1、二重積分的概念與性質演示文稿第一頁，共四十六頁。（優選）二重積分的概念與性質第二頁，共四十六頁。 重積分是定積分的推廣和發展.其同定積分一樣也是某種確定和式的極限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取極限. 定積分的被積函數是一元函數,其積分區域是一個確定區間. 而二重、三重積分的被積函數是二元、三元函數,其積分域是一個平面有界閉區域和空間有界閉區域.重積分有其廣泛的應用.序 言第三頁，共四十六頁。問題的提出二重積分的概念二重積分的性質小結 思考題 作業double integral第一節 二重積分的概念與性質第九章 重積分第四頁，共四十六頁。一、問題的提出定積分中會求平行截面面積為已知

2、的 一般立體的體積如何求先從曲頂柱體的體積開始.而曲頂柱體的體積的計算問題,一般立體的體積可分成一些比較簡單的 回想立體的體積、旋轉體的體積.曲頂柱體的體積.二重積分的一個模型.可作為二重積分的概念與性質第五頁，共四十六頁。曲頂柱體體積=特點1曲頂柱體的體積D困難曲頂柱體以xOy面上的閉區域D為底,D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面,側面以頂是曲面且在D上連續).曲頂頂是曲的二重積分的概念與性質第六頁，共四十六頁。柱體體積 = 特點 分析曲邊梯形面積是如何求以直代曲、如何創造條件使 解決問題的思路、步驟與回憶思想是分割、平頂平曲這對矛盾互相轉化與以不變代變.曲邊梯形面積的求法類似取近似、

3、求和、取極限.二重積分的概念與性質 底面積高第七頁，共四十六頁。步驟如下用若干個小平頂柱體體積之和先任意分割曲頂柱體的底，曲頂柱體的體積并任取小區域，近似表示曲頂柱體的體積，二重積分的概念與性質第八頁，共四十六頁。(1) 分割相應地此曲頂柱體分為n個小曲頂柱體.(2) 取近似第i個小曲頂柱體的體積的近似式(用 表示第i個子域的面積) .將域D任意分為n個子域在每個子域內任取一點二重積分的概念與性質第九頁，共四十六頁。(3) 求和 即得曲頂柱體體積的近似值: (4) 取極限)趨于零,求n個小平頂柱體體積之和令n個子域的直徑中的最大值(記作上述和式的極限即為曲頂柱體體積二重積分的概念與性質第十頁，

4、共四十六頁。2. 非均勻平面薄片的質量(1) 將薄片分割成n個小塊，看作均勻薄片.(2)(3)(4)近似 任取小塊 設有一平面薄片,求平面薄片的質量M.二重積分的概念與性質第十一頁，共四十六頁。也表示它的面積,二、二重積分的概念1. 二重積分的定義定義作乘積 并作和 二重積分的概念與性質第十二頁，共四十六頁。積分區域積分和被積函數積分變量被積表達式面積元素這和式則稱此零時,如果當各小閉區域的直徑中的最大值 趨近于的極限存在,極限為函數二重積分,記為即二重積分的概念與性質第十三頁，共四十六頁。曲頂柱體體積它的面密度曲頂 即在底D上的二重積分,平面薄片D的質量即二重積分的概念與性質在薄片D上的二重

5、積分, 第十四頁，共四十六頁。 2. 在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃分區域D,二重積分可寫為注定積分中1.重積分與定積分的區別:重積分中可正可負.則面積元素為二重積分的概念與性質Dyxddd=s第十五頁，共四十六頁。(A) 最大小區間長;(B) 小區域最大面積;(C) 小區域直徑;(D)最大小區域直徑.D選擇題二重積分的概念與性質第十六頁，共四十六頁。2. 二重積分的存在定理 設f(x,y)是有界閉區域D上的連續函數存在.連續函數一定可積注今后的討論中,積分區域內總是連續的.或是分片連續函數時,則都假定被積函數在相應的二重積分的概念與性質第十七頁，共四十六頁。(2)3. 二重積分的幾

6、何意義(3) (1)在D上的二重積分就等于二重積分是二重積分是而在其它的部分區域上是負的. 這些部分區域上的柱體體積的代數和.那末,柱體體積的負值;柱體體積;在D上的若干部分區域上是正的,二重積分的概念與性質第十八頁，共四十六頁。例 設D為圓域二重積分=解 上述積分等于由二重積分的幾何意義可知，是上半球面上半球體的體積：二重積分的概念與性質RD第十九頁，共四十六頁。性質為常數, 則(二重積分與定積分有類似的性質)二重積分的概念與性質三、二重積分的性質根據二重積分的幾何意義,確定積分值練習第二十頁，共四十六頁。以1為高的性質2將區域D分為兩個子域性質3若 為D的面積oxyD1D2 注既可看成是以

7、D為底,柱體體積. 對積分區域的可加性質.D1與D2除分界線外無公共點.D又可看成是D的面積.二重積分的概念與性質第二十一頁，共四十六頁。二重積分的概念與性質在有界閉區域D1上可積,且則必有第二十二頁，共四十六頁。特殊地性質4(比較性質)設 則二重積分的概念與性質例的值= ( ).(A) 為正(B) 為負(C) 等于0(D) 不能確定為負B第二十三頁，共四十六頁。選擇題 比較(D) 無法比較.oxy 1 12C(2,1)性質4(比較性質)的大小,則( )二重積分的概念與性質第二十四頁，共四十六頁。解例判斷的正負號.故于是又當二重積分的概念與性質第二十五頁，共四十六頁。幾何意義以m為高和以M為高

8、的兩個證再用性質1和性質3, 性質5(估值性質)則為D的面積,則曲頂柱體的體積介于以D為底,平頂柱體體積之間.證畢.則二重積分的概念與性質第二十六頁，共四十六頁。解估值性質區域D的面積在D上例不作計算,二重積分的概念與性質第二十七頁，共四十六頁。性質6(二重積分中值定理)體積等于 顯然幾何意義證D上連續,為D的面積,則在D上至少存在一點使得則曲頂柱體以D為底 為高的平頂柱體體積.將性質5中不等式各除以二重積分的概念與性質有第二十八頁，共四十六頁。的最大值M與最小值m之間的.由閉區域上連續函數的介值定理.兩端各乘以 點的值證畢.即是說,確定的數值是介于函數在D上至少存在一點使得函數在該與這個確定

9、的數值相等,即二重積分的概念與性質第二十九頁，共四十六頁。選擇題(A)(B)(C) (D)提示:B是有界閉區域D:上的連續函數,不存在.利用積分中值定理.二重積分的概念與性質第三十頁，共四十六頁。利用積分中值定理,解即得:由函數的連續性知,顯然,其中點是圓域內的一點.二重積分的概念與性質第三十一頁，共四十六頁。 補充在分析問題和算題時常用的設區域D關于x軸對稱,如果函數 f(x, y)關于坐標y為偶函數.oxyD1性質7則D1為D在第 一象限中的部分,對稱性質二重積分的概念與性質坐標y為奇函數則設區域D關于x軸對稱,如果函數 f (x, y)關于第三十二頁，共四十六頁。設f(x, y)關于y為

10、偶函數, D1oxy 證則得二重積分的概念與性質軸的分為許多對稱于將域xD,子域內取一中的子域在iDsD1軸的子域與其對稱于點xyxii),(,isD也記成).,(iiyx-取一點第三十三頁，共四十六頁。坐標y為奇函數自證!則設區域D關于x軸對稱,如果函數 f(x,y)關于二重積分的概念與性質第三十四頁，共四十六頁。這個性質的幾何意義如圖:OxyzOxyz 區域D關于x軸對稱f(x,y)關于坐標y為偶函數 區域D關于x軸對稱f(x,y)關于坐標y為奇函數二重積分的概念與性質第三十五頁，共四十六頁。如果函數 f(x,y)關于坐標x為奇函數oxyD1如果函數 f(x,y)關于坐標x則為偶函數則類似

11、地,設區域D關于y軸對稱,且D1為D在第一象限中的部分,二重積分的概念與性質第三十六頁，共四十六頁。設D為圓域(如圖)00D1為上半圓域D2為右半圓域二重積分的概念與性質第三十七頁，共四十六頁。 解由性質得 例二重積分的概念與性質11,11),(-=yxyxD其中第三十八頁，共四十六頁。為頂點的三角形區域,(A)(B)(C)(D)0.A1991年研究生考題, 選擇,3分D1是D在第一象限的部分,練習二重積分的概念與性質第三十九頁，共四十六頁。D1D2D3D4記 I=則I= I1+ I2, 其中I1=I2=而 I1 =D1與D2關于y軸對稱D3與D4關于x軸對稱xy關于x和關于y都是奇函數二重積

12、分的概念與性質第四十頁，共四十六頁。而 I2 =是關于x的偶函數,關于y的奇函數. 所以 二重積分的概念與性質D1D2D3D4第四十一頁，共四十六頁。 今后在計算重積分利用對稱性簡化計算時, 注意被積函數的奇偶性. 積分區域的對稱性,要特別注意考慮兩方面:二重積分的概念與性質第四十二頁，共四十六頁。 思考當f為關于x且關于y的偶函數時：當f為關于x或關于y的奇函數時：04Di是區域D位于第i(i=1,2,3,4)象限的區域 設區域 關于x軸、y軸均對稱, 函數f(x, y)在D上可積，則二重積分的概念與性質第四十三頁，共四十六頁。若D為 此式的幾何意義是:中心在原點的上半球的體積等于它在第一卦限內的體積的4倍.0D1為 x0, y 0, 則二重積分的概念與性質第四十四頁，共四十六頁。二重積分的定義二重積分的性質二重積分的幾何意義(曲頂柱體的體積)(四步:分割、取近似、求和、取極限)二重積分的概念與性質四、小結