1、常微分方程及其應用第1頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三第一節(jié)微分方程的基本概念第二節(jié)可分離變量的微分方程第三節(jié)齊次方程第四節(jié)一階線性微分方程第五節(jié)可降階的高階微分方程第六節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程 第2頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三例一曲線通過點 ，且在該曲線上任意點 處的切線斜率為橫坐標的兩倍，求這曲線的方程。 在許多實際問題中，往往不能找出所需要的函數(shù)關系，但是根據(jù)問題所提供的情況，有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導數(shù)的關系式，這樣的關系式就是所謂的微分方程。第3頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三一、微分方程凡表示未知

2、函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)及自變量之間的關系的方程。（未知函數(shù)的導數(shù)必須出現(xiàn)。）如果其中的未知函數(shù)只與一個自變量有關，則稱為常微分方程；如果未知函數(shù)是兩個或兩個以上自變量的函數(shù)，并且在方程中出現(xiàn)偏導數(shù)，則稱為偏微分方程. 判斷下列方程是否為微分方程：否是是第4頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三二、微分方程的階微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)。一階三階三階第5頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三三、微分方程的一般形式1、一階微分方程或2、二階微分方程或第6頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三四、微分方程的解 若函數(shù)滿足，把它及它

3、的導數(shù)代入微分方程時，能使方程恒成立，這樣的函數(shù)稱為微分方程的解。1、微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解。 、微分方程的特解 微分方程的解如果是完全確定的（即不含 任意 常數(shù)），就稱為微分方程的特解。 第7頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三五、初值條件 在通解中含有任意常數(shù)，為了得到特解必須根據(jù)一些條件來確定這些常數(shù)，這種條件稱為初值條件。一階微分方程二階微分方程第8頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三 求一階微分方程 滿足初值條件 的特解這樣一個問題，稱為一階微分方程的初值

4、問題。 六、初值問題記為第9頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三例1驗證函數(shù) 是微分方程 的通解。 例2求例1中 滿足初始條件 ， 的特解。第10頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三例3 已知曲線上點 處的法線與x軸的交點為Q，且線段PQ被y軸平分，求曲線方程。第11頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三定義 如果一個一階微分方程能化成 （）的形式，那么原方程稱為可分離變量的微分方程。 設 和 的原函數(shù)分別為 和 。對(1)兩邊積分，則得 （2） 二元方程（）就稱為微分方程（）的隱式通解。 第12頁，共41頁，2022年，5月20日，5

5、點20分，星期三例3 設降落傘下落后，所受空氣阻力與速度成正比（系數(shù)為k，k0）。設開始速度為0，求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關系。例2求微分方程 的通解。例1 求微分方程 滿足 的通解。第13頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三例4 質量為1g的質點受外力作用作直線運動，這 外力和時間成正比。在 時，速度等于 ，外力為 。問從運動開始經 過了 后質點的速度是多少？第14頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三 一、定義 如果一階微分方程可化成 的形 式，則稱為齊次方程。二、分離變量(換元法)設問： 是否為齊次方程？ 則代入齊次方程第15頁，共41頁，202

6、2年，5月20日，5點20分，星期三分離變量,得兩邊積分,得到u和x的函數(shù),再將u換成 ,即得所給齊次方程的解.例求解方程例求解微分方程例3 求解微分方程第16頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三例4 探照燈的聚光鏡是一張旋轉曲面，它的形狀由XOY坐標面上的一條曲線L繞x軸旋轉而成。按聚光鏡性能的要求，在其旋轉軸（X軸）上一點O處發(fā)出的一切光線，經它反射后都與旋轉軸（X軸）平行。求曲線L的方程。P建立微分方程第17頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三 （） 稱為一階線性微分方程。 所謂線性微分方程是指方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)及未知函數(shù)的導數(shù)都是一次的。例如是

7、一階線性微分方程。其中不是一階線性微分方程。形如第18頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三當 時，稱 (2)是對應于(1)的齊次線性微分方程 現(xiàn)在要求非齊次微分方程（1）的解，先來研究齊次線性方程（2）的解。當 時，稱（1）是非齊次線性微分方程分離變量第19頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三接下來采用常數(shù)變易法設 ，則（3）這就是一階非齊次線性微分方程的通解。代入(1)得第20頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三結論：一階非齊次線性方程的通解等于對應的 齊次方程的通解與非齊次方程的一個 特解之和。 把通解拆開齊次方程通解非齊次方程C

8、=0時的特解第21頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三例求解微分方程例2 求方程 滿足條件 x=2時y=1 的特解。 第22頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三例一容器內盛鹽水100L，含鹽50g。現(xiàn)以濃度為 gL的鹽水注入容器內，其流量為 Lmin。設注入之鹽水與原有鹽水被攪拌而迅速成為均勻的混合液，同時，此混合液又以流量為 Lmin流出。試求容器內的鹽量與時間t的函數(shù)關系。 第23頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三定義二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程。下面介紹三種典型的容易降階的微分方程,相應求解方法稱為降階法。一、 型

9、二、 型三、 型第24頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三例1 求 的通解。例2 質量為m的質點受力F作用沿OX軸作直線運動，設力F僅是時間t的函數(shù)： 。在t=0時， ，隨著時間t的增大，力F均勻地減小，直到t=T 時， 。若開始時質點位于原點，且初速度為0，求這質點的運動規(guī)律。F0 xtF(t)T第25頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三設 ,則 方程可化為通解為得到微分方程分離變量或者直接積分得到通解第26頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三例1 求微分方程的通解例2 設子彈以200m/s的速度射入厚為0.1m的木 板，受到的阻力

10、大小與子彈的速度平方成正 比，如果子彈穿出木板時的速度為80m/s， 求子彈穿過木板所需的時間。設子彈質量為m；子彈剛射入木板時為原點且t=0，取運動方向為正方向0.1m0 x第27頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三設 ，則原方程化為通解為又得微分方程分離變量，得通解例 求方程 滿足 的特解。第28頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三 形如 （1）稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。P、q為常數(shù)。 定理設 及 是方程（1）的兩 個解，則對于任意常數(shù) 、 ， 仍然是（）的解。 第29頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三當 時， ， 是兩個

11、不相等的實根。(ii) 當 時， (iii) 當 時， 是一對共軛復根。稱為對應于(1)的特征方程第30頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三(i) 特征方程有兩個不相等的實根：(ii) 特征方程有兩個相等的實根：(iii) 特征方程有一對共軛復根：第31頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三解下列微分方程:1、2、3、4、5、6、7、第32頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三例8 設有一彈簧，它的上端固定，下端掛一個質量為m的物體。當物體處于靜止狀態(tài)時，作用在物體上的重力與彈簧作用于物體的彈性力大小相等、方向相反。（這個位置就是物體的平

12、衡位置）。現(xiàn)有一外力使物體離開平衡位置，并隨即撤去外力，那么物體便在平衡位置附近作上下振動，求物體的振動規(guī)律。第33頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三 取X軸鉛直向下，平衡位置為原點。 設在時刻t物體所在的位置為x，則x=x(t)為所要求的振動規(guī)律。1、當振幅不大時，彈簧使物體回到平衡位置時的彈性恢復力f 和物體離開平衡位置的位移x成正比：第34頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三2、物體在運動中，受到阻尼介質的阻力作用，使得振動逐漸停止。當物體的速度不太大時，阻力與運動速度成正比。物體自由振動的微分方程第35頁，共41頁，2022年，5月20日，5點20分，星期三現(xiàn)在給定初值條件為特征方程為第36頁，共41頁，20