限在復(fù)平面內(nèi)3若實(shí)數(shù) x， 滿足約束條件 ，則 z+2y 的取值范圍是（ ）A3，2 B3，1 C2，+） D3，+） 4已知 ab 都大于零且不等于 1“l(fā)og 1（1b1（aA充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既

2、不充分也不必要條件）5已知函數(shù) f（）ln|x|，其圖象大致為（ ）ABCD6某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A3 B2 C D7在直角坐標(biāo)系中，已 O 坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）（1）點(diǎn) P 滿足 kPA3 且|PA|+|4，則|（ ）A B C D8已知離散型隨機(jī)變量 ， 分布列為：1 2kPB1P1 3 5a b21 2 4 5P b a則下列說法一定正確的是（ ） AE（ ）（ ）1 2CD（ ）（ ）1 2BE（ ）（ ）1 2DD（ ）（ ）1 29如圖，已知在 中，90，1，2，D 線段 BC 上一點(diǎn)，沿 AD將 翻轉(zhuǎn)至 eq oac(,AB) eq oac(, )D若點(diǎn)

3、 B在平面 內(nèi)的射影 H 恰好落在線段 AC 則二 面角 BA 正切的最大值為（ ）A B1 C D10設(shè)數(shù)列x 滿足 x 2n n n2x ，nN n，且對(duì)于任意 x ，都存在正整數(shù) 使得 x1 nm，則實(shí)數(shù) m 最大值為（ ）A B C2 D3二、填題：共 7 題，多空每小題 分，單空每小題 6 分，共 36 11函數(shù) f（）cos2+sinxcos，則 f（）的最小正周期為 ，對(duì)稱軸方程為 開式 1 2x 5 a a x+a 20 1 2 a x3+a x4 a x5，則 a ， 3 13已知圓內(nèi)接四邊 ABCD 邊長(zhǎng) 22 形 ABCD 的面積為 ， ，四邊14已知直線 ：+（k0）與

4、圓 x+y 相切，且被圓（4）+y4 截得的弦長(zhǎng)為 ，則 k ，b 15已知實(shí)數(shù) x，y 足 x+yxy3，則 x24xy 的最大值為 16某次燈謎大會(huì)共設(shè)置 不同的謎題，分別藏在如圖所示的 只燈籠里，每只燈 籠里僅放一個(gè)謎題并規(guī)定一名參與者每次只能取其中一串最下面的一只燈籠并解答里面的謎題直到答完全部 6 謎題一名參與者一共有 順序種不同的答題 已知非零向量的夾角為 ，若存在兩不相等的正實(shí)數(shù) ，使得1 2，則 12的取值范圍為 三、解題：共 5 題，共 74 18已知銳角 中，sinA+bsincsin+bsin（）求 A；（）求 sinB+cosC 的取值圍19如圖，在三棱錐 P 中 PA

5、2AC1F 線段 BC 的中點(diǎn)已 知 AC，且二面角 PC 的平面角大小為 60（）求證：AC；（）求直線 PF 平面 PAC 所成角的正弦值20已知a b 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 b 1 b 0且 a a N*n n 1 1 2 2 1 2（）若 a b ，a 等差數(shù)列，求a ，b 的通項(xiàng)公式；2 3 3 n n（）當(dāng) n2 時(shí)，證明： b n n21如圖，已知點(diǎn) A 別是橢圓 1 的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn) 是橢圓 與1 2 1 1拋物線 C ：y 22px（0）的交點(diǎn)，直線 A ，A P 分別與拋物線 C 交于 ， 兩點(diǎn)1 2 2（M， 不同于 ）（）求證：直線 MN 直 x 軸；（）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)

6、為 O分別記OPM， 的面積為 S S ，當(dāng)OPA 為鈍角時(shí)，1 2 2求的最大值22已知 a0，函數(shù) f（） （）討論函數(shù) f（）的單調(diào)性；（）已知函數(shù) f（）存在極值點(diǎn) x x ，求證：f（x f（ 1 2 1 2參考答一、選題（共 10 題）1已知集合 P|24，Q|13，則 PQ（ ）Ax|23 Bx|2x3 Cx|2 Dx|3解：P|2x2Qx|1x3，PQx|12故選：C2歐拉公式 cos+isine 自然底數(shù)，i 虛數(shù)單位）是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉最早發(fā)現(xiàn)的是數(shù)學(xué)界最著名、最美麗的公式之一根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù) ei 對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解

7、：由題意得：ecos2+isin2，而 cos20，sin20，故點(diǎn)（cos2，sin2）在第二象限，故選：B在復(fù)平面內(nèi)3若實(shí)數(shù) x， 滿足約束條件A3，2 B3，1 解：由約束條件作出可行域如圖，則 z+2y 的取值范圍是 ）C2，+） D3）由圖可得，B（0，1），聯(lián)立 ，解得 A1，1），作出直線 x+2y，由圖可知，平移直 x+20 至 A z+2y 有最小值為，至 B ，z 有最大值為 2z+2y 的取值范圍是3，2故選：A4已知 ab 都大于零且不等于 1“l(fā)og 1（1b1（ ）aA充分不必要條件 C充要條件B必要不充分條件D既不充分也不必要條件解：a， 都大于零且不等于 1，l

8、og b1log a，a a若 0a1 時(shí)，則 10，所以（a1）（1）0， 若 a1 時(shí)，則 a，所以（a1）（1）0，所以“l(fā)og b1”可以推出（a1）（1）0”，滿足充分性； a因?yàn)椋╝1）（1）0，所以 a1，1 或 0a，0b1， 只能推出 log b0，不能推出 b1，不滿足必要性；a a所以“l(fā)og b1”是“（1）（b1）0”的充分不必要條件 a故選：A5已知函數(shù) f（）ln|x|，其圖象大致為（ ）ABCD解：函數(shù) f（）的定義域?yàn)椋ǎ?），+），函數(shù) f（x）ln|x|（），所以函數(shù) f（）為奇函數(shù)，故排除 BD，因?yàn)?f（1）0，（ ）ln ln20，故排除 C，故選：

9、A6某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A3 B2 C D解：由三視圖知幾何體是一個(gè)三棱柱，且在一個(gè)角上截去一個(gè)三棱錐 CABD， 側(cè)棱與底面垂直，底面是以 2 為邊長(zhǎng)的等邊三角形，高為 ，且 D 中點(diǎn)，則 BD1，幾何體的體積 V ，故選：Dkk7在直角坐標(biāo)系中，已 O 坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）（1）點(diǎn) P 滿足 k PA3 且|PA|+|4，則|（ ）kPBA B C解：設(shè)點(diǎn) P（，），A（1，0），（1，0）， k ，k ，PA PBD所以 k PAPB3，x 1，x0，又|PA|+|4，所以點(diǎn) P 軌跡為焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，所以 2a4，2，c，2ab3，橢圓方程為 + ，由

10、解得 ，則|OP| 故選：B8已知離散型隨機(jī)變量 ， 分布列為：1 211 3 5P a b21 2 4 5P b a則下列說法一定正確的是（ ） AE（ ）（ ）1 2CD（ ）（ ）1 2BE（ ）（ ）1 2DD（ ）（ ）1 2解：由題意可得：a+ ，a，（0， ）E（ ）a+3 +5b2+4，1E（ ）b+2 +4 +52+4a，2由 a b 的大小關(guān)系不確定因此 E（ ）與 E（ ）大小關(guān)系不確定1 2（ ）2b2（324b2 1 （524）2bb120，E（ ）44，2D（ ） 4b） + （4 4b2） 2 + （4 b4 ） + 4b5 ）（ ）20 + （ ， ），D（ ）

11、（ ）1 2故選：D9如圖，已知在 中，90，1，2，D 線段 BC 上一點(diǎn)，沿 AD 將 翻轉(zhuǎn)至 eq oac(,AB) eq oac(, )D若點(diǎn) B在平面 內(nèi)的射影 H 恰好落在線段 AC 則二 面角 BA 正切的最大值為（ ）A B1 C D 解：過 H HM 于 ，連接 B，過 H HN ，連接 B，因?yàn)辄c(diǎn) B在平面 內(nèi)的射影是 H ，所以 B平面 ， 由三垂線定理知 BCD，N，所以B 二面角 BDC 的平面角，設(shè)B，則 90， 所以 AN1 cos）sin，ANAH cos，所以 AH tan，于是 B ，因?yàn)锽AC90，1，BC2，所以 AC，30，又因?yàn)?HC所以 tanta

12、n，所以 HCsin30 （，tan），令tant，則 tan ，當(dāng) t故選：C時(shí)等號(hào)成立，所以二面角 A 的正切的最大值為10設(shè)數(shù)列x 滿足 x 2n n n2x ，nN n，且對(duì)于任意 x ，都存在正整數(shù) 使得 x1 nm，則實(shí)數(shù) m 最大值為（ ）A B C2 D3解：數(shù)列x 滿足 x x 2n +1 n2x ，N* n，且對(duì)于任意 x ，都存在正整數(shù) n 得1x m，n若數(shù)列x 是遞增數(shù)列則 x x 2n +1 n2x x x 3 或 x 0，n n n n存在正整數(shù) n 得 x ，n故需 m3，此時(shí) 最大值為 3，若數(shù)列x 是遞減數(shù)列，則 x x 22x x 0 x 3， n +1

13、n n n n存在正整數(shù) n 得 x n，故需 m0，此時(shí) 最大值為 0，綜上可得：m 最大值為 3，故選：D二、填題：共 7 題，多空每小題 分，單空每小題 6 分，共 36 11函數(shù) （x）cosx+sincosx，則 （）的最小正周期為 ，對(duì)稱軸方程為x + ，（kZ） 解：因?yàn)?f（）cos2x+sincosx+ sin2 sin（2x+ ）+ ，所以函數(shù)的最小正周期 T，令 2x+ k+解得：x k+（kZ），（kZ），所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為：x k+，（kZ）故答案為：，x k+ ，（Z） 二項(xiàng)展開式（ 1 2x 5 a a +a x0 1 2 a x3+a x4 a x55，則

14、a 80 ， 3 31 解：二項(xiàng)展開式（12x5a a +a xa x+a 4a 50 1 2 3 4 5，則 a ， 3令 x0，可得 0而且（1+2x）a +a +a x0 1 2+a x3+a x4+a x5，再令 x ，可得，1+故答案為：80；3132， 31，13已知圓內(nèi)接四邊形 ABCD 邊長(zhǎng) BC22，CDDA 形 ABCD 的面積為 解：由于 B+180，則 cosBcos，由題設(shè)及余弦定理得，則 AC ，四邊在 中，AC2+BC2ABBC cos54cosB，在 中，AC2+DC2ADDC cos14+14cosB，由得 cosB ，故 B120，D60， 則 AC 由于

15、B+180，sinBsin ，由以上的結(jié)果及題設(shè)，可知四邊形 的面積 S +S ABABC ACDBC sinB+ ADCD sinD （12+ ） ，故答案為： ， 14已知直線 ：+（k0）與圓 x+y 相切，且被圓（4）+y4 截得的弦長(zhǎng)為 ，則 k ， 解：由直線 l：+（0）與圓 x+y1 相切，得 ，又直線 l：kx+（k）被圓（x4）+y4 截得的弦長(zhǎng)為，聯(lián)立可得，故答案為： ，（k0），b2 15已知實(shí)數(shù) x，y 足 x+yxy3，則 x24xy 的最大值為 5 【解答】解x+y3，x+yxy+3，又x+y|x|+|y|2|x|2|xy|xy+32|若 xy0 時(shí)，+32，3，

16、 xy0 時(shí)，+32，1 1xy3設(shè) t，則 24t（t2）4，t1，3，當(dāng) t 時(shí)，S 945，maxS 最大值為 5故答案 516某次燈謎大會(huì)共設(shè)置 不同的謎題，分別藏在如圖所示的 只燈籠里，每只燈 籠里僅放一個(gè)謎題并規(guī)定一名參與者每次只能取其中一串最下面的一只燈籠并解答里面的謎題，直到答完全部 謎題，則一名參與者一共有 60 順序種不同的答題解：由題意可知，只需要同一列順序?yàn)閺南碌缴霞纯桑还?只燈籠， 第一步，從 6 個(gè)選 3 個(gè)，第二步，從 3 個(gè)選 個(gè)，最后回答剩下的哪一個(gè)，故有 C 3C 2C 16 3 160 種，故答案為：60 已知非零向量的夾角為 ，若存在兩不相等的正實(shí)數(shù)

17、，使得1 2，則 12的取值范圍為 （0， 3） 解：由即，可得，即設(shè)可得解得即，t0，或或 3； 1 2故答案為：（0， ，+）三、答題共 5 題， 74 解答應(yīng)出必要文字說明、明過程或演步驟18已知銳角 中，sinA+bsincsin+bsin（）求 A；（）求 sinB+cosC 的取值圍解：（）asin+bsincsin+sinBa+bc2+b即 b+cabc，得 cosA ，則 A ，（）sinB+cossinB+cos（B）sincos（+B）sinBcosB+ sin sinBcosB （sinB cosB）sin（B），三角形是銳角三角形，0BB+BB則，0C，C， ，AB，則

18、 sin sin（B）sin，即 sin（），則 sin（B ） ，即 sinB+cos 取值范圍是（ ， ）19如圖，在三棱錐 P 中，PA2AC1F 為線段 BC 的中點(diǎn)已知 AC，且二面角 PC 的平面角大小為 60 （）求證：AC；（）求直線 PF 平面 PAC 所成角的正弦值【解答】（1）證明：在平面 ABC 內(nèi)，過 B 作 ，使 BD，取 BD 點(diǎn) ， 連接 CD、，因?yàn)?PAAB+PC，所以 PB，所以 為二面角 AB 平面角，于是60， 又 PB1，所以 為正三角形，所以 PE，即 BD，因?yàn)?EF，所以 ，又因?yàn)?PE， 平面 ， 平面 ，所以 BD平面 ，又因?yàn)?PF 平面

19、 ，所以 BD，又因?yàn)?AC，所以 AC（2）解；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，PEPA sin60 ,因?yàn)?AB，所以 平面 ， 因?yàn)?AB 平面 ，所以平面 ABCD平面 ， 又因?yàn)?PE，平面 平面 ， 所以 PE平面 ABCD，所以點(diǎn)坐標(biāo)如下：A(0,0,0),(0,0),C(1,0,0),( , ),F(),( , ,), ( , , ),(0, ,),設(shè)平面 法向量為 (,y,z),令 y1, (0,1,2),所以直線 PF 平面 PAC 所成角的正弦值為 20已知a b 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 b 1 b 0且 a a N*n n 1 1 2 2 1 2（）若 a b ，a 等

20、差數(shù)列，求a ，b 的通項(xiàng)公式；2 3 3 n n（）當(dāng) n2 時(shí)，證明： b n n解：（）設(shè)等差數(shù)列a 的公差為 ，b 的公比為 ,則 d0, 且 1,n na b 1， b 即 1+d,1 1 2 2又 a b ，a 等差數(shù)列,可得 2b a , 2q 2 3 3 3 2 32+3d,解得 d ,q ,則 a 1 (n ；b ) n n1；（）證明：由 a b 1a b ，1 1 2 2即 1+d,d0,0 且 q1,則 n2 時(shí)，b 1n(1+d)11+Cd+C d+.+d11+(n1)a ,n所以當(dāng) n2 時(shí)，a n n21如圖，已知點(diǎn) A 別是橢圓 1 的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn) 是橢圓 與1 2 1 1拋物線 C ：y 22px（0）的交點(diǎn)，直線 A ，A P 分別與拋物線 C 交于 ， 兩點(diǎn)1 2 2（M， 不同于 ）（）求證：直線 MN 直 x 軸；（）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為 O分別記OPM， 的面積為 S S ，當(dāng)OPA 為鈍角時(shí)，1 2 2求的最大值解：（）證明：根據(jù)題意可得 A (2,0), 1 2設(shè) P(x y M(x ,y N( y ),0 0 1 1 2 2則直線 A 1y2，聯(lián)立 ,消去