1、3.1 正態分布 正態分布的圖形正態分布的特征正態曲線下面積分布的規律標準正態分布正態分布的應用2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作一、 正態分布曲線（normal distribution curve）1.正態分布的圖形2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作頻數分布逐漸接近正態分布示意圖 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作圖 體模“骨密度”測量值的分布接近正態分布示意圖（頻率密度=頻率/組距）面積的意義2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室

2、 周曉彬制作正態分布曲線圖示2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作該曲線表現為中間高，兩邊低，左右對稱，略顯鐘形，類似于數學上的正態分布曲線。因而這種分布也稱為正態分布。正態曲線(normal curve)是一條高峰位于中央，兩側完全對稱，而且逐漸降低，兩端在無窮遠處與底線相靠，但永遠不與橫軸相交的鐘型曲線。正態曲線是有固定函數式的一條曲線。因為頻率的總和等于1，因此橫軸上曲線下的總面積為100或1，其面積分布有一定的規律性。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作正態分布又稱Gauss分布，是醫學上和生物界常見的分

3、布形式。 是指變量值以均數為中心，左右兩側完全對稱，靠近均數兩側的頻數較多，而遠離均數兩側的頻數逐漸減少。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作 2.正態分布的概率密度函數2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作二、正態分布的特征正態分布以均數為中心（ = ），左右對稱;正態分布有兩個參數，即均數和標準差，正態分布記作XN(，2)， 決定曲線在橫軸上的位置，決定曲線的形狀。正態曲線在橫軸上方均數處最高(在=處取得密度函數的最大值)，表現為鐘型曲線正態曲線下總面積為1，正態曲線下的面積分布有一定規律。三、面積規律202

4、2/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作正態分布 1 2 3 不同均數2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作正態分布不同標準差2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作尖峭峰正態峰平闊峰正態分布的特征2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作三、正態曲線下面積分布規律1.正態曲線下面積的意義：表示該區間（x1，x2）包含的觀察例數占總例數的百分數或變量值落在該區間的概率。頻數分布圖示2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周

5、曉彬制作正態曲線下面積示意圖x1 x22022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作圖3-3 正態分布的概率密度函數與分布函數2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作圖3-4 正態分布的概率2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2.正態曲線下面積的分布規律2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作

6、2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作四、標準正態分布 (standard normal distribution)標準正態分布變換標準正態分布曲線下面積的分布規律標準正態分布表的使用2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作1、標準正態分布變換一般正態分布為一個分布族:N(,2)。 為了應用方便，可以進行變量變換，正態分布就變換為標準正態分布。標準正態分布的=0，=1，記為 N(0,1) 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛

7、生統計學教研室 周曉彬制作z(z)2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作(z)2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作z(z)（z)02022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作1.961.960.0250.0252022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2、標準正態曲線下面積分布規律0-11-1.961.96-2.582.5868.27%95.00%99.00%2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作正態曲線

8、與標準正態曲線的面積分布規律 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作3、標準正態分布表的使用附表c1標準正態分布表p559查表求面積時注意： 表中曲線下面積為-到z的面積； 當、已知時，先進行變量變換求得z值，再 查表； 當、未知且樣本含量足夠大時，可用 和S 分別代替和，求得z的估計值，再查表。 曲線下對稱于0的區間面積相等； 曲線下橫軸上的總面積為100%或1。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作五、正態分布的應用（一）確定醫學參考

9、值（正常值）范圍（二）質量控制圖。警戒限 ，控制限（三）統計方法的理論基礎。二項分布2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作醫學研究中的某些觀察指標服從或近似服從正態分布；很多統計方法是建立在正態分布的基礎之上的，如t分布、2分布、F分布都是在正態分布的基礎上推演出來的。很多其他分布的極限為正態分布。二項分布和Poission分布樣本含量足夠大時近似正態分布。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作醫學參考值范圍1. 正態分布法2. 百分位數法 3. 對數正態分布法2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生

10、統計學教研室 周曉彬制作1.醫學參考值概念是指大多數處于相同生理狀態下的“正常人” 的某項指標（形態、機能及代謝產物等）數值變化波動的范圍。由于正常個體間存在變異、機體內外環境改變，時間、地點、條件的不同，使這些生理指標有一定的波動范圍，因此，實際應用中，一般采用正常值范圍.2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2.用途1.劃分正常與異常的界限。如作診斷指標。2.反映某人群的某項指標的動態變化。如某地不同時期發汞值的正常范圍可反映環境污染的變化或環境保護的效果。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作3.確定醫學參考

11、值范圍的方法確定一批樣本含量足夠大（n100）的“正常人”或動物作為研究對象。 “正常人”不是指機體任何器官、組織的形態及機能都正常的人，而是指排除了影響所研究指標的疾病和有關因素對所研究指標的影響的同質人群。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作根據指標的實際用途確定單、雙側。確定百分數范圍。根據資料的分布特點，選用恰當的界值計算方法。 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作4.常用參考值范圍估計方法95%正常值范圍：同質總體中包含95%的個體值所在的范圍。.正態分布法.百分位數法. 對數正態分布法2022/9/

12、19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作1） 正態分布法適應資料：正態或近似正態分布資料。計算： 以95%正常值范圍為例雙側：單側：2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2） 百分位數法適用資料：適用于任意分布類型的資料，主要用于偏態分布或分布類型不清楚的資料。計算： 以95%正常值范圍為例雙側： P2.5P97.5單側： P5（下限） 正態分布應用2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作 200例血鉛值頻數表及Px計算表 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周

13、曉彬制作2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作3）對數正態分布法適用資料：適用于對數正態分布資料。計算：雙側：單側：2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作 200例血鉛值對數變換后的頻數計算表 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作3.2 二項分布二項分布的概念二項分布的概率二項分布的條件 二項分布的均數與標準差二項分布的圖形 二項分布應用實例2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統

14、計學教研室 周曉彬制作一、二項分布的概念一個袋子里有5個乒乓球，其中2個黃球，3個白球，我們進行摸球游戲，每一次摸到黃球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6。三個特點：1.各次摸球是彼此獨立的；2.每次摸球只有二種可能的結果，或黃球或白球；3.每次摸到黃球（或摸到白球）的概率是固定的。n次中摸到x次黃球（或白球）的概率分布就是二項分布。 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作 醫學研究中很多現象觀察結果是以兩分類變量來表示的，如陽性與陰性、治愈與未愈、生存與死亡等等。如果每個觀察對象陽性結果的發生概率均為，陰性結果的發生概率均為（1）；而且各個觀察對象

15、的結果是相互獨立的，那么，重復觀察n個人，發生陽性結果的人數x的概率分布為二項分布。 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作例 設小白鼠接受某種毒物一定劑量時，其死亡率為80，對于每只小白鼠來說，其死亡概率為0.8，生存概率為0.2，若每組各用甲乙丙三只小白鼠做實驗，觀察每只小白鼠存亡情況，如果計算生與死的順序，則共有8種排列方式，如果只計生與死的數目，則只有四種組合方式，如下表表2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作概率的乘法法則 和加

16、法法則乘法法則 : 幾個獨立事件同時發生的概率，等于各獨立事件的概率之積。 加法法則 : 互不相容事件和的概率等于各事件的概率之和2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作3只小白鼠均生存的概率：P=0.20.20.2=0.0083只小白鼠2生1死的概率：P1=0.20.20.8=0.032（甲生乙生丙死）P2=0.20.80.2=0.032（甲生乙死丙生）P3=0.80.20.2=0.032（甲死乙生丙生）P=0.0962022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作3只小白鼠1生2死的概率：P1=0.20.80.8=0.12

17、8（甲生乙死丙死）P2=0.80.20.8=0.128（甲死乙生丙死）P3=0.80.80.2=0.128（甲死乙死丙生）P=0.3843只小白鼠均死亡的概率：P=0.80.80.8=0.5122022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作由于實驗是逐只進行，因此實驗結果是互相獨立的，如病人的治愈或死亡，性別的雌雄，生存死亡，陽性或陰性。根據概率的乘法法則（幾個獨立事件發生的概率，等于各獨立事件發生的概率之和），可以算出每種排列方式的概率，也可以得到每種組合的概率，它可以用二項式加以概

18、括，二項式展開的各項就是每種組合的概率。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作二項展開式：2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作二項分布的定義 ：從陽性率為的總體中隨機抽取觀察單位數為n的樣本，其中出現陽性結果的次數為X，則X=0,1,2，n的概率服從參數為n和的二項分布，記為：XB(n,)。此分布的概率函數符合前述二項式展開式中的各展開項，故此分布稱二項分布又稱Bernoulli分布（瑞士數學家和統計學家）。2022/9/19青島大學醫

19、學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作二、二項分布的概率1.二項分布的概率函數： X=0，1，2，n 如已知n=3，=0.8，則恰有例陽性的概率P(1)為： 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作例 臨床上用針灸治療某型頭痛，有效的概率為60%，現以該法治療3例，其中兩例有效的概率是多大？ 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作表 治療3例可能的有效例數及其概率有效人數(x)x(1)n-x出現該結果概率P(x)010.60=10.40.40.40.064130.60.40.40.288230.60.60

20、.40.432310.60.60.60.400.2162022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作由表可知,各種可能結果出現的概率合計為1，即P(X)=1（X=0,1,n）。因此,如果欲求1例及以上有效的概率可以是P(x1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.432+0.216 =0.936也可以是P(x1)=1P(0)=10.064=0.9362022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2.二項分布的累積概率單側累積概率計算最多有k 例陽性的概率（下側累積概率）最少有k 例陽性的概率（上側累積概率）2022/9/

21、19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作遞推公式2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作例 某地鉤蟲感染率為13%，隨機抽查當地150人，其中至多有2名感染鉤蟲的概率有多大？至少有2名感染鉤蟲的概率有多大？至少有20名感染鉤蟲的概率有多大？2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作至多有2名感染鉤蟲的概率為至少有2名感染鉤蟲的概率為 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作至少有20名感染鉤蟲的概率為 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計

22、學教研室 周曉彬制作三、 二項分布的條件 各觀察單位只具有互相對立的一種結果，如陽性或陰性，屬于二項分類資料。已知發生某一結果(如陽性)的概率為，其對立結果(如陽性)的概率則為1-。n個觀察單位的結果互相獨立。即每個觀察單位的結果，不會影響其它觀察單位的結果。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作四、二項分布的均數與標準差 觀察單位數為n時，其陽性結果發生數X的均數與標準差：2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作如果將出現陽性結果的頻率記為總體均數：標準差： 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統

23、計學教研室 周曉彬制作二項分布例4-4 研究者隨機抽查某地150人，其中有10人感染了鉤蟲，鉤蟲感染率為6.7%，求此率的標準差。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作五、二項分布的圖形已知，n,計算x=0，1，2，n時的P(x)，以x 為橫坐標，以P(x)為縱坐標，在方格坐標紙上繪圖，即可繪出二項分布的圖形，其形狀取決于和n的大小。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作00.50.40.30.20.10.0123P(X)X(0.2+0.8)3 二項分布示意圖2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統

24、計學教研室 周曉彬制作圖 =0.5時,不同n值對應的二項分布2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作 圖 =0.3時, 不同n值對應的二項分布 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作=0.5時，分布對稱，近似正態分布；0.5時，分布呈偏態，特別是n 值不大時， 偏離0.5越遠，分布越偏。特別是1%或99%時，非常偏，但隨著n的增大，分布逐漸逼近正態分布。2022/

25、9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作二項分布趨近正態分布的條件：當n與n(1-)均5時，二項分布趨近正態分布。當n 時，二項分布的極限形式即是正態分布，其總體均數= n ，總體方差為2= n（1-）。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作六、二項分布的應用（一）概率估計例4-6 某地鉤蟲感染率為13%，隨機抽查當地150人，其中至多有2名感染鉤蟲的概率有多大？至少有2名感染鉤蟲的概率有多大？至少有20名感染鉤蟲的概率有多大？2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作可以得出150人中有1

26、0人感染鉤蟲的概率為2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作150人中無感染、有1人、2人感染鉤蟲的概率為：2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作（二）單側累積概率計算二項分布出現陽性的次數至多為k次的概率為出現陽性的次數至少為k次的概率為2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作據以往經驗，用某藥治療小兒上呼吸道感染、支氣管炎，有效率為85，今有5個患者用該藥治療，問： 至少3人有效的概率為多少？ 最多1人有效的概率為多少？ 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生

27、統計學教研室 周曉彬制作 至少3人有效的概率：P(X3)=P(3)+P(4)+P(5)P(X3)=0.1381781250.3915046880.443705313 =0.973388126 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作 最多1人有效的概率為： P(X 1)=P(0)+P(1)2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作3.3 Poisson 分布一、Poisson分布的概念二、Piosson分布的概率三、Piosson分布的條件四、Piosson分布的圖形五、Poisson分布的特征 六、Poisson分布的

28、應用 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作醫學上人群中出生缺陷、多胞胎、染色體異常、惡性腫瘤等事件都是罕見的，而可能發生這些事件的觀察例數n常常很大 ，但實際上發生類似事件的數目x卻很小很小。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作Poisson分布可用來描述這種罕見事件發生次數的概率分布。Poisson分布是二項分布的特例。Poisson分布可以看作某種現象發生的概率（或未發生的概率1）很小（如 0.001） ，而觀察例數n很大時的二項分布。除二項分布的三個基本條以外，Poisson分布還要求或（1）接近于0或1

29、（例如0.999）。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作一、Poisson 分布的概念Poisson分布專用于研究單位時間、單位體積、單位面積或單位人群（較大）中某事件的發生數，若發生數X服從參數為的Poisson分布，記為X()。取名于法國數學家SD Poisson(1781-1840)例如:放射性物質每分鐘放射的脈沖數、每ml水中大腸菌群數、每升空氣中粉塵數、每1萬個細胞中有多少個發生突變、某地每天的交通事故數、某工礦企業每天的工傷人數、一定人群中某種患病率很低的非傳染性疾病患病數或死亡數的分布等。 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病

30、與衛生統計學教研室 周曉彬制作二、Poisson分布的概率1、Poisson分布的概率函數X為觀察單位內某稀有事件的發生次數； P(X)為事件發生數為X時的概率，參數=n 為Poisson分布的總體均數， 表示觀察單位內事件平均發生的次數，又稱強度參數。e為自然對數的底。2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作例如果某地新生兒先天性心臟病的發病概率為8，那么該地120名新生兒中有4人患先天性心臟病的概率有多大？n=120,=0.008, = n =1200.08=0.962022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作2、Po

31、isson分布的累計概率函數最多為k次的概率（下側累積）：最少為k次的概率（上側累積）： 遞推公式： 2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作 實例至多有4人患先天性心臟病的概率有多大？2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作 實例至少有5人患心臟病的概率有多大？2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作例實驗顯示某100cm2的培養皿菌落數為6個，試估計該培養皿菌落數小于3個的概率，大于1個的概率。=6，該培養皿菌落數小于3個的概率2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作該培養皿菌落數大于1個的概率2022/9/19青島大學醫學院公共衛生系流行病與衛生統計學教研室 周曉彬制作三、Piosson分布的應用條件 Piosson分布是二項分布的特例，因此二